有限元理論與方法-第7講

1、講授內(nèi)容第7講（屬7周）2.應(yīng)變血車(chē)確定了單元位移后，可以很方便地利用幾何方程和物理方程求得單元的應(yīng)變和應(yīng)力。作為平面問(wèn) 題，單元內(nèi)具' 3個(gè)應(yīng)變分量 X、y yy （各符號(hào)的意義見(jiàn)附錄 1）,用矩陣表示為XXv£ y-y xy u v將（2.1.4）式代入上式中，得到ebi 0 bj 0 bm 01 一一一-e0 G 0 cj 0 cms2Aci bi c j b j cm bm£ B Se式中B稱(chēng)為應(yīng)變矩陣，寫(xiě)為分塊形式，即B=Bi Bj Bm而其子陣為bi 01Bi 0 ci（i,j,m）2A ci bi(2-1-7)(2-1-8)(2-1-9)（也即應(yīng)力梯度

2、較大）的0又稱(chēng)為初應(yīng)變3節(jié)點(diǎn)三角形單元的 B是常量陣，所以稱(chēng)為常應(yīng)變單元。在應(yīng)變梯度較大 部位，單元?jiǎng)澐謶?yīng)適當(dāng)密集，否則將不能反映應(yīng)變的真實(shí)變化而導(dǎo)致較大的誤差。上述應(yīng)變中包括與應(yīng)力有關(guān)的應(yīng)變和與應(yīng)力無(wú)關(guān)的應(yīng)變兩部分，無(wú)關(guān)的應(yīng)變X0龜y0xy0G由溫度變化、收縮、晶體生長(zhǎng)等因素引起，對(duì)工程結(jié)構(gòu)一般只考慮溫度應(yīng)變，無(wú)論線性和非線性溫 度，計(jì)算時(shí)可近似地采用平均溫度T Ti Tj Tm 3Tref3式中，Ti、Tj、Tm分別為節(jié)點(diǎn)i、j、m的溫度，Tref為參考溫度。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，溫度 T引起的初始應(yīng)變?yōu)槠渲校盀榫€膨脹系數(shù)。由于溫度變化在各向同性介質(zhì)中不引起剪切變形, 都指各向同性介質(zhì)。I對(duì)

3、平面應(yīng)力問(wèn)題，溫度 T引起的初始應(yīng)變?yōu)殡?1當(dāng)不考慮溫度的影響時(shí)，當(dāng)前溫度即為參考溫度。響。3.單元應(yīng)力根據(jù)物理方程，對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題，取應(yīng)變分量xy由上式解出xyE2(1式中，D為彈性矩陣,所以對(duì)。=0。以后所述問(wèn)題，除非特別說(shuō)明,以后所述問(wèn)題，除非特別說(shuō)明，不考慮溫度影yE2(1Exyxy(Txyxy(2-1-10)(2-1-11)取決于彈性常數(shù)E和因?qū)⑹剑?-1- 7）代入式（2-1-10）得(T(2-1-12)SiSj Sm(2-1-13)bibiCiCi(i, j,m)Ci12bi式中，S為應(yīng)力矩陣，反映了單元應(yīng)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。由于單元應(yīng)力和應(yīng)變分量為常量, 所以單元邊界上

4、有應(yīng)力階越，隨單元?jiǎng)澐肿兠埽蛔儗p小。對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題，有四個(gè)應(yīng)力分量:cy、衣y和(Zo取應(yīng)變分量由應(yīng)變分量解出以、(y> xy,彈性矩陣為1E1Ey2(1xy1Exy(2-1-14)E(1(1)(1 2 )2(1根據(jù)物理方程可以求解各應(yīng)力分量。4.單元?jiǎng)偠染仃噯卧?jié)點(diǎn)力為Fe,節(jié)點(diǎn)虛位移為* e TS Fe(e*)e,節(jié)點(diǎn)虛應(yīng)變?yōu)?0e,平面單元的厚度為to應(yīng)用虛位移原理* Teddxdy* TA £ D 杷XdyB £代入上式整理得到FeaBtDB tdxdy 空可見(jiàn)單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)于三節(jié)點(diǎn)三角形單元,KeBTDBtdxdyA(2-1-15)面積為 A,所取為線

