概率期望與方差的計(jì)算和性質(zhì)

1、概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)一：常見(jiàn)的概率類型與概率計(jì)算公式；類型一：古典概型；1、古典概型的基本特點(diǎn)：基本事件數(shù)有限多個(gè)；（2）每個(gè)基本事件之間互斥且等可能；2、概率計(jì)算公式：A事件所包含的基本事件數(shù)P（A）二A事件發(fā)生的概率總的基本事件數(shù)。類型二：幾何概型；1、幾何概型的基本特點(diǎn)： 基本事件數(shù)有無(wú)限多個(gè)；（2）每個(gè)基本事件之間互斥且等可能；2、概率計(jì)算公式：構(gòu)成A事件的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積或角度）A事件發(fā)生的概率 P（A）二一總的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積或角度） 注息：（1） 究竟是長(zhǎng)度比還是面積比還是體積比，關(guān)鍵是看表達(dá)該概率問(wèn) 題需要幾個(gè)變量，如果需要一個(gè)變量，則應(yīng)該是長(zhǎng)度比或者角 度比；若需要兩

2、個(gè)變量則應(yīng)該是面積比；當(dāng)然如果是必須要三 個(gè)變量則必為體積比；b5E2RGbCAP 如果是用一個(gè)變量，到底是角度問(wèn)題還是長(zhǎng)度問(wèn)題，關(guān)鍵是看 誰(shuí)是變化的主體，哪一個(gè)是等可能的；2 二例如：等腰4ABe中，角C=,則： 若點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，求使得AM MAC的概率； 若射線CA繞著點(diǎn)C向射線CB旋轉(zhuǎn)，且射線CA與線段AB始終相交且交點(diǎn)是M求使得AM £ AC的概率；解讀：第一問(wèn)中明確M為AB上動(dòng)點(diǎn)，即點(diǎn)M是在AB上均勻分布，p= AC 2/3所以這一問(wèn)應(yīng)該是長(zhǎng)度之比，所求概率：173床一5。而第二問(wèn)中真正變化的主體是射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以角度的變化是均勻的，所以這一問(wèn)應(yīng)該是角度之比的問(wèn)題，

3、所以所求的概率：n _ 75 _ 5P> ='-=120 8； plEanqFDPw知識(shí)點(diǎn)二：常見(jiàn)的概率計(jì)算性質(zhì)；類型一：事件間的關(guān)系與運(yùn)算；A+B制事件)：表示A B兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；A,B<積事件)：表示A、B兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生；A<對(duì)立事件)：表示事件 A的對(duì)立事件；類型二：復(fù)雜事件的概率計(jì)算公式；1、和事件的概率：P(A B)=P(A) P(B) - P(A *B)<1)特別的，若A與B為互斥事件，則：P(A B)=P(A) P(B)<2)對(duì)立事件的概率公式：P(A) =1 -P(A)2、積事件的概率：<1)若事件AAn相互獨(dú)立，則：P(

4、Ai “A H*An) =P(A)卬(4) 川 P(An)<2) n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利實(shí)驗(yàn)中，某事件A在每一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率都為p,則在n次實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率：DXDiTa9E3dP(A)n =Cn pk(1-p)n-類型三：條件概率；1、條件概率的定義：我們把在事件 A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率記為：P(B|A);P(B| A)=P(A，B)P(A)2、三個(gè)常見(jiàn)公式: 乘法公式：p(ab) = p(a)p(b|A)n 入=1.1 全概率公式：設(shè)A，A2，A3，M,An是一組互斥的事件且 皿 ， 則對(duì)于任何一個(gè)事件B都有：nnP(B)=P(Ak 'B)- P(Ai).

