直線方程專題精講

1、直線方程專題精講考點一：直線的傾斜角與斜率一.知識梳理:1 .傾斜角的定義當直線l與X軸相交時, 叫做直線L的傾斜角.我們?nèi)?x軸為基準，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的(1)定義中含三個條件：直線向上方向； X軸正方向；小于平角的正角.(2)直線的傾斜角是由X軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角.(3)傾斜角的范圍：0180 ,當直線L與x軸平行或重合時，規(guī)定 0 .(4)傾斜角的幾何意義：表示直線對X軸正方向的傾斜程度，它是刻劃直線傾斜程度的形(5)平面直角坐標系中的每條直線都有一個確定的傾斜角.(6)確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是：直線上一個定點；直線的傾斜角.試一

2、試：如圖中所標直線傾斜角正確的是 2 .斜率的概念及公式(1)斜率的定義：傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，記為 k ,則 k tan斜率的取值范圍：當 0時，k 0；當 090 時，k 0；當 90時，k不存在；當 90180 時，k 0.k tan 在0,90 和90 ,180 上單調(diào)遞增.所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率.斜率是刻劃直線傾斜程度的數(shù)”.試一試：過點(1, 0)作傾斜角分別為30 ,45 ,135 ,150的直線，并分別求出斜率。(2)過兩點的直線的斜率公式：設(shè)任意P1(x1,y1)、P2(x2,y2) L , x1 X2 ,則斜率公式

3、為y2yiXiX2在同一條直線 L上，R、P2的選取具有任意性，但直線 L的斜率k唯一確定.斜率公式與Pi、P2的順序無關(guān)，保持字母下標順序一致即好.如果yi、2,Xi X2,則直線與x軸平行或重合，k 0；如果yi、2,XiX2 ,則直線與x軸垂直，直線的傾斜角等于 90 , k不存在.3 .兩條直線平行與垂直的判定(一)、兩條直線平行的判定：(i)如圖i,兩條不重合的直線 Li和L2,它們的斜率存在，分別為 ki和k2,它們的傾斜角分 別為01和02.(二)、兩條直線垂直的判定：(i)如圖3,兩條直線Li和L2,它們的斜率都存在，且斜率分別為和 02 ( M、 0290 ° )如

4、果 Li L2,有 2 i 90 ,貝U tan 2 tan i 90一i一故k2一,即 kik2i .反之，若 kik2i,有LiL2kiki和k2,斜角分別為 aii tan i .則 k1k2iLi L2 .右 Li/L2 i= 2ki=k2,反之，若 ki=k2i= 2Li / L2.貝U Li / L2k1 二k2.(2)如圖2,兩條不重合直線 Li、L2,它們的斜率都不存在，則Li X軸，L2 x軸，故Li/ L2.則Li/L2 Li, L2斜率都不存在.(3)兩條直線有可能重合且斜率存在時，則ki = k2Li/ L2或Li與L2重合.(2)如圖4,兩條直線中，一條直線斜率不存在

5、，另一條直線斜率為0,此時兩直線垂直.綜合(1)、(2),LiL2ki k21或一條直線斜率不存在，同時另一條直線斜率為0.y*lil2二.典例剖析:題型一直線傾斜角的概念【例1】 直線Li與x軸相交于點P,若Li繞P點逆時針旋轉(zhuǎn)120 °與x軸重合，根據(jù)下 列情況，求L2的傾斜角.(1)L1L2；(2)L1 L2.題型二 傾斜角與斜率的關(guān)系基礎(chǔ)自測：下列敘述中不正確的是()A、若直線的斜率存在，則傾斜角存在B、每一條直線都唯一對應一個傾斜角C、與坐標軸垂直的直線的傾斜角為90 °或0°D、若直線的傾斜角為 %則直線的斜率為tan”2、已知直線L的傾斜角 150

