清華大學微積分題庫

1、(3343).微分方程 y y tan x cosx 0 的通解為 y (x C)cosx。、，1一y (4455)(4507)(4508).過點(,0)且滿足關(guān)系式y(tǒng) arcsin x，1的曲線方程為2.1 x2一1y arcsin x x 。2，一 、一，-C.微分方程xy 3y 0的通解為 y C1 C|ox設(shè)yx，y2(x，丫3板)是線性微分方程 y a(x)y b(x)y f (x)的三個特解,且y2(x) y1(x) C ,則該微分方程的通解為 y3(x) y(x)y C(y2(x) y(x) C2(y3(x) y(x) y(x)。 22 x(3081) .設(shè)y13 x , y2

2、3 x e是某二階線性非齊次微分方程的兩個特解，且相應(yīng)齊次方程的一個解為 y3 x ,則該微分方程的通解為y 3 x2 C1x C2ex。(4725).設(shè)出微分方程y 2y 3y x xe x ex cos2x的一個特解形式 *x x ,y Ax B x(Cx D)e e (Ecos2x F sin 2x)。(4476) .微分方程y2y2y ex的通解為yex(1 C1cosx C2sinx)。(4474).微分方程y4ye2x 的通解為 yC1e2x C2 -x e2x。4(4477) .函數(shù)y C1 cos2x C2 sin 2x滿足的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為y 4y 0。(4532

3、) .若連續(xù)函數(shù) f(x)滿足關(guān)系式 f(x)o2x f (-t)dt ln2,則 f(x)e2x ln 2。(6808) .設(shè)曲線積分 J f (x) exsinydx f (x) cosydy與路徑無關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導數(shù)，且f (0) 0,則f(x)等于1 1(A)1(ex ex)。(B)1(ex e x)。2 21 .(C) 2 (e e ) 1。(D)答B(yǎng)注：根據(jù)題意，f (x)cosy1 一、f(0) 0,得C 萬，所以f(x)6907.若函數(shù)y cos2x是微分方程y(0) 2的特解為(A) y cos2x 2。(B)(C) y 2cosx。(D)答Dd 1/ x x、

4、1 -(e e )。 2一v. 一1 VV .f (x) excosy ,解得 f (x) - e Ce 。由1 x x-(e e ),即選項(B)正確。2y p(x)y 0的一個特解，則該方程滿足初始條件y cos2x 1。y 2 cos2x。注：根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，通解為y Ccos2x,由y(0) 2得C 2。故選項(D)正確。其他選項經(jīng)驗證不滿足方程或定解條件。6126 設(shè)函數(shù)y(x), y2(x)是微分方程(A) y Ci y1 C2 y2。(B)(C) y y C(y1y2)。(D)答Dy p(x)y 0的兩個不同特解， 則該方程的通解為y y Cy2。y C(y2 y1)。y p(x)

5、y 0的兩個不同特解，所以 y2 y1是該方程的一個非零特解。根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，其通解為y C(y2 y1)，即選項(D)正確。另：根注：因為y(x), y2(x)是微分方程據(jù)通解定義，選項(A)中有兩個任意常數(shù)，故其不對。當y2 0時，選項(B)不對。當y2y1時，選項(C)不對。6579.已知函數(shù) y y(x)在任點x處的增量 y -y-x2- o( x), y(0),則y(1)等1 x '于(A) 2 。(B)。(C) e4 o (D) e4。答D注：根據(jù)微分定義及微分與導數(shù)的關(guān)系得2 ,解得ln y xarctan x C ,由y(0)，得 C ln ，所以 y(1)earctan