5、P(B|A) k 1k 1n(3)貝葉斯公式：設(shè)Ai&iAJILAn是一組互斥的事件且 乙人一建P(Ajl B)=P(Aj)P(B|Aj)n£ P(A),P(B|A)kd則對(duì)于任何一個(gè)事件B都有：知識(shí)點(diǎn)三：求解一般概率問(wèn)題的步驟;第一步：確定事件的性質(zhì)：等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)等；第二步：確定事件的運(yùn)算：和事件、積事件、條件概率等；第三步：運(yùn)用相應(yīng)公式，算出結(jié)果；知識(shí)點(diǎn)三：常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)字特征量及其計(jì)算； 特征量一：平均數(shù)哪學(xué)期望)-1 .，計(jì)算公式一:計(jì)算公式二:計(jì)算公式三:x (Xi X2 X3 HI Xn)n；n Ex 二' xi *

6、P(X 二 xi) k3若隨機(jī)變量x是連續(xù)型隨機(jī)變量，且函數(shù)f(x)是它的 密度函數(shù))boEx = xf(x)dx特征量二：中位數(shù)將所有的數(shù)從大到小排或者從小到大排，若共有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則 正中間的那個(gè)數(shù)叫做這一列數(shù)的中位數(shù)；若共有偶數(shù)個(gè)數(shù)，那么正 中間那兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做這一列數(shù)的中位數(shù)。 RTCrpUDGiT 特征量三：眾數(shù)將所有數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多且次數(shù)超過(guò) 1次的數(shù)叫做這一列數(shù)的眾 數(shù)。一列數(shù)的眾數(shù)可以有多個(gè)，也可以沒(méi)有。特征量四：方差方差反映一組數(shù)或者一個(gè)統(tǒng)計(jì)變量的穩(wěn)定程度，方差越小數(shù)值越 穩(wěn)定，方差越大則數(shù)值波動(dòng)越大。計(jì)算公式一:1 n2(x -x)n kl.計(jì)算公式二:1 n2P(x=x

7、k)“xk-Ex)n k4計(jì)算公式三:= Ex2 (Ex)2 .注：期望和方差的性質(zhì)： 性質(zhì) 1： E(c)=c；性質(zhì) 2- E(ax+b) =aEx+b .,性質(zhì) 3： E(xi +x2 +|l| + xn) = Exi +Ex2 +IH + Exn .性質(zhì)4:若x，y相互獨(dú)立，則：E(xy) = (Ex).(Ey)；_2_2_2性質(zhì) 5： D(x)=E(x-E(x) =E(x)-(E(x)；性質(zhì) 6: D(c)=0；2性質(zhì) 7: D(ax+b) =a D(x)；性質(zhì)8：若x，y為兩個(gè)隨機(jī)變量則：D(x+y)=D(x)+ D(y)2(x E(x) ,(y E(y).性質(zhì)9:若x，x2，M，x

8、n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則：D(xi +x2 +|l| + xn) = D(xi) + D(x2)+| +D(xn).知識(shí)點(diǎn)四：簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)；問(wèn)題一：統(tǒng)計(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單的抽樣方法；方法一：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；1、基本原理：根據(jù)研究目的選定總體，首先對(duì)總體中所有的觀察單 位編號(hào)，遵循隨機(jī)原則，采用不放回抽取方法，從總體中隨機(jī)抽取一定數(shù)量觀察單位組成樣本。5PCzVD7HxA2、具體做法：隨機(jī)數(shù)字法；抽簽法;3、 優(yōu)缺點(diǎn)分析：優(yōu)點(diǎn)：基本原理比較簡(jiǎn)單；當(dāng)總體容量不大時(shí)比較方便；抽樣誤差的計(jì)算較方便；缺點(diǎn)：對(duì)所有觀察單位編號(hào)，當(dāng)數(shù)量大時(shí)，有難度；方法二：系統(tǒng)抽樣；1、 基本原理：先將總體的觀察單位按某順序號(hào)

9、等分成n 個(gè)部分再?gòu)牡谝徊糠蛛S機(jī)抽第k 號(hào)觀察單位，依次用相等間隔，機(jī)械地從每一部分各抽取一個(gè)觀察單位組成樣本；jLBHrnAILg2、 優(yōu)缺點(diǎn)分析：優(yōu)點(diǎn)：抽樣方法簡(jiǎn)便，特別是容量比較大的時(shí)候；易得到一個(gè)按比例分配的樣本，抽樣誤差較??；缺點(diǎn)：仍需對(duì)每個(gè)觀察單位編號(hào)；當(dāng)觀察單位按順序有周期趨勢(shì)或單調(diào)性趨勢(shì)時(shí)，產(chǎn)生明顯偏性；方法三：分層抽樣；1 、 基本原理：先將總體按某種特征分成若干層，再?gòu)拿恳粚觾?nèi)隨機(jī)抽取一定數(shù)量的觀察單位，合起來(lái)組成樣本。2 、 具體做法：第一步：計(jì)算每一層個(gè)體數(shù)與總體容量的比值；第二步：用樣本容量分別乘以每一層的比值，得出每層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)；第三步：用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法產(chǎn)生

