全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽國家一等獎優(yōu)秀論文系泊系統(tǒng)的設(shè)計

1、系泊系統(tǒng)的設(shè)計摘要本文詳細對系泊系統(tǒng)的各個機構(gòu)進行了力學(xué)分析，針對系泊系統(tǒng)的要求，建立優(yōu)化模型，求解系泊系統(tǒng)在多種環(huán)境下的最優(yōu)解，使得浮標(biāo)游動范圍，吃水程度和鋼桶傾斜角度盡可能的小。針對問題一，本文對系泊系統(tǒng)的受力及力矩進行了分析，基于浮標(biāo)傾斜的考慮，得到了平衡狀態(tài)下關(guān)于受力平衡及力矩平衡的方程組。由于方程組數(shù)量較多及相互影響的特點，直接求解十分困難。因此我們考慮以浮標(biāo)兩邊的浸水長度h1,h2 為變量，利用搜索算法對方程組進行求解，并得到相應(yīng)的結(jié)果。如當(dāng)風(fēng)速為 12m/s 時，鋼桶的傾斜角度°，從上到下鋼管的傾斜角度分別為°、°、°、°，浮標(biāo)吃

2、水深度，浮標(biāo)游動區(qū)域半徑。針對問題二，首先將風(fēng)速為 36m/s 的情況代入問題一建立的模型中，但是得到的結(jié)果不滿足題目所給定的要求。則考慮在重物球質(zhì)量一定的條件下，以浮標(biāo)的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角為目標(biāo)， 建立了一個單決策變量的多目標(biāo)最優(yōu)系泊模型，相比于問題一，此問的變量更多，更加難于求解，故考慮將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)的問題進行求解，并繼續(xù)使用搜索法對問題進行求解。最后找到了三組可行解，其中最優(yōu)解是重力球的質(zhì)量為 2102kg.針對問題三，本文中有三個決策變量以及三個變系數(shù)，相比于前兩問，無論是計算量還是計算維數(shù)，難度更大。為了求解該問，建立了一個多決策變量的多目標(biāo)變系數(shù)的最優(yōu)系泊系統(tǒng)模

3、型，為了簡便運算，我們建立了變步長的搜索算法，并最終求解得到結(jié)果，得到的一組解為：選用了 III型號的錨鏈，重物球質(zhì)量為2800kg,錨鏈長 度為。針對論文的實際情況，對論文的優(yōu)缺點做了評價，文章最后還給出了其他的改進方向，以用于指導(dǎo)實際應(yīng)用。關(guān)鍵詞：系泊系統(tǒng)設(shè)計；力的平移定理；多目標(biāo)；優(yōu)化模型；搜索算法1 問題的重述一個由浮標(biāo)系統(tǒng)、系泊系統(tǒng)和水聲通訊系統(tǒng)組成的近淺海觀測網(wǎng)的傳輸節(jié)點?？梢院喕醋魇且粋€浮于海平面的圓柱體浮標(biāo)通過四節(jié)鋼管鏈接裝有通訊設(shè)備的鋼桶，鋼桶再通過錨鏈鏈接一個可以移動的錨，錨沉在海床上。為了不讓錨被拖行要求錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角不超過16 度， 并且要

4、保證通訊設(shè)備的工作效果，鋼桶與電焊錨鏈鏈接出可懸掛重物體，使得鋼桶的傾斜角度（鋼桶與豎直線的夾角）不超過5 度。需要建立模型討論并解決下列的幾個問題：1 .若海水靜止，在選用II型電焊錨鏈，重物球的質(zhì)量為1200kg,布放水 深為18ml海床平坦，海水密度為x 103kg/m3的條件下，分別計算海面風(fēng)速為12m/s和24m/s 時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標(biāo)的吃水深度和游動區(qū)域。2 . 在問題 1 的假設(shè)下，計算海面風(fēng)速為 36m/s 時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀和浮標(biāo)的游動區(qū)域。并調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使得鋼桶的傾斜角度不超過5 度，錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16 度。3

5、.若布放海域的實測水深介于16m-20m之間。布放點的海水速度最大可達到s、風(fēng)速最大可達到36m/s。給出考慮風(fēng)力、水流力和水深情況下的系泊系統(tǒng)設(shè)計，分 析不同情況下鋼桶、鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標(biāo)的吃水深度和游動區(qū)域。2模型的假設(shè)（ 1）假設(shè)兩鋼管用鉸鏈鏈接在一起，可以自由轉(zhuǎn)動。（ 2）假設(shè)風(fēng)是沿平行海平面的方向吹來。（ 3）假設(shè)忽略錨鏈和重物球的浮力影響。（ 4） 假設(shè)忽略由于其它原因 （如溫度， 濕度， 受力等） 而對各個系統(tǒng)產(chǎn)生的形變。（ 5）假設(shè)浮標(biāo)不會出現(xiàn)因為風(fēng)力過大而被吹翻的情況。（ 6）假設(shè)各個系統(tǒng)之間連接處的長度忽略不計。3符號說明Fwind ：浮標(biāo)所受水平方向的風(fēng)力大小