6、1e4。因此選項(D)正確。6215.設(shè)函數(shù)yf(x)是微分方程y 2y 4y 0的一個解。若f(x0) 0, f (x0)。,則函數(shù)f (x)在點x0 (A)取到極大值。(B)(C)某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加。(D)取到極小值。某個鄰域內(nèi)單調(diào)減少。注：因為 f (x0) 。，f (x0)4 f (x0) 0,所以選項(A)正確。6316.設(shè)y1，y2是二階常系數(shù)線性齊次方程y py qy 0的兩個特解，C1,C2是兩個任意常數(shù)，則下列命題中正確的是 (A) C1yl C2 y2一定是微分方程的通解。(B) C1yl C2 y2不可能是微分方程的通解。(C) Cm C2 y2是微分方程的解。(D) C

7、m C2 y2不是微分方程的解。答C注：根據(jù)疊加原理，選項(C)正確，選項(D)錯誤。當y1,y2線性相關(guān)時，選項(A)錯誤，當y1, y2線性無關(guān)時，選項(B)錯誤。1897.微分方程yy ex 1的一個特解應(yīng)具有形式(A) aex b。(B)axex b。(C) aex bxo(D)axex bx。答B(yǎng)注：相應(yīng)齊次方程的特征根為1, 1 ,所以y y ex的一個特解形式為axexy y 1的一個特解形式為 b。根據(jù)疊加原理，原方程的一個特解形式為axex b ,即選項(B)正確。其他選項經(jīng)檢驗不滿足方程。1890.具有特解xxy1 e , y2 2xe , y33ex的三階線性常系數(shù)齊次微

8、分方程是(A)0。(B)(C)6y11 y6y0。(D)2yy 2y 0。根據(jù)題意，1,是特征方程的兩個根1是重根所以特征方程為1)(1)231 0。故所求微分方程為yy 0 ,即選項(B)正確。7819.y ex, 丫2x是三階線性常系數(shù)齊次微分方程ayby cy 0的兩個特解,則a,b,c的值為(A)(B)1,b1,c0。(C)1,b 0,c0。(D)1,b0, c0。注：根據(jù)題意1,0是特征方程的兩個根，是重根，所以特征方程為1) 2320o故原微分方程應(yīng)為y0,所以 a 1,b 0,c0即選項(C)正確。2670.設(shè)二階線性常系數(shù)齊次微分方程by0的每一個解y(x)都在區(qū)間(0,上有界

9、，則實數(shù)b的取值范圍是(A) b 0。 (B) b 0。(C) b4。(D)4。b2 4注：因為當b 2時，y(x)C1eC2e2,所以，當b2時，要想使 y(x)在區(qū)間(0,)上有界，只需要bb24 0, b b2 4b 2。當b2 4 0時，要想使 y（x）在區(qū)間（0,）上有界，只需要 b vb2 4與 b bb2 4的實部大于等于零，即 0 b 2。當b 2時，y（x） C1e x C2xe x在區(qū) 間（0,）上有界。當b 2時，y（x） C1ex C2xex （C12 C： 0）在區(qū)間（0,）上無 界。綜上所述，當且僅當 b 0時，方程y by y 0的每一個解y（x）都在區(qū)間（0,）

10、 上有界，即選項（A）正確。3296 .求微分方程xjl y2 yy ,1 x20的通解。dx解：方程兩端同乘以 ,得,i y2 i x2xdx ydy 07n TT7 5此方程是一個變量分離方程，其通解為1 y2 41 x2 C（C 2）。5678.求微分方程 -y dx xsinx C的通解。x解：這是一個一階線性微分方程,求解其相應(yīng)的齊次方程dy 1y dx x0,得其通解為ln y令y C3，代入原方程, x解得xC (x)2 xC(x)C(x)2xsin xxC(x)cosxC。所以原方程的通解為y -( xcosxC)。注：本題也可直接利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得1 ,

11、、-(cosx c)。 xsin x 11 ,y ( e x dx c)e xdx x2312.求解微分方程xdy ydxy2eydy。解：將y看成自變量,x看成是的y函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù)x x(y)的一階線性微分方程此方程通解為1 dy ydxdyyye ，yye e1-dyy dy Cy yey，其中C是任意常數(shù)。2367.求微分方程xyy2滿足初始條件y(1) 1的特解。解：將原方程變形，得這是一個齊次型方程。令xu ,代入上式，得2xu u分離變量，得duu2 2udxx積分，得Cx2,y 2xy2Cx2。因為y(1) 1,所以1。于是所求特解為2xy rv02368 .設(shè)y