10、樣本;3、優(yōu)缺點(diǎn)分析：優(yōu)點(diǎn)：在一定程度上控制了抽樣誤差，尤其是最優(yōu)分配法；缺點(diǎn)：總體必須要能分成差別比較大的幾層時(shí)才能用，局限性比較大；總結(jié)：以上三種抽樣方法的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性相同；知識(shí)點(diǎn)五：常用的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)圖表；圖表一：頻率分布直方圖與頻率分布折線圖；1、說(shuō)明幾個(gè)基本概念： 頻數(shù)：符合某一條件的個(gè)體個(gè)數(shù)；頻數(shù) 頻率：頻率=總數(shù)； 在必要情況下，可以近視的看作概率;所有組的頻率之和是1；）2、認(rèn)識(shí)頻率分布直方圖：橫標(biāo)是分組的情況；(2)縱標(biāo)不是頻率，而是頻率/組距；小方框的面積才是頻率；所有的面積和為1；3、畫頻率分布直方圖：第一步：求極差；第二步：分組，確定組距；第三步：列頻

11、率分布表；第四步：作圖；4、畫頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中每個(gè)方框的頂邊的中點(diǎn)用直線連起來(lái)形成的折線圖；5、利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)字特征量：1(1)中位數(shù)：取圖中方框面積和達(dá)到2時(shí)的橫坐標(biāo)；(2)眾數(shù)：取最高的那個(gè)方框的中點(diǎn)橫坐標(biāo)；nE(x) f Xk，P(x=Xk)(3)平均數(shù)：1；其中人表示第k組的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，Hx'xJ表示第k組的頻率； nD(x)八 E-E(x)2(4) 方差：心；圖表二：莖葉圖；定義：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，一般用中間的數(shù)表示個(gè)位數(shù)以上的部分，兩 邊的數(shù)表示個(gè)位數(shù)字；若數(shù)據(jù)是小數(shù)，一般用中間的數(shù)表示整數(shù)部分，兩邊的數(shù)表示小數(shù)部分形成的圖表；xHAQX

12、74J0X印知識(shí)點(diǎn)六：變量間的相互關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例；1、相關(guān)關(guān)系的分類：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩 個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角 到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)。LDAYtRyKfE2、線性相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附 近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線 Zzz6ZB2Ltk3 .最小二乘法求回歸方程：(1>最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最 小的方法叫最小二乘法.(2>回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1 , y

13、1>, (x2 , y2>,，(xn , yn>,其回歸方程為錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！ x + 錯(cuò)誤！，dvzfvkwMII其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距.4 .樣本相關(guān)系數(shù)：£ (- x) ( yi y)產(chǎn)1_/y t r.)2 y( _)2r=?i* ±H ' ，用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量間的線性 相關(guān)關(guān)系.(1當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；(2當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；(3r的絕對(duì)值越接近1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r 的絕對(duì)值越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān) 系.通常當(dāng)|r| 0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)

14、 系.rqyn14ZNXI6.獨(dú)立性檢驗(yàn)：(1用變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，這種變量稱 為分類變量.例如：是否吸煙，宗教信仰，國(guó)籍等. EmxvxOtOco(2列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.(3一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的值域分別為 x1 , x2和y1 , y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表 為： SixE2yXPq5y1y2總計(jì)x1aba+ bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d»n(ad -bc)2K _(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)(其中 n=a + b+c+d 為樣本容量,可利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來(lái)判斷“X與y的關(guān)系”