6、,則k ()A、石 B、g C、D、«【例2】已知直線L1的傾斜角1 = 30°,直線L1 L2,求L1, L2的斜率.變式練習：已知L1的傾斜角1=15°, L1與L2交于A, L1與L2向上方向所成角為120°,求L2的斜率. 一一 3【例3】設(shè)直線的斜率為k,且，3 k 衛(wèi)，求直線傾斜角的取值范圍.3變式練習：(1).已知直線L的傾斜角滿足一6k的取值范圍.(2).直線斜率A. 0,7t4AB 37t則直線的傾斜角的取值范圍是冗C. 0, 了 U7t2 57t7t題型三由斜率公式求斜率基礎(chǔ)自測1、若過點(一2,a)和點(a, 4)的直線斜率不存在，

7、則 a =2、已知點P(3, 2),點Q在x軸上，若直線PQ的傾斜角150°,則點Q的坐標為【例4】(1)已知兩點A(-1,2), B(m,3),求：(I)求直線AB的斜率；(II)已知實數(shù)mC 乎一1,寸31,求直線AB的傾斜角”的范圍.3(2)(蘇州模擬)若直線l過點P(1,2),且與以A( 2, 3),B(3,0)為端點的線段相交，則直線l 的斜率的取值范圍是.變式練習1、過點M(1, m), N(m+1,4)的直線的斜率等于 1,則實數(shù)m的值為()A. 1B. 1C. 2D. 1232、已知A 3,4、B3,2 ,過點P 1,0的直線L與線段AB有公共點，(1)求直線L的斜率

8、k的取值范圍；(2)求直線L的傾斜角的取值范圍。題型四點共線問題【例5】已知三點A(0,a), B(2,3), C(4,5a)在一條直線上，求 a的值，并求這條直線的傾斜 角.變式練習1、求證：A(1,1), B(-2-7), C(0,3)三點共線.2、已知 A(3, 5), B(4, 7), C(-1, x)三點共線，則 x=題型五兩條直線平行問題基礎(chǔ)自測1、下列命題中，正確的是()A、如果兩直線平行，則它們的斜率相等B、如果兩直線垂直，則它們的斜率互為負倒數(shù)C、如果兩直線斜率之積為-1,則它們互相垂直D、如果一直線的斜率不存在，則它一定平行于y軸2、經(jīng)過兩點A(2,3), B(1,x)的直

9、線Li與斜率為一1的直線L2平行，則實數(shù)x的值為 ()A、0 B、一6C、6 D、3【例 6】已知 Li 經(jīng)過 A(3,3), B(-8,6), L2 經(jīng)過 M( 21 ,6), N(9, 3),求證:L1/L2. 22變式練習：經(jīng)過兩點A(2,3), B( 1,x)的 直線Li與經(jīng)過點P(2,0)且斜率為1的直線L2平行, 求x的值.題型六兩條直線垂直問題基礎(chǔ)自測：1、經(jīng)過點(m,3)和(2,m)的直線L與斜率為一4的直線互相垂直，則 m=2、已知 A(1,1), B(2,2), C(3, 1)是 ABCD的三個頂點，則點 D的坐標是 【例7】判斷下列各題中的直線L1, L2是否垂直：(1)

10、 L1經(jīng)過 A 1, 2 , B 1,2 , L2 經(jīng)過 P 2, 1 , Q 2,1 ; L1 經(jīng)過 A (3,4), B(3,6), L2經(jīng)過 P(5,20), Q(5,20).【例8】已知直線m經(jīng)過點A(3,a), B(a-2,3),直線m2經(jīng)過點M(3,a), N(6,5),若m1 m2, 求a的值.【變式練習】：已知點A(2,3), B(-1,1),在y軸上求一點C,使？ABC為直角三角形，且 A為直角.課堂小結(jié):1 .要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式:y2 y1k=-乙，該公式X2 X1與兩點順序無關(guān)，已知兩點坐標(X1歡2)時，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點的

