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文檔簡介
1、第一部分:坐標系與參數(shù)方程【考綱知識梳理】1 .平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換:x ?X, 0的作用下,點P x, y對應(yīng)到點Px,y,稱 為平 y ?y,0直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換.2 .極坐標系的概念(1)極坐標系如圖(1)所示,在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點,自極點。引一條射線Ox,叫做極軸;再選定 一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了 一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一
2、對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2)極坐標設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點0與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線0M為終邊的角 xOM叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對,叫做點M的極坐標,記作M ,. 一般地,不作特殊說明時,我們認為 0,可取任意實數(shù).特別地,當(dāng)點M在極點時,它的極坐標為0, R。和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定0,02,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標,表示;同時,極坐標,表示的點也是唯一確定的.3 .極坐標和直角坐標的互化 (1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為
3、極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖(2)所示:0,于(2)互化公式:設(shè)M是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是x, y ,極坐標是是極坐標與直角坐標的互化公式如表點M直角坐標x, y極坐標,互化公式在一般情況下,由tan確定角時,可根據(jù)點M所在的象限最小正角4 .常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為r的圓圓心為r,0 ,半徑為r的圓圓心為r,-,半徑為r2的圓過極點,傾斜角為的直線R或R(2)0或0過點a,0 ,與極軸垂直的直線過點a,_,與極軸平行的直線注:由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一,即,2, 都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對
4、于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程點5M 一,一可以表示為M ,2 或M ,2 或M ,等多種形式 ,其 中,只有4 44 44 44 4M -,-的極坐標滿足方程4 4二、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x, y都是某個變數(shù)t的函數(shù)x ftf t,并且對于t的每一個允許值,由方程組所確定的點M x,y都在這條曲線上,那y g t么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x, y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程2 .參數(shù)方程和普通方程
5、的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x, y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系,例如x f t ,把它代入普通方程,求出另一 x f t個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y g t ,那么x f t就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的 y g t互化中,必須使x,y的取值范圍保持一致.注:普通方程化為參數(shù)方程,參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題,關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù),如果選用的參數(shù)不同,那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3.圓的參數(shù)如圖所示,設(shè)圓。的半徑為周運動,設(shè)程,其中的幾何意義是OM0轉(zhuǎn)過的角度。圓心為
6、 a,b ,半徑為r的圓的普通方程是它的參數(shù)方程為:r cos4 aA.為參數(shù)。r sin4.橢圓的參數(shù)方程以坐標原點。為中心,2焦點在x軸上的橢圓的標準方程為 三 a2自1ab 0其參數(shù)方程為a cos 4aA.為參數(shù), bsin其中參數(shù) 稱為離心角;焦點在y軸上的橢圓的標準方程是2 y2 a21 a b 0其參數(shù)方程為x bcos為參數(shù)其中參數(shù)仍為離心角,通常規(guī)定參 y asin注:的范圍為 0,2 。橢圓的參數(shù)方程中,參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角,要把它和這一點的r,點M從初始位置Mo出發(fā),按逆時針方向在圓 O上作勻速圓rcos為參數(shù)。這就是圓心在原點 O,半徑為r的圓的參數(shù)方