12、ex施微分方程xy p(x)y x的一個解，求此微分方程滿足條件y(ln 2) 0的特解。解：將y ex代入原方程，得xexp(x)ex x,解出p(x) xe x x。所以原方程為xxy (xe x) y x,解其對應(yīng)的齊次方程，得xy Cexe 。所以原方程的通解為由 y(ln 2) 0 ,得 Cxy ex Cexe1e 2。故所求特解為y ex2402.求微分方程Xv yy4xx2 1X的通解。解：將原方程化為4x這是一個伯努利方程。令備,則原方程化為這是一個一階線性微分方程，解得z所以原微分方程的通解為2y zdz 2x x7- o 9 Jdx x 127(x2 1)(C ln(x2

13、1), 4z 116 (x2 1)(C ln(x21)xx2405.求微分方程(1 ey)dx e(1 j)dy 0的通解。 y. xu(y)一，y解：將y看成自變量，則x x(y)是y的函數(shù)。由于原方程是齊次型方程,原微分方程化為yuueu e這是一個變量可分離的方程，解得y(eu u) C。所以原方程的通解為xyey x C。x3 Q(x, y) e xxx另解：令 P(x,y) 1 e?,Q(x,y)e7(1 勺，則 P(x,y)與yy y所以，在y 0時，原方程為全微分方程。令xx(x，y)y? xu(x,y) (0,1) (1 e )dx e (1 q)dy，xx%)dy的一個原 y

14、由于此曲線積分與路徑無關(guān)，所以u(x, y)就是全微分式(1 e；)dx e；(1函數(shù)，且xx(x,y)vv xu(x,y) (0,1) (1 e )dx e (1 -)dy0xy -0x一ey(1)dy (1 ey)dx1y0xy 1 x y(ey 1)xyey x 1。所以原方程的通解為xyye x C。2489.設(shè) 為實數(shù)，求微分方程 y y0的通解。解：此方程的特征方程為0,所以,(1)當 0時，特征方程有一對復根 i1，方程有兩個線性無關(guān)解cos J-x, sin Jx °因此微分方程的通解為y Cicosx Czsinx (C1C2R)。(2)當 0時，特征方程有一個二重

15、根0。方程有兩個線性無關(guān)解1, x ,于是微分方程的通解為yC1C2x。(3)當。時，特征方程有兩個單重實根O方程有兩個線性無關(guān)解xe ，ex,所以微分方程的通解為y Ce' x C?e，x (Ci,C2 R)。2909 .求微分方程y y 2x2 1的通解。0的單根，所以原解將方程寫作y y (2x2 1)e°x。因為0是特征方程方程一個特解形式為* 32y (x) ax bx cx,將此解代入原方程，得3ax2 (2b 6a)x (c 2b) 2x2 1 ,比較兩端同次項的系數(shù)，有3a 2,2b 6a Q c 2b 1。解上述方程組，得2a -,b 2,c 5。 3從而得

16、到原方程的一個特解* 2 32y(x) 3x2x5x0又因為相應(yīng)齊次方程 y y0的通解為yCiC2e所以原方程的通解為y C1 C2e x 2 x3 2x2 5x。另解：方程y y 2x2 1兩端積分，得2 3 y y -x x Ci, 3這是一個一階線性微分方程，其通解為y e x(C2(2x3 x C1)exdx)3C1C2ex2x32x25x53C1C2ex2x32x25x。32356.求解微分方程y 2 y y 4xex。解：因為1是特征方程 2 21 0的重根，所以原方程的一個待定特解為y x2(ax b)ex,將此解代入原方程，得(6ax 2b) ex 4xex。 2比較兩端系數(shù)