11、直線的斜率.當= X2, y1號2時，直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90° .X1割，牢記： 斜率變化分兩段，90。是分界,遇到斜率要謹記，存在與否需討論2 .求斜率可用k=tanaw 90；其中“為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分三.課堂練習:1、直線x= 1的傾斜角和斜率分別是()A. 45°, 1B. 135°,C. 90°,不存在D. 180°,不存在2、給出下列命題：任何一條直線都有唯一的傾斜角；一條直線的傾斜角可以為30傾斜角為0的直線只有一條，即X軸; 按照傾斜角的概念，直線傾斜角的集合180與直線集合建立了一一映

12、射關(guān)系.其中正確命題的個數(shù)是()A、 1 B、 2 C、 3D、43、直線 Li 過點 P 3 73,6J3、Q 3 273,3J3，直線L2的傾斜角與L1的傾斜角互補，則直線A、 150B、 120°L2的傾斜角是(C、60°)D、30°4、如圖，直線L1,L2, L3的斜率分別是k1 , k2k3,則有 (A、k1k2k3B、k3k1k2 C、k3k2k15、若直線l經(jīng)過點(a 2, 1)和(a 2,1),且與經(jīng)過點(-2,1),D、k13則實數(shù)a的值是().23A. 3B. 22C" 33D.26、直線 l 經(jīng)過 A(2,1)、B(1m2)(mC

13、R)兩點,那么直線的傾斜角的取值范圍是(A. 0,兀)B. 0,加卓C. 0,兀4兀 兀D. 0, 4U(-,B(2,1)為端點的線段 AB有公共點，求L的斜7、已知直線 L過點P(3,4),且與以 A(1,0) 率k的取值范圍.考點二：直線的方程一.知識梳理：(一)、直線的方程1、直線的點斜式方程:如圖，直線L經(jīng)過P0 X0,y0 ,且斜率為k,設(shè)點P x,y是直線L上不同于點F0的任意一點，則ky0 ,x X0即 y y0 k x X0方程由直線上一定點及斜率確定，叫做 直線的點斜式方程(i)斜率不存在的直線不能用點斜式方程來表示，通過點 的直線可以表示為 x x0.(2)過R X0,y0

14、平行于x軸的直線為y y0,當y°2、直線方程的斜截式方程：若P0 0,b ,斜率為k,則由點斜式可得P00時,簡稱點斜式.x0 , y0且垂直于x軸y 0即x軸.b是直線L與y軸交點的縱坐標，叫做 直線L在y軸上的截距.方程由直線的斜率 k與直線在y軸上的截距b確定，叫做直線的斜截式方程 斜截式.(i)直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特例，斜率不存在的直線不能用斜截式表示.(2)直線L與y軸交于點 0,b , b叫L在y軸上的(縱)截距，直線L與x軸交于點b R.b是直線，但不是一次函數(shù).叫L在X軸上的(橫)截距. a、b是坐標，不是距離， 當k 0時，y kx b即是一次函數(shù)

15、；當 k=0時, (4)兩直線用斜截式方程表示時，平行、重合的判定：Li ： y kix b ； L2: y k2x b2 .Li II L2k1 =k2 且 nLi與L2重合k=k2且bi3、直線的兩點式方程：已知直線L經(jīng)過Pi (xi, yi)P2(X2丫2), (XiX2),的斜率kyy1 ,則由Pi和k得X2XiL的點斜式方程yiy2yi xXX2xiXi當yiy2時，方程可寫為yyiy2yix xX2 XiXiX2, yiy2 .這個由直線上兩個不同點所確定的方程稱為直線的兩點式方程(i)兩點式方程的特點是表達式對稱，且知直線經(jīng)過的兩個點.(2)不能表不斜率不存在以及斜率為當 xi

16、= x2, yi y2,當 xi x2, yi=y2,4、直線的截距式方程： 已知直線L過A(a直線方程為0的直線.X= Xi ,此時直線垂直于直線方程為y=yi,此時直線垂直于0), B(0, b)兩點，其中 a 0, bX軸;y軸.0,則直線的兩點式方程為y 0 x ab 0 0 a即221.a b這個方程由直線L在兩個坐標軸上的截距 a和b確定，故稱為 直線的截距式方程，簡 稱為截距式.方程的特點：右邊為 1,左邊兩分式用 午”聯(lián)結(jié)，a、b R且ab 0.(2)直線的截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線.過原點的直線可表本為 y= kx,垂直于 x(y)軸的直線可