6、；FbuoyantA：浮標(biāo)所受浮力大小；FbuoyantB ：每節(jié)鋼管所受浮力大??；FbuoyantC ：鋼桶所受浮力大小；FB0 ：第一節(jié)鋼管對浮標(biāo)拉力的大?。ɑ蚋?biāo)對第一節(jié)鋼管拉力的大小 ） ；FBi :第i節(jié)鋼管下端所受拉力的大?。╥ 1,2,3, 4）；FC（FD0） ：鋼桶所受錨鏈的拉力大小 （或錨鏈上方第一段所受鋼桶的拉力大小 ） ；FDj ：錨鏈第 j 段（ 自上而下 ）下端所受拉力大小 （ j 1,2, L ,N ， 其中 N 為張緊狀態(tài)錨鏈的段數(shù)） ；Ff ：錨與海底間的摩擦力；Fmax ：錨與海底間的最大靜摩擦力；FwaterA ：浮標(biāo)所受的水流力大?。籉waterBi :

7、第i節(jié)鋼管所受水流力大小（i 1,2,3, 4 ）；FwaterC ：鋼桶水力大小； 鋼桶所受水流力大??；： 錨與海底間的最大靜摩擦系數(shù)；FN ：海底對錨的支持力；GA ：浮標(biāo)的重力；GB ：每節(jié)鋼管的重力；GC ：表示鋼桶的重力；GD ：錨鏈每段鏈環(huán)的重力；GE ：錨的重力；B0 ：第一節(jié)鋼管對浮標(biāo)拉力與水平方向的夾角；B :第i節(jié)鋼管下端所受拉力與水平方向的夾角(i 1,2,3,4);C ( D0 ) ：鋼桶所受錨鏈的拉力與水平方向的夾角；Dj ： 錨鏈第 j 段( 自上而下 )下端所受拉力與水平方向的夾角 ( j 1,2, L ,N ) ；A：浮標(biāo)的水平傾斜角度；Bi ：第 i 節(jié)鋼管的

8、水平傾斜角度( i 1, 2,3, 4) ；c ：鋼桶的水平傾斜角度；h1, h2 ：圓柱體浮標(biāo)兩端的浸水長度, 其中h1h2；h ：浮標(biāo)的吃水深度；vwind ：水平方向的風(fēng)速；Swind ：浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積；VoverflowA ：； 浮標(biāo)的排水體積；Vwater ：水流速度大??；mA ：浮標(biāo)的質(zhì)量；mB ：每節(jié)鋼管的質(zhì)量；mC ：鋼桶系統(tǒng)的質(zhì)量；m ：重物球的質(zhì)量；：海水密度；D ：錨鏈的線密度；CDN ：法向阻力系數(shù)；CDN ：切向阻力系數(shù)；A：浮標(biāo)的底面半徑；rB ：每節(jié)鋼管的底面半徑；LB ：每節(jié)鋼管的長度；rC ：鋼桶的底面半徑；LC ：鋼桶的長度；LD ：錨鏈每段鏈環(huán)

9、的長度；H ：海水深度；s ：錨鏈某點至錨鏈上端頂點的弧長；SA ：浮標(biāo)浸入水下部分在水流力法平面的投影面積；1,2,3,4）；SBi ：第 i 節(jié)鋼管在水流力法平面的投影面積（ iSC ：鋼桶在水流力法平面的投影面積；T ：錨鏈某點處所受拉力的大小；：錨鏈某點處所受拉力與水平方向的夾角；X A ：平衡狀態(tài)下浮標(biāo)的水平距離；XB ：平衡狀態(tài)下鋼管的水平距離；XC ：平衡狀態(tài)下鋼桶的水平距離；X D ：平衡狀態(tài)下錨鏈的水平距離；X ：平衡狀態(tài)下整體的水平距離；yD ：錨鏈豎直方向上的高度；max ：錨不滑動時，錨鏈在錨點與海床的最大夾角；D ：單位長度上錨鏈所受的法向水流力大?。籇 :單位長度上

10、錨鏈所受的切向水流力大小;4.模型的建立與求解問題的分析系統(tǒng)平衡的兩種狀態(tài)一一張緊狀態(tài)和松弛狀態(tài)及游動區(qū)域的理解本文考慮的在風(fēng)力及水流力作用下的系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題，首先我們考慮一種簡 單情形，即海水靜止且風(fēng)向水平情況，此時整個系泊系統(tǒng)可能會因風(fēng)力移動達到一個 平衡的狀態(tài)，由于風(fēng)向恒定我們可以認為最終的平衡狀態(tài)中浮標(biāo)、鋼管、鋼桶、錨鏈 和錨大致位于同一個平面內(nèi)，如圖1所示。圖1傳輸節(jié)點示意圖在平衡狀態(tài)下，各系統(tǒng)所受力及力矩分別達到平衡，此時浮標(biāo)會與錨形成一定的 水平距離。此時的平衡狀態(tài)可能分為兩種：一種是張緊狀態(tài)，即錨鏈的每一段都受到 了前后端的拉力從而使整個系統(tǒng)平衡；另一種是松弛狀態(tài)，即錨鏈上