17、，得 a -,b30。于是得到原方程的一個特解又因為相應(yīng)齊次方程的通解是xy (Ci C2x)e o因此原方程的通解為x 23 _xy (C1 C2x)e-x e o1123.求微分方程 y y x cosx的通解。解：原方程所對應(yīng)齊次方程的通解為y C1cosx C2sinx。設(shè)非齊次方程y yx的一個特解為yi代入次方程，得A 1, B 0。所以 y1 xo設(shè)非齊次方程y y cosx的一個特解為y2 Ex cosx Dxsinx,11代入萬程，得E 0, D 。所以 y2 -xsinxo22因為yi y2為原方程的一個特解，所以原方程的通解為1“一y C1 cosx C2 sin x x

18、 xsinx。21278.求解微分方程yy (y)2 y2 In y o解：因為原微分方程不顯含自變量x ,所以這是一個可降階微分方程。2.y In y。令 u(y) y (x),則 y (x) u (y)y (x) u u。原方程變?yōu)閥uu2yln y ,再令p(y) u 2( y),則有P2 _ y (C1 2、In y)。這是一個一階線性微分方程，求得P所以u vy2(C ln2 y),故yVy2 (C ln2y)。這是個變量可分離微分方程，解得In In y <C ln2 y x C1,這就是原微分方程的通解。注：方程yuu u2 y2ln y是一個伯努利方程，可用伯努利方程的一

19、般解法求解。2456.求解微分方程 y 3y 3y y e x(x 5)。解：微分方程 y 3y 3y y 0的特征方程為332310,1是其三重特征根。所以該齊次方程的通解為y e x(C1 C2x C3x2)。令原微分方程的一個特解形式為*3xy x (ax b)e ,代入原微分方程，并整理得24ax 6b x 5,5。因此原微分方程的一個特解為61所以 a , b24* x / 1xy (-x 5)e ，6 4故所求通解為e x(C1 C2x3C3x2) ( x 5)e x。6 43214.求解微分方程xy解：令u(x) y (x),則原方程化為這是個一階線性微分方程，解得x(Cix)。

20、因此yx(C1x),所以原微分方程的通解為1x3 2C1x2C21 32一 x C1x C2 , 3其中Ci, C2是任意常數(shù)。則原方程化為 p 1所以p x C1。由yxp x(x C1)132y - xC xC2 03333.求解微分方程 x2y2xy 2y x3 ln x。解：原方稱為二階歐拉方程。令 x et，得xydy 2,x y dt,2,d y dydt dt所以原微分方程化為d2y dt23dy dt其中t是自變量。這是一個二階線性常系數(shù)非齊次方程，解得t c 2t13、3ty GeC?e (t )e。所以原微分方程的通解為y C1x C2x2 ；x3(lnx 3)其中Ci,

21、C2是任意常數(shù)。3337.已知函數(shù) “*)在0,)上可導，f(0) 1,且滿足等式1 Xf (x) f(x) - 0 f(t)dt 0,x 1 0求 f (x),并證明 e x f(x) 1(x 0)。解：根據(jù)條件，得x(x 1)( f (x) f(x)0 f(t)dt 0,因為£3在0,)上可導，由上式，知“刈在0,)上二階導數(shù)存在，所以1.f (x) (1 -) f (x) 0 ,x 1這是f (x)滿足的一個一階線性齊次方程，解得f (x)Ce由于f (0)f(0)1 ,所以Cf (x)f (x)f(x) f (0)1。又x 0時，f (x)xe0,所以f (x)e x f(0)0。f (x) 1 (x 0)。注：證明不等式時,只需要知道導數(shù)的符號及函數(shù)在某點上的值,并不要求一定知道函數(shù)的表達式。3338.設(shè)p(x),q(x)為連續(xù)函數(shù)，證明方程y p(x)yq(x)的所有積分曲線上橫坐標相同的點的切線交于一點。證：記y y1(x)為方程y p(x) y q(x)的一條積分曲線，則 方程y p(x)y q(x)的任一條積分曲線可記為y Cy1(x)。曲線yy1 (x)在點(x0, y