17、表本為 x=X0(y=y0).5、直線的一般式方程：直線方程的點斜式，斜截式，兩點式，截距式經(jīng)過一定的變形均可化為Ax + By+C =0(A, B不同日為0)的形式，這是二元一次方程.反之也可實現(xiàn)將 Ax+By+C=0(A, B不同 時為0)化為直線方程的某一種形式.把 Ax+ By + C=0(A, B不同日寸為0)叫做直線方程的一 般式，簡稱一般式.(1)直線方程的一般式可表示任何直線；(2)在解求直線方程的問題時，要將所求得的方程化成一般式.(二)、求直線方程的方法(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇適合形式，直接寫出直線方程；(2)待定系數(shù)法：先設(shè)直線方程，利用已知條件求待定方程中的待定

18、字母的值，確定直線方 程.(三)、線段的中點公式x x2什x 2,若點P3P2的坐標分別是(x1,y1)，(x2,y2),設(shè)M(x,y)是線段P1P2的中點,則y 122此公式為線段P1P2的中點坐標公式.二、典例剖析：題型一求直線的點斜式方程【例1】根據(jù)下列條件寫出直線的方程.(1)經(jīng)過點A(1,4),傾斜角135°(2)經(jīng)過點B(1,-2),且與y軸平行;(3)經(jīng)過點C(-1,2),且與x軸平行.變式練習：(1)、根據(jù)條件寫出下列直線的點斜式方程.(1)經(jīng)過點A(1,4),傾斜角為45°(2)經(jīng)過點B(4,2),傾斜角為900；(3)經(jīng)過原點，傾斜角為60。；(4)經(jīng)過

19、點D(1,1),與x軸平行.(2)、已知直線L的傾斜角為，且經(jīng)過點(1, 2),求直線L的方程.題型二直線的斜截式方程【例2】根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程(1)斜率為2,在y軸上的截距為5;(2)傾斜角為150°,在y軸上的截距為2;(3)傾斜角為60°,與y軸的交點到坐標原點的距離為 2.變式練習：寫出斜率為2,在y軸上截距m的直線方程，當 m為何值時，直線過點(1,1)?題型三綜合運用求直線方程【例3】已知直線L過點A(2,-3).若L與直線y=2x+5平行，求其方程；(2)若L與直線y=2x+5垂直，求其方程.變式練習：(1)、求過點A(1, 4)且與直線2x+

20、3y+5 = 0平行的直線方程.(2)、下列四個命題：經(jīng)過定點P0 Xo,yo的直線都可用方程 y yo k x xo表示；經(jīng)過任意兩個不同的點Px1,y1,P2x2, y2的直線都可用方程x2x1xx1y2y1y y1表示；不經(jīng)過原點的直都可用方程 - y 1表示；經(jīng)過定點 A 0,b的直線都可用方 a b程y kx b表示.其中真命題的個數(shù)是()A、0B、1C、2D、3(3)、直線2x 3y=6在x軸、y軸上的截距分別為()A、3, 2B、-3, 0C、3, - 2D、一 3, - 2(4)、已知A(2,0), B(4,8),線段AB的垂直平分線的方程是 題型四直線的兩點式與截距式【例4】

21、(1)、已知三角形的頂點 A(-2,-1), B(1,5), C(3,-3),求BC邊上的中線所在直 線的方程；(2)、(沈陽模擬)若A(1, 2),B(5,6),直線l經(jīng)過AB的中點M且在兩坐標軸上的截距相等, 則直線l的方程為 .【變式練習】三角形的頂點A(-5,0), B(3-3), C(0,2),求這個三角形三邊所在直線的方程;2,兩截距之差為3,求直線L的(2)直線L與兩坐標軸在第一象限所圍成的三角形的面積為 方程.題型五 直線方程形式的互化【例5】(1)經(jīng)過 A 1,5 ， B 2, 1 兩點寫出直線的方程，并化為一般式方程；(2)把直線L的一般方程x 2y 8 0化為斜截式，求出

