空間點(diǎn)線面位置關(guān)系精講精練

1、空間點(diǎn)線面位置關(guān)系精講精練一.學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解有關(guān)的可以作為推理依據(jù)的公理和定理；2 .能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.二.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：三個(gè)公理的教學(xué)是重點(diǎn)。平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基礎(chǔ)。教學(xué)難點(diǎn)：公理的理解與運(yùn)用是難點(diǎn)，而兩條異面直線所成的角和距離是高考熱點(diǎn)，在新課標(biāo)高考卷中頻頻出現(xiàn).知識(shí)梳理1 .四個(gè)公理公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).公理2:過(guò)不在一條直線上的F 有且只有一個(gè)平面.公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.公理4:平行于

2、同一條直線的兩條直線平化2 .直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系的分類共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) O作直線a' / a, b' / b,把a(bǔ)'與b' 所成的銳角(或直角)叫做異面直線a, b所成的角(或夾角).范圍：0, 2.3 .直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況.4 .平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.5 .等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4 .思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或"X”

3、)(1)如果兩個(gè)不重合的平面 “，3有一條公共直線 a,就說(shuō)平面% 3相交，并記作an 3= a.()(2)兩個(gè)平面% 3有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō) 3相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線.()(3)兩個(gè)平面% 3有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō) 3相交于A點(diǎn)，并記作an 3= A.()(4)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.( )(5)經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.()5 .典例剖析題型一平面的基本性質(zhì)例1(1)(安徽理)在下列命題中，不是公理的是 ()A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B.過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D

4、 .如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(2)下列命題正確的個(gè)數(shù)為 ()梯形可以確定一個(gè)平面；若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(3)下列如圖所示是正方體和正四面體，P、面的圖形是.Q R S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共 課堂練習(xí)1:已知空間四邊形 ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，則下列判斷：CD MN >2i 1i 1i 1（AC+BD）; MN>2（AC+BD）; MN = 2（AC + BD

5、）; MN<2（AC+BD）.其中正確的是.題型二平面基本性質(zhì)應(yīng)用例2 已知在正方體 ABCD AB1CD中，E, ACnEF = Q.求證：(1) D, B, F, E 四點(diǎn)共面； 三點(diǎn)共線；(3) DE BF, CC三線交于一點(diǎn).1F分別為DC, CB1的中點(diǎn)，ACABD=P,(2)若AC交平面DBFEF R點(diǎn)，則P, Q, R1課堂小結(jié)：(1)點(diǎn)共線問(wèn)題的證明方法：證明空間點(diǎn)共線，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再依據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.(2)線共點(diǎn)問(wèn)題的證明方法：證明空間三線共點(diǎn)，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證第三條直線 經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直

6、線上。3 / 8（3）點(diǎn)線共面問(wèn)題的證明方法：納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面a ,再證明其余點(diǎn)、線確定平面3 ,最后證明平面a , 3重合.課堂練習(xí)2:如圖，平面ABEFL平面ABCD,四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，, 一， 一 _ 1一 1/BAD = /FAB=90 , BC/AD 且 BC= AD , BE/AF 且 BE = AF , G、H分別為FA、FD的中點(diǎn).（1）證明：四邊形 BCHG是平行四邊形；（2）C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？題型三判斷空間兩直線的位置關(guān)系例3 （1）（高考廣東卷文）若直線li

7、和12是異面直線，li在平面內(nèi)，12在平面 內(nèi)，1是平面 與平面 的交線，則下列命題正確的是（）A. 1至少與11 , 12中的一條相交BC. 1至多與11 , 12中的一條相交D1與11, 12都相交1與11, 12都不相交（2）在圖中，G、中點(diǎn)，則表示直線N、M、H分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱 ）的頂點(diǎn)或所在棱的GH、MN是異面直線的圖形有.（填上所有正確答案的序號(hào)）E, F分別為棱AA ,（3）在正方體ABCD-A BCD中, 直線ADj EF, CD都相交的直線有CC的中點(diǎn)，則在空間中與三條 1條.平行和垂直的判定.對(duì)于異面直線，（梯形）中位線的性質(zhì)、公理 4及線面課堂小結(jié)

8、：空間中兩直線位置關(guān)系的判定， 主要是異面、可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.3 / 8課堂練習(xí)3:如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，M, N分別是BCi, CDi的中點(diǎn)，則下 列判斷錯(cuò)誤的是（）A . MN與CCi垂直B. MN與AC垂直C. MN與BD平行 D. MN與AiBi平行題型四 求兩條異面直線所成的角例4 新課標(biāo)全國(guó)卷n 直三棱柱 ABCABCi中，/ BCA= 90° , M N分別是 AB, AG的中點(diǎn)，BO CA= CC,則BMf AN所成角的余弦值為（）i A A.i