11、方的一部分存在 拉力，而下方部分散落在水底呈無拉力狀態(tài)達到平衡。在張緊狀態(tài)下達到平衡時，浮標(biāo)到達某個定點，此時該點與錨得水平距離為半徑 以錨和浮標(biāo)的水平距離為半徑、錨所在位置為圓心做一個圓面，該區(qū)域即浮標(biāo)的游動 區(qū)域，如圖2所示。但在松弛狀態(tài)下由于松弛部分錨鏈的可伸縮性，浮標(biāo)的位置會 處于一定的區(qū)域，當(dāng)松弛部分錨鏈長度最大時浮標(biāo)位于最遠位置，以此時浮標(biāo)與錨的 水平距離為半徑、錨所在位置為圓心的圓形區(qū)域即其游動區(qū)域。圖2浮標(biāo)游動區(qū)域俯視示意圖浮標(biāo)的傾斜問題及對吃水深度的理解在對組成各個系統(tǒng)的零件受力分析的過程中，會出現(xiàn)無法將物體看作是均勻的情 況，這樣一來，物體的各力的受力點將不再是質(zhì)點，為此應(yīng)

12、盡可能將受力點移動到質(zhì) 心上。這時，根據(jù)力的平移定理，在將各力平移到質(zhì)心上去的過程中會產(chǎn)生力矩，且 對于一個平衡的物體其力矩和應(yīng)為零。在力矩平衡的作用下，我們發(fā)現(xiàn)平衡狀態(tài)下浮標(biāo)會產(chǎn)生一定的傾斜角度。假設(shè)在浮標(biāo)的底面與海平面平行，即沒有傾角時，其受力分析如圖3所示。圖3浮標(biāo)垂直海平面的受力分析圖由圖可知除浮力FbuoyantA外，風(fēng)力Fwind和鋼管拉力Fb0都會產(chǎn)生非零力矩，且方向相 同，導(dǎo)致力矩和不為零，從而會產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，不會達到平衡狀態(tài)，我們認為在平衡狀態(tài)下，浮標(biāo)底面相對海平面存在一個傾斜角度A o吃水深度為浮標(biāo)底部到海面的距離。由于浮標(biāo)傾斜，導(dǎo)致浮標(biāo)各點侵入海水的長度不同，如圖4所示。假設(shè)

13、浮標(biāo)兩邊侵入水中的長度分別為 幾,h2,其中h1 h2 ,則吃水深度即兩邊浸水長度的平均值叱上2。2圖4傾斜浮標(biāo)的浸水示意圖問題1模型的建立根據(jù)對問題的分析發(fā)現(xiàn)，問題旨在討論在不同情形達到平衡狀態(tài)下，分析各鋼管 的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標(biāo)的方程，通過已知的信息，求得系統(tǒng)各部分所受拉力大 小及其角度情況和各部分本身的傾斜角度。浮標(biāo)的力平衡方程通過浮標(biāo)的受力分析可得，浮標(biāo)受到豎直向上的浮力FbuoyantA,水平向右的風(fēng)力Fd, 重力Ga以及鋼管對其的拉力Fb。，其受力分析圖如圖5所示：圖5浮標(biāo)的受力分析圖根據(jù)平面力系平衡原理，可得浮標(biāo)的力平衡方程如下：在水平方向上，有FB0 cos B0Fwin

14、d ,(1)其中，號為鋼管對浮標(biāo)拉力與水平方向的夾角，F(xiàn)wind為水平風(fēng)力的大小，有如下的近似公式（S為物體在風(fēng)法平面的投影面積）2F wind 0.625 S(vwind );在豎直方向上，有Fb0 sinb0mAg FbuoyantA,(3)其中，有FbuoyantAgVoverflowA ,(4)在這兒,VoverflowArA2hi 2 rA池 2 2 rAI' ©(5)mA為浮標(biāo)質(zhì)量,n,%分別表示浮標(biāo)兩邊的浸水長度（見圖4）A為浮標(biāo)的底面半徑,VoverflowA為浮標(biāo)的排水體積， 為海水密度，g為重力加速度浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積公式在計算風(fēng)力Fwind時，需