22、直線 L的斜率以及它在x軸與y軸 上的截距。變式練習1、根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程(1)在y軸上的截距為3,且平行于x軸；(2)斜率為 4 ，在 Y 軸上的截距為 2.222、 (思考)設(shè)直線 L 的方程為 m 2m 3 x 2m m 1 y 2m 6 ，根據(jù)下列條件分別確定 m 的值。(1) L在x軸上的截距是-3;( 2 ) L 斜率是 -1題型六 綜合運用直線方程6】 直線 L 過定點 A 2,3 ，且與兩坐標軸圍成三角形面積為4，求L 的方程。變式練習1、直線L過定點P 5, 4 ,且與兩坐標軸圍成三角形面積為5,求L的方程。三.課堂練習：1 .已知直線的方程是

23、y+2 = x1,則（）.A.直線經(jīng)過點（1,2）,斜率為1B.直線經(jīng)過點（2, 1）,斜率為1C.直線經(jīng)過點（1, 2）,斜率為一1D.直線經(jīng)過點（ 2, 1）,斜率為12 .經(jīng)過點A（2,5）, B（3,6）的直線在x軸上的截距為（）.A.2B.3C. 27D. 273 .過點A（5,2）,且在坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程為（）.A. x-y- 3=0B. 2x-5y= 0C. 2x- 5y= 0 或 x y3=0D. 2x+5y= 0 或 x+y3= 04 .直線ax+by1 = 0(abw 0)與兩坐標軸圍成的三角形的面積為().1111A.2abB.2|ab|C.2abD.2

24、1abi5、已知A（0,1）,點B在x+y=0上運動，當線段 AB最短時，點B的坐標為6、已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點且線段AB的中點為P（4,1）,求直線L的方程.考點三：直線方程應用一.知識梳理1.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y= kx+ b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y yg= k(x x©兩點式過兩點y yi x xiy2 yi -x2 xi與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距x y / 一+工=i a b不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一M式Ax+ By+C= 0(A2+ B2w 0)所有直線2.線段的中點坐標公式若點

25、Pi,P2的坐標分別為（xi,yi）,（x2,y2）,線段P1P2的中點M的坐標為（x, y）,則xi+ X2一 此公式為線段PlP2的中點坐標公式. yi +y2y=2，二.典例剖析：題型一直線方程與位置關(guān)系的判定i、 Li： y kix bi ； L2: y k?x b2 .Li/L2ki=k2 且 bi b2；Li 與 L2重合ki = k2且 bi = b2；Li L2kik2 = i.2、Li：AixB1yCi0,L2：A2xB2yC20.設(shè)A2B2c2 0成立.若 Ai： A2= Bi： B2 Ci： C2Li/L2；若 Ai： A2= Bi： B2 = Ci： C2 Li, L2

26、 重合；若 Ai：A2 Bi： B2LiL 相交；若 A1A2 BiB2 0Li L2 .(2)沒有A2B2 c20這個條件(無論有沒有都可以).若 AB2 A2Bi 0且 AC2 a2cl 0(或 B1c2 B2cl 0)L1/L2 ；若 A1B2 A2B1 0LiL相交；若 AB2 A2B1 AC2 A2C1 0L,L2 重合；若 A1A2 B1B2 0L1 L2 .3、平行直線系： 與L:Ax By C 0平行的直線為 Ax By m 0 m C垂直直線系：與L: Ax By C 0垂直的直線為Bx Ay m 0或Bx Ay m 0【例1】(1)若直線 li： ax+ 2y6=0 與直線