9、02B.5C且C. io9 / 8例5 （高考廣東卷理）如圖2,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形 ABCD所在的平面垂直， PD=PC=4, AB =6 , BC=3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段 AB、BC 上，且 AF=2FB, CG=2GB. （i）（略）（2）（略）（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值.C例6 空間四邊形 ABCD中，AB = CD且AB與CD所成的角為30°, E、F分別為BC、AD 的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小.課堂小結(jié)：（1）求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用 圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)（線段的端點(diǎn)或

10、中點(diǎn)）作平行線平移；補(bǔ)形平移.（2）求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”.其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過(guò)作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，進(jìn)而求解.課堂練習(xí)4:（1）大綱全國(guó)）已知正四面體 ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直 線CE與BD所成角的余弦值為（）1A.6B.Vc.3D.i3(2)直三棱柱 ABC AiBiCi中，若/ BAC = 90°, AB = AC=AAi,則異面直線 BAi與ACi所成 的角等于()A. 30° B. 45° C. 60°

11、 D, 90°重要數(shù)學(xué)思想方法：構(gòu)造模型判斷空間線面的位置關(guān)系例7 （上海高考）已知空間三條直線l, m, n,若l與m異面，且l與n異面，則m與n的 位置關(guān)系是.【智慧心語(yǔ)】易錯(cuò)提示：不能結(jié)合答案及條件構(gòu)造模型，否則易錯(cuò).防范措施：這類題目可以以常見的空間幾何體（如正方體，正四面體等）為模型進(jìn)行推理或者反駁.課堂練習(xí)5:（廣東）若空間中四條兩兩不同的直線li, l2, l 3, l4,滿足li_Ll2, l2_Ll3, l3_Ll4,則下列結(jié)論一定正確的是 （）A. li±l4B . li / l4 C. li與l4既不垂直也不平行D. li與l4的位置關(guān)系不確定六. 課

12、后總結(jié)：方法與技巧1 .主要題型的解題方法（1）要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn) 也在這個(gè)平面內(nèi)（即“納入法”）.(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.2 .判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn) B的直線是異面直線.(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.3 .求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面 問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及

13、推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解.失誤與防范1 .正確理解異面直線 “不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”2 .不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線”條件.3 .兩條異面直線所成角的范圍是 (0 °, 90° .七.家庭作業(yè)：A組1.設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,、/2和a,且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為，2的棱異面，則a的取值范圍是()A. (0,也)B. (0, 3) C. (1, >/2) D. (1, <3)2.四棱錐PABCD的所有側(cè)棱長(zhǎng)都為 所

14、成角的余弦值為()乘,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,則CD與PA2553 A.方 B.T43C.5 D.53.設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線， 正確的命題是()PCa, PC ? a?*anb=P, b?儻 ? b? a；加爐=b, p e % p e 僅 p e b. A. B. C. D.a、3表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中a? & a/ b, a? a, PC b, PC a4.如圖所不，平面 a, 位置關(guān)系是.丫兩兩相交，a, b, c為三條交線，且 a/b,則a與c, b與c的5.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 所在的平面與直線 CE, EF相交的平

15、面?zhèn)€數(shù)分別記為a上，且 AB/CD,正方體的六個(gè)面 m, n,那么 m+n =.6 .若兩條異面直線所成的角為60。，則稱這對(duì)異面直線為“黃金異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對(duì)"共有 對(duì).7 .如圖，空間四邊形 ABCD中，E、F、G分別在 AB、BC、CD上，且滿 足 AE : EB=CF : FB=2 ： 1, CG ： GD = 3 ： 1,過(guò) E、F、G 的平面交 AD 于點(diǎn)H.(1)求 AH：HD; (2)求證：EH、FG、BD 三線共點(diǎn).8 .如圖，在四麴隹OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OAL 底面ABCD, OA=2, M為OA的中點(diǎn).(1)求四棱錐OABCD的體積；(2)求異面直線 OC與MD所成角的正切 值的大小.B組9 .以下四個(gè)命題中：不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn) A、B、C、E共面，則點(diǎn) A、B、C、D、E共面; 若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；依次首尾相接的四條 線段必共面.正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 310 .如圖是正四面體（各面均為正三角形）的平面展開圖，G