15、用到浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積 S,由于浮標(biāo)傾斜，該 投影區(qū)域并非一標(biāo)準(zhǔn)的矩形，而是由兩個部分構(gòu)成，其中的下方部分為矩形，而上方 部分為傾斜圓在水平面上投影的一半，即半橢圓的一半，最終得到浮標(biāo)在風(fēng)向法平面 的投影面積如圖6所示。圖6浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積示意圖通過平面幾何關(guān)系可得，第一部分矩形的面積 Si滿足：S=2raLa 0.5(幾 h2).(hi2rA22h2)2 (2ra)2(6)第二部分半橢圓的面積S2滿足:(h2 hi)AS2.其中，a為浮標(biāo)的底面半徑, 長度。4hi,鳥分別表示浮標(biāo)兩邊的浸水長度,La表小浮標(biāo)的鋼管的平衡方程通過分析可得，每節(jié)鋼管的受力分析圖如圖7所示。圖7第

16、i節(jié)鋼管的受力分析圖根據(jù)平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式),有如下方程： 水平方向力平衡方程FBi cos BiFbcos Bi(i 1,2,3,4),(8)豎直方向力平衡方程FBi sin BimBg FBi 1 sin Bi 1FbuoyantB(i 1,2,3,4),(9)力矩平衡方程L 1.,、,L 1.，F(xiàn)Bi -sin( Bib)LbFBi12sin(Bi1Bi)(i 1,2,3,4).(10)在這兒，F(xiàn)buoyantB為每節(jié)鋼管所受浮力大小，滿足FbuoyantB2.g B Lb,(11)而FBi為第i節(jié)鋼管下端所受拉力大小，mB為每節(jié)鋼管的質(zhì)量，g為重力加速度，Bi

17、是 第i節(jié)鋼管與水平方向的夾角(鋼管的傾斜角度)，B是拉力FBi與水平方向的夾角，B 為鋼管的底面半徑，Lb為鋼管的長度。鋼桶系統(tǒng)的平衡方程鋼桶的受力分析如圖8所示。圖8鋼桶的受力分析圖(12)根據(jù)平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式),有如下方程: 水平方向力平衡方程Fe COs e Fb4 cos b4 ,豎直方向力平衡方程Fe sin(me m)g FB,sinB4FbuoyantC ,(13)力矩平衡方程匚1 . ,Fe 2sin(在這兒 ,FbuoyantCe e )LcL 1.，、，F(xiàn)b4 -2sin( b4e )Lc為鋼桶系統(tǒng)的浮力,mg 2cos cLc,(14)Fbu

18、oyantC而FB4表示鋼管對鋼桶拉力的大小，一 “ 21g re Lc,B4表示鋼管對鋼桶拉力與水平方向的夾角,(15)Fe表示鋼桶受下方錨鏈拉力的大小，e表示Fe與水平方向的夾角，me表示鋼桶的質(zhì)量, m表示重物球的質(zhì)量，re表示鋼桶的底面半徑，Lc表示鋼桶的長度。錨鏈系統(tǒng)的平衡方程由于錨鏈無檔普通鏈環(huán)，我們可以將其看作無彈性懸垂線，這樣可以將錨鏈視作 柔性的。因此可用微元法的思想分析其受力平衡狀態(tài)?？紤]錨鏈其中自上而下一小段弧長($到5 ds)上的受力情況，如圖9所示。圖9錨鏈微元的受力分析圖圖中ds表示取的任意一段小弧長，T表示上段錨鏈對所取小弧長的拉力，而T dT 表示下段錨鏈對小弧

19、長的拉力； 是拉力T與水平方向的夾角；d是拉力T dT與水平方向的夾角。根據(jù)這一弧長微元上的受力平衡，可得出以下方程：水平方向上，有T cos (T dT)cos( d ),(16)豎直方向上，有Tsin (T dT)sin( d )Dds g(17)其中D表示單位長度錨鏈的質(zhì)量將其展開可得T cosT cos cosdT sinT sin cosddT cos cosd T sin sind dT sin sindDds g a3由泰勒公式sin d d L3!的影響，故sind近似等于d , cosd可知，當(dāng)角度變化d很小時,忽略高階無窮小近似等于1,從而可得如下的近似方程:dTsin c

20、osd Tcos sind dT cos sind0 dT cos T sin d dT sin d/(19)Dds g dT sin T cos d dT cos d忽略高階無窮小dT d項，(其中dT d都為無窮小，故它們的乘積為高階的無 窮小)對上式化簡可得如下一階非線性微分方程組：Dg cosTDg sin(20)d ds dT ds且有初值條件(0) c，T(0)錨的平衡方程及平衡狀態(tài)條件錨的受力直接關(guān)系著最終是否達到平衡狀態(tài)，其受力分析如圖10所示：圖10錨的受力分析圖水平方向上，有Fdn cos Dn Ff,(21)在豎直方向上，有Fn Fdn sin Dn Ge mEg,(22