27、 12： x+ (a1)y+ a21 = 0 平行，則 a=(2)若直線13： (a+2)x+(2 a)y= 1與直線14： (a 2)x+(3a4)y=2互相垂直，則 a的值為變式練習1、(濟南模擬)已知兩條直線y ax 2和3x (a 2)y 1 0互相平行，則a等于2、(提高)使三條直線4x + y=4,mx+ y=0, 2x3my= 4不能圍成三角形的 m值最多有()A. 1個B.2個C. 3個D.4個【例2】 已知點A(2, 2)和直線L ： 3x+4y20=0,求過點A和直線L平行的直線方程；(2)過點A和直線L垂直的直線方程.變式練習1、求與直線2x y 10 0垂直，且在x軸、

28、y軸上的截距和為12的直線方程。2、求平行于直線 3x+ 2y-6=0,且在兩坐標軸上截距之和為2的直線方程.題型二直線方程的綜合應用【例3】已知直線1： kx y+1+2k= 0(kC R).證明：直線l過定點；若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于B, 4AOB的面積為S(O為坐標 原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程.變式練習1、已知實數(shù)a,b滿足a 2b 1, ax 3yb 0為直線L的方程，求證：直線L必過定點, 并求出這個定點的坐標.2、已知直線ax y 2 a 1 0 ,若x1,1時，圖象在x軸上方，求a的取值范圍。B 3,5處，

29、你知【例4】x軸表示一條河，駱駝隊從 A 6,4地出發(fā)前往河中取水，然后到 道在何處取水，行程最短嗎？變式練習：一條光線從點A(2,3)射入，經(jīng)過x軸上點P反射后，通過點B(5,7),求點P的坐標.(選講)【例5】一條直線l過點P 2,1 ,并且與x, y軸的正半軸交于 A,B兩點.(1)求 AOB面積最小值，及此時直線 l方程；(2)當PA PB取得最小值時，求直線l方程.變式練習：(沈陽質(zhì)量監(jiān)測)如圖，射線OA, OB分別與x軸 正半軸成45°和30°角，過點P(1,0)作直線AB分別交OA,1 一OB于A,B兩點，當AB的中點C恰好落在直線y=x上時， 則直線AB的方

30、程為.三.家庭作業(yè):1、已知直線(a-2)x+ ay1=0與直線2x+3y+5=0平行，則a=A、 6 B、6C、4D、4552、若方程(6a2- a- 2)x+(3a25a+ 2)y + a1 = 0表示平行于y軸的直線，則 a=()A、2B>C、1D、不存在323、直線(2m)x+ my+3=0與直線xmy 3 = 0垂直，則 m為.4、若直線(2t3)x+ y+6=0不經(jīng)過第一象限則t的取值范圍是 .5、求與直線2x y 10 0平行，且在x軸、y軸上的截距和為12的直線方程6、設(shè)直線 L 的方程為(a+1)x+y+2 a= 0(a R).(1)求出直線L經(jīng)過的定點；(2)若L在兩

31、坐標軸上的截距相等，求 L的方程；(2)若L不經(jīng)過第二象P求實數(shù) a的取值范圍.考點四：直線交點坐標與距離公式一.知識梳理1.直線方程的五種形式及比較.名稱方程已知條件適用條件點斜式y(tǒng)yok x x0x0,y0是直線上的一個定點，k是斜率直線不垂直于 x軸斜截式y(tǒng) kx bk是斜率，b是直線在y軸上的截距直線不垂直于x軸兩點式y(tǒng)yixx1y2yix2xx1，yi , x2,y2是直線上的兩個定點直線不垂直于 x軸和y 軸截距式x y i a ba, b分別是直線在x軸，y軸上的截距直線不垂直于x軸和y 軸，且不過原點一式Ax By C 0任何情況特殊 直線x= a （y 軸：x= 0） y=