7、r sin0到2的范一時,相應(yīng)地也有0,22旋轉(zhuǎn)角 區(qū)分開來,除了在四個頂點處,離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外(即在 圍內(nèi)),在其他任何一點,兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)0 在其他象限內(nèi)類似。5 .雙曲線的參數(shù)方程以坐標原點O為中心,焦點在x軸上的雙曲線的標準議程為2 x2 a2T 1a 0,b0其參數(shù)方程為xy:為參數(shù),其中0,2且-隹占在y軸上的雙曲線的標準方程是22yx2,2ab0,b 0其參數(shù)方程為x bcot為參數(shù),其中0.2 且y acsc以上參數(shù) 都是雙曲線上任意一點的離心角。6 .拋物線的參數(shù)方程以坐標原點為頂點,開口向右的拋物線y2 2px p 0的參數(shù)方程為 x 2pt2t為參數(shù)
8、y 2 Pt7 .直線的參數(shù)方程經(jīng)過點M0 X0, y0 ,傾斜角為 一的直線l的普通方程是y y tan x X0而過 2M°X0,y。,傾斜角為 的直線l的參數(shù)方程為x x0 tcos t為參數(shù)。 y V。 tsm注:直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義:過定點 M0 X0,y0 ,傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為x % tcos t為參數(shù),其中t表示直線上以定點m0為起點,任一點M x ,y為終點的 y V。 t sin有向線段M°M.的數(shù)量,當(dāng)點M在M0上方時,t >0;當(dāng)點M在M0下方時,tV0;當(dāng)點M與M0重合時,t=0。我們也可以把參數(shù)t理解為以M0為原點,直線l向
9、上的方向為正方向的數(shù)軸上的點M的坐標,其單位長度與原直角坐標系中的單位長度相同?!疽c名師透析】一、坐標系(一)平面直角坐標系中的伸縮變換1例在同一平面直角坐標系中,已知伸縮變換:x/ 3x2y y(1)求點A 1 2經(jīng)過 變換所得的點A的坐標;31B ( 3,)(2)點B經(jīng)過 變換得到點2 ,求點B的坐標;(3)求直線l:y 6x經(jīng)過 變換后所得到直線的l方程;22 yC : X2 ,1(4)求雙曲線64 經(jīng)過 變換后所得到曲線C的焦點坐標。(二)極坐標與直角坐標的互化5A(2, ), B(2,)R例2在極坐標系中,如果 44為等邊三角形ABC的兩個頂點,求頂點 C的極坐標(0,02 )。(
10、三)求曲線的極坐標方程B0已知P, Q分別在/ A0B的兩邊0A 0B上,/A0B1,,P0Q勺面積為8,求PQ中點M的極坐標方程。(四)極坐標的應(yīng)用如圖,點A在直線x=4上移動,OPA為等腰直角三角形,OPA勺頂角為/ OPA(0,P, A依次按順時針方向排列),求點P的軌跡方程,并判斷軌跡形狀。二、參數(shù)方程(一)把參數(shù)方程化為普通方程x =8 cos 0,A =3而& (日為參數(shù))。K - -4 + cosf,已知曲線C: 4 = 3+"%(t為參數(shù)),C :(1)化C C的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;若C上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t 5,Q為C之上的動點,求口
11、中點M到直線xC3: y3 2t (t為參數(shù))距離的最小值。2 t橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用在平面直角坐標系汗中,點尸仁?。┦菣E圓-41上的一個動點,求 _解答:(三)直線參數(shù)方程的應(yīng)用BO過點尸”廠勘作傾斜角為&的直線與曲線交于點MR ,求儂|.附|的值 及相應(yīng)的圖的值。解析:圓的參數(shù)方程的應(yīng)用,=2+ 於(日L心/2瞄日 為參數(shù)),且曲線C與直線a J為=0相交于兩(四)已知曲線C的參數(shù)方程是BO點A(1)求曲線C的普通方程;(2)求弦AB的垂直平分線的方程(3)求弦AB的長【感悟高考真題】1.在極坐標系中,點(2, 3)到圓2cos的圓心的距離為()(A) 2(B)(C)(D) ,32.
12、在極坐標系中,圓2sin的圓心的極坐標是()(A) (1,2)(B)(1, 2)(C) (1,0)(D) (1,)x cos3 .在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為y 1 sin ,(為參數(shù)).在極坐標系(與直角 坐標系xOy有相同的長度單位,且以原點 。為極點,以x軸正半軸為極軸)中,曲線 。2的 方程為90s sin ) 1 0,則C1與C2的交點個數(shù)為 x 2 cos4. 直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為y森加(為參數(shù)).在極坐標系(與直角坐 標系xOy取相同的長度單位,且以原點。為極點,以x軸正半軸為極軸)中,曲線 C2的方= 2sin 4cos ,以極點為原程為(co
13、s sin ) 1 0,則C1與C2的交點個數(shù)為5. (1)(坐標系與參數(shù)方程選做題)若曲線的極坐標方程為點,極軸為x軸正半軸建立直角坐標系,則該曲線的直角坐標方程為6. (2011 陜西高考理科T15C)直角坐標系xoy中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸x 3 cos建立極坐標系,設(shè)點 A, B分別在曲線Cl: y 4 sin (為參數(shù))和曲線C2:1上,則1ABi的最小值為 .7 .(坐標系與參數(shù)方程選做題)直角坐標系 xOy中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸x 3 cos建立極坐標系,設(shè)點 A, B分別在曲線G: y sin (為參數(shù))和曲線C2:1上,則1ABi的最小值為 -8.