21、)由于判斷整個系統(tǒng)平衡的關(guān)鍵即對錨的水平拉力是否超過錨與海底之間的最大靜 摩擦力Fmax ，即得到平衡狀態(tài)的判斷條件為FDN cos DNFmax .(23)又由海水深度為18m ,可知hlh2 以-sin a2LBsin( Bi)Lc sin ci 1yD(24)其中，H表示海水深度；hh2sin A表示浮標(biāo)底面軸心到海平面的距離，幾由2分 24別表示浮標(biāo)兩邊浸入水中的長度，a浮標(biāo)的傾斜角度，LBsin( Bi)表示4個鋼管在i 1水中的高度和，Lb表示每節(jié)鋼管的長度，Bi表示第i節(jié)鋼管的傾斜角度；Lc表示鋼桶 的長度，C表示鋼桶的傾斜角度，yD表示錨鏈豎直方向的高度。游動區(qū)域的分析經(jīng)過分析

22、和求解可以知道在平衡狀態(tài)下的各個系統(tǒng)水平距離分別為： 浮標(biāo)的水平距離(25)Xh2 h1h2 h1, (h2 hi)2 (2a)2A (h2 h1)2 (2a)222鋼管的水平距離4(26)X BLbi cos Bi ,i 1鋼桶的水平距離Xc Lc cos C，(27)錨鏈的水平距離C sXD cos( d )dsd(28)ND 0則整體的水平距離(游動半徑)為X Xa Xb Xc Xd(29)問題一模型的求解模型的求解思路通過對系泊系統(tǒng)各部分進行單獨受力分析和力矩分析，得到了系統(tǒng)各處拉力大小 及其傾角等未知量在平衡狀態(tài)下的關(guān)系，由于方程數(shù)量較多，且相互影響，使得直接 計算非常復(fù)雜。因此我們

23、首先考慮各方程之間的關(guān)系，得到未知量滿足一定規(guī)律的遞 推公式，對問題進行系列簡化，然后再采用搜索算法進行求解。方程的簡化及遞推公式的推導(dǎo)錨鏈系統(tǒng)微分方程的轉(zhuǎn)化由于錨鏈?zhǔn)菬o檔普通鏈環(huán)，實際中是環(huán)環(huán)相扣的離散系統(tǒng)，為了計算方便，我們首 先考慮對錨鏈系統(tǒng)對應(yīng)的一階非線性微分方程組 (20式)進行轉(zhuǎn)換3,由ds與水平方向 及豎直方向上的位移之間的關(guān)系(30)dx cos ds, dy sin ds,可得鏈環(huán)連接處的受力大小及角度的遞推公式FDj1 cos Dj1FDj cosFD sin DFD sin Dj1j1jjDjj (j 1,2,L ,N), GDj31)其中，F(xiàn)do表示鏈環(huán)上方第一段所受鋼

24、桶帶來拉力的大小，Do表示鏈環(huán)上方第一段所受鋼桶帶來拉力與水平方向的角度，由于其與鏈環(huán)對鋼桶拉力FC 互為反作用力，有Fdo Fc, Do C ； FDj表示鏈環(huán)第j段(自上而下)下端所受拉力大小,Dj表示鏈環(huán)第 j 段下端所受拉力與水平方向的夾角 ( j 1,2, L , N ) ， N 為鏈環(huán)的段數(shù)。水平力平衡公式的推導(dǎo)及簡化整個系泊系統(tǒng)的每個部分均在兩個水平力的作用下平衡，有FwindFBicosBiFCcos CFDjcosDj(i 1,2,3,4; j 1,2, L ,N),(32)其中風(fēng)力Fwind 由浮標(biāo)兩邊的入水深度h1, h2 決定。豎直方向力平衡公式的推導(dǎo)及簡化由豎直方向上

25、受力平衡可得到如下遞推公式FBo sin Bo FbuoyantAGAkkFBk sin BkFBo sin BoFbuoyantAG AFbuoyantBiGi1i144FC sin CFBo sin BoFbuoyantAG AFbuoyantBiGBii1i144FDk sin DkFBo sin BoFbuoyantAGAFbuoyant BiG BiFbuoyangtCi1i1其中浮標(biāo)的浮力FbuoyantA也由浮標(biāo)兩邊的入水深度幾由2決定。系統(tǒng)各段所受拉力大小及其角度的計算公式將各拉力豎直方向分力與水平分力相比，可得相應(yīng)角度正切值i (k 1,2,3, 4)FbuoyangtCGC

26、33) ,tanDk各個部件在豎直方向的高度的計算GC kGD(k 1,2,L ,N)tan 的計算公式如tan Bo( FbuoyantA GA)/ Fwindtan Bk( FBo sintan C (FBo sin B( FBo sin BoFbuoyantAkkBoFbuoyantAGAFbuoyantBiG Bi ) / Fwind (k 1,2,3, 4)i1i144FbuoyantAGAFbuoyantBiG BiFbuoyangtCGC)/Fwindi1i1G AFbuoyantBiGBiFbuoyangtCGCkGD)/Fwind(k 1,2,L , N)i1i1從而可得平衡

