數(shù)學(xué)五上《數(shù)學(xué)廣角─植樹問(wèn)題》教材分析

1、數(shù)學(xué)五上數(shù)學(xué)廣角一植樹問(wèn)題教材分析和前面幾冊(cè)教材一樣，本冊(cè)也專門安排了數(shù)學(xué)廣角單元，向?qū)W生滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本冊(cè)的數(shù)學(xué)廣角植樹問(wèn)題包含三個(gè)例題，主要是滲透有關(guān)植樹問(wèn)題的一些思想方法，通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中一些常見的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。解決植樹問(wèn)題的思想方法是實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法。植樹問(wèn)題通常是指沿一定的路線植樹，這條路線的總長(zhǎng)度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關(guān)系就不同。在現(xiàn)實(shí)生活中類似的問(wèn)題還有很多，比如公路兩旁安裝

2、路燈、花壇擺花、廣場(chǎng)敲鐘等，這些問(wèn)題情境中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題，我們就把這類問(wèn)題統(tǒng)稱為植樹問(wèn)題。在植樹問(wèn)題中，植樹的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長(zhǎng)方形或圓形等）。即使是關(guān)于一條線段的植樹問(wèn)題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2019 年版） 強(qiáng)調(diào)：要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步 和發(fā)展。教材在編排上，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，

3、使學(xué)生初步體會(huì)解決植樹問(wèn)題的思想方法（模型思想） ，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中探索解決問(wèn)題的有效方法的能力。在教學(xué)植樹問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境， 從簡(jiǎn)單的情況入手，在解決問(wèn)題的分析、思考過(guò)程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。下面就教材中安排的三個(gè)典型例題進(jìn)行分析。一、經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程教材第 106 頁(yè)例 1 通過(guò)學(xué)生熟悉的植樹情境，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖，經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索間隔與點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。讓學(xué)生經(jīng)歷分析、思考、解決問(wèn)題的全過(guò)程。教材用幾個(gè)小朋

4、友的對(duì)話和圖片來(lái)呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問(wèn)題的過(guò)程。首先由一個(gè)男孩說(shuō)出學(xué)生們可能會(huì)想到的答案：1005=20（棵），接著一個(gè)女孩問(wèn)：對(duì)嗎？檢驗(yàn)一下，來(lái)引發(fā)學(xué)生思考。接下來(lái)由小精靈提由了解決問(wèn)題的常用方法從簡(jiǎn)單的情況入手解決復(fù)雜的問(wèn)題。這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4 段，加上兩個(gè)端點(diǎn)，一共有 5 個(gè)點(diǎn)，也就是要栽5 棵樹。使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹時(shí)確定樹苗數(shù)量的問(wèn)題并不能簡(jiǎn)單地用除法來(lái)解決。緊接著一個(gè)小男孩提出25 m 可以栽幾棵？這次用畫線段圖的方式解決問(wèn)題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想一個(gè)特例不足以說(shuō)明問(wèn)題，多個(gè)不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問(wèn)：你發(fā)現(xiàn)了

5、什么規(guī)律？啟發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時(shí)教材進(jìn)一步提出不畫圖，你知道30 m、 35 m 要栽幾棵樹嗎？讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。最后教材要求應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決前面的植樹問(wèn)題：100 m 長(zhǎng)的小路共有 20 個(gè)間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21 棵樹。這樣就把分析、思考、解決問(wèn)題的整個(gè)全過(guò)程展示出來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程并從中學(xué)習(xí)一些解決問(wèn)題的方法和策略。即遇到問(wèn)題時(shí)，可以先給出一個(gè)猜測(cè)，要判斷這個(gè)猜測(cè)對(duì)不對(duì)，可以用比較簡(jiǎn)單的例子來(lái)檢驗(yàn)，并且可以從簡(jiǎn)單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來(lái)解決原來(lái)的問(wèn)題。對(duì)于例2（兩端不栽的情況）以及第 107 頁(yè)做

6、一做第2 題 （一端栽一端不栽的情況），由于學(xué)生前面有了探索的經(jīng)驗(yàn)，這里可以放手讓學(xué)生去探索，用自己的方法去發(fā)現(xiàn)這兩種情況的植樹問(wèn)題中隱含的規(guī)律。二、體會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想本單元通過(guò)一些生活中的事例，讓學(xué)生根據(jù)不同的情況總結(jié)出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決問(wèn)題。但是，本單元的教學(xué)最終目的并不只是讓學(xué)生明白規(guī)律，而是要引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探究規(guī)律的產(chǎn)生原因，幫助其建立一一對(duì)應(yīng)的思維方式，形成解決問(wèn)題的策略，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。在植樹問(wèn)題中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是教學(xué)植樹問(wèn)題的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過(guò)幾何直

7、觀幫助學(xué)生理解植樹問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。例1 是探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)畫線段圖來(lái)發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。通過(guò)這兩幅圖，讓學(xué)生把點(diǎn)（樹）與線（間隔）一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還多出一個(gè)點(diǎn)（樹），所以栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1。例 2通過(guò)遷移呈現(xiàn)出兩端都不栽的線段圖，做一做的第2 題讓學(xué)生通過(guò)遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3 則讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。整個(gè)單元教材通過(guò)線段圖的教學(xué)，突出一一對(duì)應(yīng)的思想，并以此為基礎(chǔ)分析植樹問(wèn)題三種不同的情況，即兩端都栽只栽一端與兩端都不栽。無(wú)論哪種情形，都能用一一對(duì)

8、應(yīng)的思想統(tǒng)領(lǐng)。教材通過(guò)選取生活中不同的事例，讓學(xué)生體會(huì)一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究問(wèn)題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法化歸思想，使學(xué)生感悟到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題所帶來(lái)的便利。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中探索規(guī)律，找出解決問(wèn)題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能力。在練習(xí)中，教材以植樹問(wèn)題為背景幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到路燈問(wèn)題、敲鐘問(wèn)題、鋸木問(wèn)題等都與植樹問(wèn)題有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。三、感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)教材第 108 頁(yè)例 3 討論的是在封閉圖形周圍栽樹的情形。學(xué)生學(xué)習(xí)了例1、例2 后，掌握了直線段中的植樹問(wèn)題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽

9、的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹問(wèn)題的思考方法來(lái)解決封閉圖形中的植樹問(wèn)題。面對(duì)封閉圖形中的植樹問(wèn)題，教材首先提示研究方法：先畫圖試試看。假設(shè)周長(zhǎng)是 40 m,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面例 1、例2的研究經(jīng)驗(yàn)直觀作圖、化繁為簡(jiǎn)來(lái)嘗試解決問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生直觀看出能栽4 棵后，教材并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹問(wèn)題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是請(qǐng)小精靈進(jìn)一步提出問(wèn)題：如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考發(fā)現(xiàn)，化曲為直后，封閉圖形上植樹其實(shí)可以轉(zhuǎn)化成一端栽另一端不栽的情形。接下來(lái)，教材通過(guò)兩位學(xué)生的對(duì)話我發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹一一對(duì)應(yīng)相當(dāng)于一端栽，一端不栽，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了例3 與前面的例1、例 2 間的聯(lián)系。本單