15、.這種利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱 為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).6ewMyirQFL 附表：P(K2 A k>0.0500.0100.001k3.8416.63510.828汪息:1) K2越大相關(guān)性越強(qiáng)，反之越弱；2)附表中P(K2Ak是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)變量無(wú)關(guān)的概率；知識(shí)點(diǎn)七：常見(jiàn)的概率分布及期望、方差；類型一：離散型隨機(jī)變量的概率分布；1、兩點(diǎn)分布 貝努利分布或0、1分布)：(1)特點(diǎn)：隨機(jī)變量x只能取兩個(gè)值0、1;分布列如下：x01ppq(2)期望：E(x)=q；2方差：D(x)=q-q =pq；2、二項(xiàng)分布：(1) 特點(diǎn)：在n次獨(dú)立重復(fù)的貝

16、努利實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)中A事件發(fā)生的概率都是p;每次實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果 A或入；隨機(jī) 變量x表示n次實(shí)驗(yàn)中A事件發(fā)生的次數(shù)；kavU42VRUsk kn -k即：P(x=k)=Cnp (1-p)；則稱隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布; 記為：xUB(n，P)；(2)期望：E(x)=nP； 有兩種不同的證明方法，這里就省略 了。)方差：D(x) =np(1 p) =npq .3、幾何分布:(1) 特點(diǎn)：在獨(dú)立重復(fù)的貝努利實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)中 A事件發(fā)生的概率都是p,不發(fā)生白概率為1-p)；隨機(jī)變量x表 示A事件首次出現(xiàn)時(shí)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)；則稱隨機(jī)變量 x服從幾何 分布，記為：xL1G；y6v3ALoS891E(x)

17、= -k 期望： p； P(x=k)=(1-p) P,期望公式可以利用等比數(shù)列求和和極限的思想證明。)1 一 p方差：D(x):不；4、超幾何分布:(1) 特點(diǎn)：一般的共有N個(gè)個(gè)體，A類個(gè)體有M個(gè)，從中任取n個(gè)，隨機(jī)變量x表示取到的A類個(gè)體的個(gè)數(shù)，則稱x服從超幾何分布，記為：xL1H (n,M，N)； M2ub6vSTnPk n -kP(x = k) M 尸;(k = 0,1,2,3jH ,min M ,n) CN.E(x)=期望：MnD(x)=方差：Mn M (M -1)n(n -1)N(N -1)Mn 2_()N ；類型二：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布； 高中階段我們只研究正態(tài)分 布) 正態(tài)分

18、布:1、密度函數(shù)的概念：在頻率分布折線圖中，當(dāng)樣本容量取得足夠大,組距取得足夠小的時(shí)候頻率分布折線圖會(huì)變成一條光滑的曲線,我們就把這樣的曲線叫做連續(xù)性隨機(jī)變量的密度曲線；把他的解讀式叫做密度函數(shù)；OYujCfmUCw顯然，如果連續(xù)型隨機(jī)變量x的密度函數(shù)是f(x),則:b二二P(a 三 x ：二 b) = f(x)dx jf(x)dx=1aP(x：a)= f (x)dx P(x a) = f (x)dxa2、正態(tài)分布的定義：如果連續(xù)型隨機(jī)變量 x的密度函數(shù)是: xL N”,。2).d(xj21- 2-7f(x)：-e2二；一一；則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布，記為:3、正態(tài)分布曲線的特點(diǎn):<1 )整條曲線都在x軸的上方，即“刈>°對(duì)隊(duì)"恒成立；<2) x=N是他的對(duì)稱軸，當(dāng)小(血，刈時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xR,時(shí)，函數(shù)f單調(diào)遞減；在x = N時(shí)取得最大值；<3)正態(tài)分布曲線的兩個(gè)主要參數(shù) R產(chǎn)的幾何學(xué)意義：參數(shù)N決定對(duì)稱軸的位置，也決定整條曲線的位置，所以也 稱為位置參數(shù)；參數(shù)仃決定數(shù)據(jù)的離散程度，也就決定了曲線 的高矮胖瘦；具體規(guī)律是：。越大，數(shù)據(jù)越離散，曲線越矮越胖; 。越小，數(shù)據(jù)越集