5、性位移模式，單元?jiǎng)偠染仃嚍镵eBTStA進(jìn)一步表示為KiiKe KjiKmiKij Kjj KmjKim Kjm K mm對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題有K 日K rs 5412 AbrbsCrbs1F1"2CrCsbrCsbrCsCrCs1Crbs1 2r i, j,m; s i, j,m (2-1-16)-brbs2單元?jiǎng)偠染仃嚤磉_(dá)單元抵抗變形的能力，其元素值為單位位移所引起的節(jié)點(diǎn)力，與普通彈簧的剛度系數(shù)具有同樣的物理本質(zhì)。例如子塊KijKrs12221121其中：上標(biāo)1表示x方向自由度，2表示y方向自由度，后一上標(biāo)代表單位位移的方向，前一上標(biāo)代表單位位移引起的節(jié)點(diǎn)力方向。如k11表示j節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生

6、單位水平位移時(shí)在i節(jié)點(diǎn)引起的水平節(jié)點(diǎn)力分量，k21表示j節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位水平位移時(shí)在i節(jié)點(diǎn)引起的豎直節(jié)點(diǎn)力分量，其余類(lèi)推。單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)稱(chēng)矩陣。由于單元可有任意的剛體位移，給定的節(jié)點(diǎn)力不能惟一地確定節(jié)點(diǎn)位 移，可知單元?jiǎng)偠染仃嚥豢汕竽妫哂衅娈愋浴?.等效節(jié)點(diǎn)載荷有限單元法分析只采用節(jié)點(diǎn)載荷，作用于單元上的非節(jié)點(diǎn)載荷都必須移置為等效節(jié)點(diǎn)載荷。可依 照靜力等效原則，即原載荷與等效節(jié)點(diǎn)載荷在虛位移上所作的虛功相等，求等效節(jié)點(diǎn)載荷。(1)集中力的移置。設(shè)單元ijm內(nèi)坐標(biāo)為(x, y)的任意一點(diǎn)M受有集中載荷f=fx fyT,移置為等效 節(jié)點(diǎn)載荷Pe=Xi YiXjYjXmYmT。假想單元發(fā)生了虛位移，

7、其中，M點(diǎn)虛位移為u*=NT(%)e,其中(町為單元節(jié)點(diǎn)虛位移。按照靜力等效原則有(s*)e)TPe(2-1-17)Pe NT f(2)體力的移置。設(shè)單元承受有分布體力,單位體積的體力記為T(mén)PeaN qtdxdyq = qx qyT,其等效節(jié)點(diǎn)荷載為(2-1-18)(3)面力的移置。設(shè)在單元的某一個(gè)邊界上作用有分布的面力，單位面積上的面力為 在此邊界上取微面積 tds,對(duì)整個(gè)邊界面積分，得到P=Px pyT，PelN T Ptds(2-1-19)例2-1求單元在以下受力情況下的等效節(jié)點(diǎn)荷載: 力p、圖2-3所示jm邊受x方向線性分布力。y方向的重力為G、圖2-2所示ij邊受x方向均布圖2-2均

8、布力圖2-3線性分布力1求解說(shuō)明利用上述公式求等效節(jié)點(diǎn)載荷，當(dāng)原載荷是分布體力或面力時(shí)，進(jìn)行積分運(yùn)算是比較繁瑣的。但 在線性位移模式下，可以按照靜力學(xué)中力的分解原理直接求出等效節(jié)點(diǎn)載荷，上述三種情況等效節(jié)點(diǎn) 荷載分別為e GPe 0101013e 11Pe ptl - 0 - 0 0 022Pe-ptl- 0 0 2 0 1 02336 .整體分析結(jié)構(gòu)的整體分析就是將離散后的所有單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接成原結(jié)構(gòu)物進(jìn)行分析，分析過(guò)程是將所有 單元的單元?jiǎng)偠确匠探M集成總體剛度方程，引進(jìn)邊界條件后求解整體節(jié)點(diǎn)位移向量。總體剛度方程實(shí)際上就是所有節(jié)點(diǎn)的平衡方程，由單元?jiǎng)偠确匠探M集總體剛度方程應(yīng)滿足以下兩 個(gè)原

