第6講函數(shù)的單調性學生(新高一培優(yōu)十六講系列)

1、第6講函數(shù)的單調性玩前必備1 .函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)一般地，設函數(shù) y=f(x)的定義域為 A區(qū)間任思兩個值 X1, X2,M? A如果取區(qū)間M中的定義改變量 A x = x2-xi0,則當A y=f (x2) f (xi) 0時，就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)改變量 Ax=x2-xi0,當 A y =f侔)f (xi) v 0時，就稱函數(shù) y= f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖象描述，可自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y = f(x)在這一區(qū)間具有(嚴 格的)單

2、調性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間.2 .函數(shù)的最值前提設函數(shù)y = f(x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) M滿足條件(1)對于任意xe I,都有f(x)wM(2)存在 xoC I ,使得 f(xo) = M(1)對于任意x C I ,都有f(x) RM(2)存在 xoC I ,使得 f (xo) =M結論M為最大值M為最小值玩轉典例題型一函數(shù)單調性的判斷和證明一 一一 x*2,例1判斷并證明函數(shù) y=x-在(一1, +8)上的單調性.x+ 11, x0,例2.設函數(shù)f(x)= 0, x=0,g(x) =x2f (x1),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是 1, x v 0,例3.函數(shù)yx2

3、2x 3的單調遞增區(qū)間為玩轉跟蹤2- x 、_.1一，一 一1 .已知函數(shù)f(x) =-7,證明：函數(shù)f(x)在(一1, +8)上為減函數(shù). x-I- 12 .定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a, b,總有f a f b 0,則必有()a bA.函數(shù)f(x)先增后減B.f(x)是R上的增函數(shù)C.函數(shù)f(x)先減后增D.函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)3 .畫出函數(shù)y=x2+2|x|+1的圖象并寫出函數(shù)的單調區(qū)間.題型二函數(shù)單調性的應用 角度一：利用函數(shù)的單調性求最值1,一，x 1 ,例4(1)函數(shù)f(x)= x的最大值為x2+ 2, x0),且f(x)在0,1上的最小值為g(a),求g

4、(a)的最大值. a角度二：利用函數(shù)的單調性求解不等式 例5 1.(1)已知y=f(x)在定義域(一1,1)上是減函數(shù)，且 f (1 a)f(a + 3),則實數(shù)a的取值范圍為2.探究與創(chuàng)新 設f(x)是定義在(0, +8)上的函數(shù)，滿足條件: (1)f(xy) = f(x)+f(y);(2)f(2) = 1;(3)在(0, +8)上是增函數(shù).如果f(2) + f(x-3)1.題型三分類討論二次函數(shù)單調性和最值例7 求函數(shù)f(x) x2 2ax 1在閉區(qū)間0,2上的單調性和最小值.【玩轉跟蹤】1 .已知函數(shù)f(x) x2 2ax 2,求f(x)在 5,5上的最大值與最小值.22 .已知函數(shù)f(

5、x) x2 2x 3,當x t, t 1時，求f(x)的最大值與最小值.題型四抽象函數(shù)單調性和最值例8 已知函數(shù)f (x)對于任意x, yC R,總有 2f=-3.(1)求證：f (x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在 3,3上的最大值和最小值.f(x) + f(y) = f(x + y),且當 x0 時，f(x)v0,【玩轉跟蹤】1.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,)，且當x 1時，f (x) 0且f(xy) f(x) f(y).(1)求f(1)的值；(2)證明f (x)在定義域上的增函數(shù)；，一 J一一- 11(3)解不等式 fx(x -) 0.玩轉練習1.下列說法中，正確的有()f Xf

6、 Xo若任意Xi,X2CI,當X1VX2時，10,則y=f(x)在I上是增函數(shù)；X1 X2函數(shù)y=X2在R上是增函數(shù)；1函數(shù)y= 1 在定義域上是增函數(shù)； X一 ,，,，1 一函數(shù)y=的單倜區(qū)間是(一00, 0)U (0,). XA.0個 B.1個 C.2個 D.3個2 .下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()A.y= |x|B.y = 3xC.y= D.y=-x2+4X3 .若函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在5,8上是單調函數(shù)，則 k的取值范圍是()A.(-oo, 40)B.40,64C.(-oo, 40 U 64, +8)D.64 , +o )4 .若f(x)為R上的增函數(shù)，kf(x)為R上的減函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A.k為任意實數(shù)B.k0C.kv0D.k 一1B.4C. 2wavOD. a 0449 .已知函數(shù)f(x) = x2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x= 1,則()A.f( 1)f(1)f(2)B.f(1)f(2)f( 1)C.f(2)f( 1)f(1)D.f(1)f( 1)f(2)10 .討論函數(shù)y=x22(