27、狀態(tài)下依賴于h1, h2 的各段拉力角度及大小的計算公式。34),圖中,RMQ所以即：其中,因為(35)(36)(37)Cot BoFwind20.625 S(Vwind)FbuoyantAGAgVoverflowAGA(38)即可以求出B0 ,這樣再帶入浮標(biāo)水平方向平衡方程則可求出 Fb, 值帶入鋼管的平衡方程，我們可以求出鋼管的Fb,拉力及其傾斜角度'0。再把B0和FB0的Bi和鋼管的傾斜角B ,又可以根據(jù)鋼管的幾何關(guān)系(如圖 4Hb Hb,其中Hb表示四根鋼管的總高度, 的傾斜角度。(3)鋼桶的豎直方向高度，這里記為6所示)：4lBi sin( bJH Bi表示第i節(jié)鋼管的高度,

28、(39)Bi表示第i節(jié)鋼管(1)找出浮標(biāo)的豎直方向高度，這里記為 Ha(Ha QR)。如圖所示:圖11.浮標(biāo)的豎直方向高度示意圖hi MN , h2 OP, Ha QR。在直角 RMQ 和直角 NKP 中,NPK (同位角相等)，所以這兩個三角形另外兩個角相等，即： KPRQM KNP arctanNK- h hoPKH a RQ QM cos RQM -2 cos(arctan()2KNrA(hi h2)H a .(hi h2)2 (2a)2a表示浮標(biāo)的半徑，為1m。(2)鋼管的豎直方向高度，這里記為Hb,根據(jù)浮標(biāo)的平衡方程、水平方向的方程(Fb0 cos B0 Fwind)和豎直方向的方程

29、(Fbo sinB。Ga FbuoyantA)相除得:把上個環(huán)節(jié)的計算出來的結(jié)果帶入鋼桶系統(tǒng)的平衡方程，同樣也可以計算出鋼桶傾斜角度C,錨鏈對鋼桶的拉力Fc及其方向(與X軸的夾角C)。則可以得出鋼桶高 度的公式：(40)Hc lc sin c其中l(wèi)c為鋼桶的長度，它是一個常數(shù)，大小為1m。(4)鋼桶的豎直方向高度，這里記為 Hdo根據(jù)已求得的鋼桶對錨鏈的拉力 Fc及其方向，把這對初始值帶入錨鏈平衡微分方 程，可解出函數(shù)關(guān)系。就可以表示出錨鏈的高度：DN 22.05HDds sin( d )(41)C 0其中，ds表示錨鏈一微段的長度，d表示那一微段的傾斜角度。故整個系泊系統(tǒng)總高度為H Ha H

30、b Hc HD(42)吃水深度。和h2的值范圍的確定根據(jù)題目可知浮標(biāo)的高度為2m,則有：0幾2m, 0 h2 2m, h?為較長的 一條高。只有當(dāng)浮標(biāo)在海水中時，浮標(biāo)的重力與浮標(biāo)的浮力二力平衡，即：GA g VoverflowA(43)可以計算出此時。h? 0.31m o那么可以進一步確定范圍：0.31 。 h2 2,(44)算法步驟(1)給定一組浮標(biāo)吃水深度值A(chǔ)h,(得到0.31 % h2 2),可以依次計算得 到 H , Dn ;(2)判斷如果同時滿足H 18,(取較小值，比如)和0 dn 16兩個條件，則輸出結(jié)果，并停止計算；如果不滿足，則取步長有h1 %h1m2 h2h2,并轉(zhuǎn)到步驟(

31、1)。計算結(jié)果及分析(1)當(dāng)風(fēng)速為12m/s時，得到的結(jié)果如下表所示：表1.風(fēng)速為12 m/s時的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無檔鏈環(huán)個數(shù)144鋼管1的傾角鋼管2的傾角r鋼管3的傾角鋼管4的傾角游動區(qū)域半徑浮標(biāo)的吃水深度得到錨鏈的形狀如圖12所示:圖12.風(fēng)速為12m/s時錨鏈的形狀以上求解得到的結(jié)果滿足題目的要求，且所用的鏈環(huán)個數(shù)為144個，小于鏈的總個數(shù)，說明達到平衡時錨鏈并未完全繃緊。(2)當(dāng)風(fēng)速為24m/s時，得到的結(jié)果如下表所示：表2.風(fēng)速為24m/s時的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無檔鏈環(huán)個數(shù)185鋼管1的傾角鋼管2的傾角r鋼管3的傾角鋼

32、管4的傾角游動區(qū)域半徑浮標(biāo)的吃水深度得到錨鏈的形狀如圖13所示:圖13.風(fēng)速為24 m/s時錨鏈的形狀以上求解得到的結(jié)果滿足題目的要求，且所用的鏈環(huán)個數(shù)為185個，小于鏈的總個數(shù)，說明達到平衡時錨鏈并未完全繃緊。問題2的模型分析與建立風(fēng)速為36m/s時系泊狀態(tài)及其分析當(dāng)風(fēng)速達到36m/s時，若不考慮角度的限制，可通過問題一的遞推式及搜索算法 求得如下結(jié)果：表3.風(fēng)速為36m/s時的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無檔鏈環(huán)個數(shù)210鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角游動區(qū)域半徑浮標(biāo)的吃水深度得到錨鏈的形狀如圖14所示:圖14.風(fēng)速為36m/s時錨鏈的形狀此時，錨鏈