9、則：(1)各單元在公共節(jié)點(diǎn)上協(xié)調(diào)地彼此連接，即在公共節(jié)點(diǎn)處具有相同的位移。由于基本未知量為整體節(jié)點(diǎn)位移向量，這一點(diǎn)已經(jīng)得到滿足。(2)結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)離散出來(lái)后應(yīng)滿足平衡條件， 也就是說(shuō)，環(huán)繞某一節(jié)點(diǎn)的所有單元作用于該節(jié)點(diǎn) 的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)與該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)載荷平衡。每一節(jié)點(diǎn)統(tǒng)一使用整體節(jié)點(diǎn)編號(hào)(如圖2-4所示)，第4單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)i、j、m統(tǒng)一依次改為8、7、5。確定各單元的大域變換矩陣，如第G44單元為0 0 00 0 00 0 0其中，I為2X2階單位矩陣。圖2-4節(jié)點(diǎn)與單元編號(hào)求出各單元?jiǎng)偠染仃?，利用大域變換法求出Z構(gòu)整體剛度矩陣K,引入邊界條件，得到結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程K 6 P(2-1-19)進(jìn)

10、而，求解節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)力和應(yīng)變。例2-2如圖2-5所示，一懸臂梁，自由端受合力為P的均布力作用，梁厚t=1,月1/3,求節(jié)點(diǎn)位移。P/2XP/2圖2-5結(jié)構(gòu)與離散求解說(shuō)明結(jié)構(gòu)為平面應(yīng)力問(wèn)題，劃分為2個(gè)三角形單元、，有四個(gè)節(jié)點(diǎn)0）、（2, 0）、| （2, 1）、（0, 1）。單元、節(jié)點(diǎn)順序分別取3、1、2和對(duì)單兀：bi=0 , bj= 1 , bm=1 , Ci=2 , Cj=0 , Cm=一 2 o對(duì)單兀：bi=0 , bj=1 , bm= 1 , Ci=-2 , Cj=0 , Cm=2 o 單元的剛度矩陣為400240122021、2、3、4,坐標(biāo)分別為（0, 1、3、4,剛度矩陣完全一

11、樣。21212 3E 023K K42322122174413利用大域變換法求出整體剛度矩陣為700133242212003E 232 014 1324427402120120003213214200212 00327421413節(jié)點(diǎn)荷載向量為位移向量為P=0 0 0 P/2 0 P/20 0 0T32200曲U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4T由結(jié)構(gòu)平衡方程求得節(jié)點(diǎn)位移為1.888.991.508.42 00T圖2-6六節(jié)點(diǎn)三角形單元7 .平面問(wèn)題高次單元如前所述，三節(jié)點(diǎn)三角形單元因其位移模式是線性函數(shù)，應(yīng)變與應(yīng)力在單元內(nèi)都是常量，而彈性 體實(shí)際的應(yīng)力場(chǎng)是隨坐標(biāo)而變化的。因此，這種單元在各單元間邊界上應(yīng)力有突變，存在一定誤差。為了更好地逼近實(shí)際的應(yīng)變與應(yīng)力狀態(tài)，提高單元本身的計(jì)算精度，可以增加單元節(jié)點(diǎn)而采用更高階 次的位移模式，稱(chēng)為平面問(wèn)題高次單元。如六節(jié)點(diǎn)三角形單元、矩形單元等。這里只介紹六節(jié)點(diǎn)三角 形單元與矩形單元的位移模式，其它單元的位移模式和具體求解步驟與三節(jié)點(diǎn)三角形單元類(lèi)似，且應(yīng) 用較少，不在贅述。圖2-7四節(jié)點(diǎn)矩形單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元如圖2-6所示，在三角形單元各邊中點(diǎn)處增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則每個(gè)單元有六個(gè)節(jié) 點(diǎn)，共有12個(gè)自由度。