32、b （x 軸：y= 0）過點A(a,0)且垂直于x軸 過點B(0,b)且垂直于y軸斜率不存在斜率k 02.點與坐標一一對應.幾何兀素及關(guān)系代數(shù)表示點AA a,b直線LL: Ax By C 0點A LAa Bb C 0L1 I L2AAx By C 0方程組。？y 1的解A2x B2y C203、直線系方程(1)平行于直線 Ax+ By+C=0的直線系：Ax+By+m=0(m為參數(shù)且 m C);(2)垂直于直線 Ax+ By+C = 0的直線系：Bx-Ay+ m= 0(m為參數(shù))；(3)過直線 Li ： Aix+Biy+Ci = 0 與 L2 ： A2x+B2y+C2=0 的交點的直線系：(Ai

33、x+ Biy+Ci) + (A"+B2y+C2)= 0(為參數(shù)且這些直線中不含L2).4、兩條直線的交點坐標Li : Aix+Biy+ Ci = 0,L2： A»+B2y + C2= 0,兩條直線的交點坐標就是下面方程組的解.Ax Biy Ci 0(*)A2x B2y C20(i)方程組(*)有唯一的解兩直線相交；(2)方程組(*)無解兩直線平行；(3)方程組(*)有無數(shù)解兩直線重合；當AiB2 A,Bi0時，方程組(*)有唯一的解.5、三種距離(i)兩點間的距離P xi,yi , P2 x2,y2 ,則 RP2/xi_xr_yy7T.當 Pi, P2在直線 y=kx+b

34、上時，PP2| Jik2|xi x2 .(2)點到直線的距離已知點 R xo,yo ,直線 L: Ax By C 0 .設(shè)A 0, B 0,則L與兩坐標軸都相交，如圖，過 P0分別作x軸和y軸的平行線，交L于R和S,則直線P°R的方程為y y0, R的坐標為By。AC ,yO ;直線F0S的方程Ax 一 C 一.為x x0, S的坐標為 x0, 0C .于是有: BP°SRSBy。 CAx0Ax0 C廣0 By° C除幾 By° CI B ，樂B2|Ax0 By0 C|a b設(shè)PQ d ,由d RS |RR RS ,于是得d F0R| |F0S| = A

35、x0 By° C|rs|尿B2又當A 0或B 0時，上式也成立.Ax0 By0 CF0到L的距離為d=一 、A B2注意：使用公式的前提是直線的方程必須是一般式.(3)兩條平行線間的距離定義：夾在兩平行線間公垂線段的長叫做兩平行直線間的距離.求兩平行線間的距離：a.可轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，如在兩平行直線Li, L2中的一條Li上取其與x軸的交點M, M至ij L2的距離即L與L間的距離.b.兩平行直線Li, L2間的距離公式設(shè) Li： Ax+By+Ci = 0, L2： Ax+By+C2=0,在 L 上任取 M(x0, (Ax0+C)七),M到L2的距離可代點到直線的距離公式.故Li

36、, L2間的距離公式為,A2 B2利用公式時，兩直線必須是一般式，且 x, y的系數(shù)對應相等.基礎(chǔ)自測:i、思考辨析(i)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交.()kx0 b(2)點P(x°, y°)到直線y kx b的距離為1 /1 .()i k2(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()(4)兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離，也可以看做是兩條直線上各取一點的最短距離.()，i 若點A, B關(guān)于直線l： y kx b(k 0)對稱，則直線 AB的斜率等于一，且線段ABk的中點在直線l上.() 2、直線x+ 2y2=0與直

37、線2x+y3=0的交點坐標為A、(4,1)B、(1,4)C、D、3、已知點 A(1,2), B(a,6)，且 |AB| 5,則a=A、 4B、4或 2 C、2 D、2或 44、點（0, 5）到直線y=2x的距離是（A、B、.5C、D、5、兩平行直線A、2B、C、0之間的距離為D、336、已知點2, 3M 1,1 ,且 PQPM7、在過點8、若直線A（2,1）的所有直線中，距離原點最遠的直線方程為L與直線L1； 5x12y+6=0平行，且L與L1的距離為2,則L的方程為三.典例剖析題型一直線的交點問題【例1】求經(jīng)過兩直線L1：x-2y+4= 0和L2：x+y- 2=0的交點P,且與直線L3；3x