33、末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角為度，超過了16度，鋼桶的傾斜角度（鋼桶與豎直線的夾角）為度,超過5度，已經(jīng)不能夠達到平衡狀態(tài)，因此 需考慮調(diào)節(jié)重物球質(zhì)量，使其重新達到平衡狀態(tài)?；谥匚锴蛸|(zhì)量的定常系統(tǒng)最優(yōu)系泊模型當(dāng)風(fēng)速達到36m/s時，系泊系統(tǒng)已經(jīng)不再滿足角度的要求，從而不再處于平衡狀 態(tài)，因此我們考慮調(diào)整重物球質(zhì)量。在此我們假設(shè)海水靜止，考慮水平風(fēng)速、水深、 錨鏈型號、長度等均為定常數(shù)，基于重物球質(zhì)量的選擇，建立了單決策變量的多目標(biāo) 最優(yōu)系泊模型。目標(biāo)函數(shù)(45)(46)(47)（一）浮標(biāo)的吃水深度盡可能?。簃in h; m其中吃水深度h 2 ,即浮標(biāo)兩邊浸水長度的平均值;2（二）游

34、動區(qū)域盡可能小，即游動半徑盡可能最小：min Xm其中游動半徑X Xa Xb Xc Xd（見29式）；（三）鋼桶的傾斜角度盡可能??；min C m 2其中c表示鋼桶與水平面的夾角。約束條件（一）海水的深度約束，即平衡狀態(tài)下整個系泊系統(tǒng)的豎直高度之和應(yīng)等于水深H ,有(48)hi h2 .4-sin aLb sin( Bi)Lc sin c yD H,2i其中hh2sin A表示浮標(biāo)底面軸心到海平面的距離，兀由2分別表示浮標(biāo)兩邊浸入 24水中的長度，a浮標(biāo)的傾斜角度，LBsin（日）表示4個鋼管在水中的高度和，Lb表i 1示每節(jié)鋼管的長度，Bi表示第i節(jié)鋼管的傾斜角度；Lc表示鋼桶的長度，C表示

35、鋼桶 的傾斜角度，yD表示錨鏈豎直方向的高度。（二）錨鏈底端拉力的夾角約束，即錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度，有（s） Dn max,（49）由問題1可知，T, ,s滿足如下微分方程組d ds dT ds-D-gcosTDgsin(50)其中Dn表示錨鏈在錨點與海床的夾角，max表示使得錨不滑動時，錨鏈在錨點與海床的最大夾角。(三)平衡約束條件，即達到系統(tǒng)各部分力和力矩平衡的各等式約束條件，包括式？ 綜上：我們建立了基于重物球質(zhì)量的多目標(biāo)最優(yōu)系泊模型如下min h;min X;(51)minh1 h2 . sin 2C;Lb sin( Bi) Lc sin c yDdn max(52)力及

36、力矩平衡約束條件(1)-(23)問題2的模型求解多目標(biāo)的轉(zhuǎn)換對于問題2,這是一個多目標(biāo)的優(yōu)化問題，不能夠直接進行求解，需要把多目標(biāo) 轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)進行求解。具體方法為：先計算單目標(biāo)min CHh1 h2 sin aLb sin( Bi) Lc sin c yD2i(53)dn max(54)力及力矩平衡約束條件(1)-(23)得到傾角的最優(yōu)值* ，冉將* 5作為約束條件加入到優(yōu)化問題里面,2問題轉(zhuǎn)化為雙目標(biāo)優(yōu)化問題。min h;sinmin X;4aLbSM( Bi)Lesin c yD這樣(55)dn max*- 52力及力矩平衡約束條件(1)-(23)(56)再考慮吃水深度的優(yōu)化，利用類似的

37、方法得到其最優(yōu)值作為約束條件，即:min X;(57)hih2 .sin24LBSin( Bi)Lesincymax(58)力及力矩平衡約束條件(1)-(23)可行解的范圍因為該問所給的風(fēng)速變大，在初始的條件下不能再得到可行解了。所以這里除了 給定hi、h2的值，還需要給定重物球的質(zhì)量。在問題一種重力球質(zhì)量為1200kg已經(jīng)不為了找到重物球重力 此時，對浮標(biāo)進(59)能滿足題目要求，所以重物球的重力應(yīng)該滿足： GC1 12000N 的上限，首先假設(shè)只有重物球的重力作用，且浮標(biāo)完全淹沒在水中 行受力分析，得到的受力分析圖如圖 15所示：圖15.浮標(biāo)的受力分析圖根據(jù)受力分析，當(dāng)浮標(biāo)處于平衡狀態(tài)時有