14、(2011.天津高考理科.T11).已知拋物線C的參數(shù)方程為 x 8t "為參數(shù))若斜率為1 y 8t2 2 /.5 cos 小一 、(0W v )sin和的直線經(jīng)過拋物線C的焦點,且與圓(x-4) +y =r (r>0)相切,則r =x9. (坐標系與參數(shù)方程選做題)已知兩曲線參數(shù)方程分別為y5j x t4 (t y tR),它們的交點坐標為10. (2)在直角坐標系 xOy中,直線l的方程為 x-y+4=0 ,曲線C的參數(shù)方程為x .3cos y sin(為參數(shù)).(I)已知在極坐標系(與直角坐標系 xOy取相同的長度單位,且以原點。為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點 P的
15、極坐標為4-,判斷點P與直線l位置關(guān) 2系;(II )設(shè)點Q是曲線C上的一個動點,求它到直線 l的距離的最小值.11. 選修4-4:坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分 10分)在平面直角坐標系xOy中,求過橢圓x 5cosx 4 2t12. 3sin(為參數(shù))的右焦點,且與直線y 3 t (t為參數(shù))平行的直線的普通方程。13. (2011 新課標全國高考理科 T 23)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x 2cos c c uivuuuvy 2 2sin(為參數(shù))M是C1上的動點,P點滿足OP 2OM ,P點的軌跡為曲線C2(I )求C2的方程(n)在以o為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標
16、系中,射線3與ci的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求AB .14. (2011 新課標全國高考文科 T 23)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x 2cos uuv uuuvy 2 2sin (為參數(shù))M是Ci上的動點,P點滿足0P 2OM ,P點的軌跡為曲線C2(I )求C2的方程(n)在以o為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線3與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求AB .15. (2011 遼寧高考理科 T 23)(本小題滿分10分)(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x cos , 4外興人
17、.(為參數(shù))y sin ,曲線C2的參數(shù)方程為x a cos ,4仝花(a b 0,為參數(shù))y bsin,.在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線I:。=2與01, C2各有一個交點.當(dāng)a=0時,這兩個交點間的距離為 2,當(dāng)a=2時,這兩個交 點重合.(I)分別說明C1, C2是什么曲線,并求出a與b的值;冗冗(II )設(shè)當(dāng) =4時,I與C1, C2的交點分別為 A1, B1,當(dāng)a=-4時,|與C1,C2的交點為A2, B2,求四邊形 A1A2B2B1的面積.x 1 t15 .極坐標p cos和參數(shù)方程 y 2 t (t為參數(shù))所表示的圖形分別是(D)A.直線、直線 B.直線、圓
18、C.圓、圓D.圓、直線16 .極坐標方程(p-1 ) () = (p 0)表示的圖形是(A)兩個圓(B)兩條直線(Q 一個圓和一條射線(D) 一條直線和一條射線17 .在極坐標系(p, 8) (0 <8 <2兀)中,曲線p = 2sin與陞0s1的交點的極坐標為., x cos18 .已知P為半圓C:(為參數(shù),0)上的點,點A的坐標為(1,0), Oy sin為坐標原點,點M在射線OP上,線段OMW C的??;S的長度均為一。3(I)以。為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,求點M的極坐標;(II )求直線AM的參數(shù)方程?!究键c模擬演練】一、選擇題1 .已知極坐標平面內(nèi)的點 P2,
19、 5!,則P關(guān)于極點的對稱點的極坐標與直角坐標分別 3為()A. 2, 2 , (1 ,m) B. 2,一點,(1 ,一木) C. 2, T , ( 1 , V3) 333D. 2, -2 , ( 1,-我2.在平面直角坐標系xOy中,點P的直角坐標為(1,-心.若以原點。為極點,x軸正 半軸為極軸建立極坐標系,則點P的極坐標可以是()A. 1, -y B. 2, 43 C. 2, -3-D. 2, -4333333 .在直角坐標系xOy中,已知點C(-3,-血,若以。為極點,x軸的正半軸為極軸, 則點C的極坐標(p , 8 )( p >0,兀< 8 <0)可寫為 .兀 .4
20、 .過點2, 7平行于極軸的直線的極坐標方程是 ()A. p cos 0 = 4 B . p sin 0=4 Cp sin 0 = 22D. p cos 0 = 答案:C5.曲線的參數(shù)方程是1 x= 1 -(t是參數(shù),t¥0),它的普通方程是()y=1 12A. (x-1)2(y 1) = 1B. y = x :2)C . y = /+1 D. y=111 X 21 X21 X 26 .直線p cos 0 = 2關(guān)于直線9 = A對稱的直線方程為()D. p = 2sin 0A. p cos 0 = 2 B. p sin 0 = 2 C . p sin 0 = - 22x=- 1-a7.已知直線l的參數(shù)方程為2y=2+孕2A. 1 B . - 1 C. + Dx = 2cos 08.直線3x 4y 9=0與圓:y = 2sin 0A.相切B.相離 C(t為參數(shù)),則直線l的斜率為()2,(9為參數(shù))的位置關(guān)系是 ().直線過圓心D .相交但不過圓心9 .設(shè)直線過極坐標系中的點M(2,0),且垂直于極軸,則它的極坐標方程為 花 、.一 10
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