38、 4y+ 5=0垂直的直線L的方程.變式練習1、求經(jīng)過兩直線 2x 3y3=0和x+ y+2=0的交點且與直線 3x+y1= 0平行的直線方 程.2、（重慶模擬）已知兩條直線l1：y 2 , l2: y 4,設(shè)曲線y 3x與卜人分別交于點A,B , 曲線y 7x與l1/2分別交于點C,D,求直線AB與直線CD的交點坐標.3、經(jīng)過直線x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點，且也經(jīng)過點 A(8,-4)的直線方程為 題型二兩點間距離公式的應用【例2】已知直線3x 2y 3 0和6x my 1 0互相平行，則它們之間的距離是 (B." C.5 J131326D. 71326變式練習1、已知

39、等腰直角三角形ABC的斜邊所在的直線是 3x y 2 0,直角頂點是C(3, 2),則兩條直角邊AC , BC的方程是(A3x y 5 0, x 2y 7 0B. 2x y 4 0, x 2y 7 0C.2x y 4 0, 2x y 7 0D.3x 2y 2 0, 2x y 2 0題型三對稱問題(1)點A(x。，y。)關(guān)于直線L： Ax+By+C = 0的對稱點M(x, y)可由方程組求得.y y。A1x x0BA x - B y y022x x0事實上，通過解上述方程，我們可以得到y(tǒng) y0(AB 0).C 02AA% By° CA2 B2,有結(jié)論(可以稱之為定2BAx°

40、By° CA2 B2理)：P(x0,y0)關(guān)于直線l ： Ax By C 0對稱的點為P(x,y),記向量Ax- B C uuun (A,B), dAx0 2 By02 C ,則 PP 2dn 0A B(2)常用對稱的特例有：A(a,b)關(guān)于x軸的對稱點為 A'a(b);B(a,b)關(guān)于y軸的對稱點為 Ba,b)；C(a,b)關(guān)于直線y=x的對稱點為 C'b(a);D(a,b)關(guān)于直線y= x的對稱點為D'b, a);P(a,b)關(guān)于直線x=m的對稱點為P' m2-a,b);Q(a,b)關(guān)于直線y=n的對稱點為 Q'a(2nb).(3)直線關(guān)于

41、直線的對稱：一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況: 一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行.【例3】入射光線線在直線11 ： 2x y 3 0上，經(jīng)過x軸反射到直線12上，再經(jīng)過y軸反射到直線上，則直線I3的方程為()Ax 2y 3 0 B.2x y 3 0 C.2x y 3 0 D.2x y 6 0變式訓練：一束平行光線從原點。出發(fā)，經(jīng)過直線 L: 8x+6y=25反射后通過點P(4,3),求反射光線的方程.【例4】已知直線1 :2x 3y 1 0,點A( 1, 2).求：點A關(guān)于直線1的對稱點A'的坐標.(2)()直線1關(guān)于點A( 1, 2)對稱的直線1的方程.

42、(3) ()直線m：3x 2y 6 0關(guān)于直線1的對稱直線 m的方程.變式練習5、(蘭州模擬)一只蟲子從點(0,0)出發(fā),先爬行到直線1:x-y+1=0上白P點，再從P點出發(fā)爬行 到點A(1,1)，則蟲子爬行的最短路程是()A. 2B.2C.3D.46、()、設(shè)？ABC的頂點A(2,1),內(nèi)角B的平分線所在直線方程為x+ y+2=0,AB邊上的中線所在直線方程為2x y1=0,求BC邊所在直線的方程.題型四點到直線的距離【例5】求點P°(1,2)到下列直線的距離：(1)2x+y10 = 0;(2)x= 2;(3)y-1 = 0.【例6】(南昌模擬)過點P(1,2)引直線，使A(2,3) , B(4,-5)到它的距離相等