38、：FbuyantA Ga Gc1其中 F FbuoyantAgVoverflowA ,由于浮標(biāo)完全被淹沒，所以A： 則：此時，GC1 53082.6N 。因此設(shè)定重物球重力的取值范圍是 12000N Gc1 53082.6 N。當(dāng)重物球重力的值接近上限值時，浮標(biāo)接近被完全淹沒，此時浮標(biāo)受風(fēng)吹的面積小，即風(fēng)力小，整個系統(tǒng)在水平方向只受風(fēng)力和錨上的摩擦力 的作用，且這兩個力是一對平衡力，當(dāng)風(fēng)力較小時，系統(tǒng)將不會在水平方向上移動， 當(dāng)浮標(biāo)完全沉沒時，系統(tǒng)將完全不在水平方向移動，這時鋼桶傾斜角度達到最小為0度，錨鏈處于松弛狀態(tài)，且此時為平衡狀態(tài)。問題2的具體算法步驟求解的基本思路同問題一是類似的，還是

39、采用搜索算法。但是由于變量個數(shù)增加 了一個，搜索的范圍和計算量將大大增加，如果還采用問題一的定步長搜索的話，計 算時間和結(jié)果可能難以保證。故采用變步長搜索算法，具體步驟為：(1)在搜索參數(shù)的有效范圍內(nèi)，給定一個較大的步長 G, h1, h2(比如5,0.1,0.1),與問題一的求解方法一樣，得到對應(yīng)的 H, dn ；(2)判斷如果同時滿足條件|H 18,(取較小值，比如)和0dn 16,則輸出結(jié)果并結(jié)束計算；如果不滿足，則記下最接近判斷條件的一組G,h1,h2；(3)以G Eh為新的初始點，選定一個較小的步長G,幾，h2 (比如1,0.01,0.01),按照上述方法再次計算H, Dn ,如果滿

40、足判斷條件則停止；否則可以類 似方法繼續(xù)縮小步長，總可以找到可行解。問題2的計算結(jié)果根據(jù)上述的求解思路和方法，編寫程序進行搜索求解，限定搜索的時間，得到以 下結(jié)果：第一種結(jié)果：表4.問題2的第一種求解結(jié)果重物球的質(zhì)量h1h2海水深度1968kg1m1m錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動區(qū)域半徑207/210在得到以上結(jié)果的情況下，將參數(shù)代入可以得到錨鏈的形狀為: 圖16.第一種求解結(jié)果下錨鏈的形狀其他結(jié)果：表5.問題2的第二種求解結(jié)果重物球的質(zhì)量h1h2海水深度1969kg1m1m錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動區(qū)域半徑210/210表6.問題2的第三種求解結(jié)果重物球

41、的質(zhì)量h1h2海水深度2102kg錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動區(qū)域半徑210/210問題2的第二、第三種求解結(jié)果滿足題目的要求，說明對于第二問的解題思路和 方法是正確且可行的，如果按照此種方法就能找到最優(yōu)的解，但由于算法的數(shù)據(jù)處理 量過于龐大以及時間的限制，這里就不一一進行求解了。問題3的模型建立與求解最優(yōu)系泊問題問題一和問題二的模型都是在水深、風(fēng)速恒定、水流靜止的特殊情況下建立的， 而對于此問，題目給定水深、風(fēng)速、水流的范圍，考慮實際系泊系統(tǒng)中水流速度的影 響，在水速、風(fēng)速、水深不定的情況下，基于錨鏈型號、長度及重物球質(zhì)量的選擇， 建立了多決策變量的多目標(biāo)最優(yōu)系泊模型。所以

42、決策目標(biāo)和第二題相同，考慮基于錨鏈型號、長度及重物球質(zhì)量的變系數(shù)， 那么模型的限制條件因不同情況而不同， 下面以當(dāng)水平風(fēng)速和水流力同向的情況分析。 問題3當(dāng)水平風(fēng)速和水流力同向的情況1浮標(biāo)的力平衡方程根據(jù)理論力學(xué)的相關(guān)知識，對平衡時的浮標(biāo)進行受力分析，得到浮標(biāo)的受力分析 圖如圖17所示：圖17.浮標(biāo)的受力分析圖浮標(biāo)受到豎直向上的浮力FbuoyantA ；水平向右的風(fēng)力Fwind ；浮標(biāo)所受水流力FwaterA ； 豎直向下的浮標(biāo)重力Ga；浮標(biāo)受下方鋼管的拉力Fb。其中A表示浮標(biāo)的傾斜角度， B0表示拉力Fb。與X軸方向的夾角。根據(jù)平面力系平衡原理，x軸與y軸方向上受力達到平衡，可得出浮標(biāo)的平衡

43、方程：水平方向：F B0 COS B0 Fwind FwaterA(60)其中，有近海風(fēng)載荷的近似公式：(S為物體在風(fēng)法平面的投影面積)2Fwind 0.625 S(vwind )(61)S 2rALa 0.5(幾 h2)2rA2+ (h2 "“A (6,(hi h2)(2a)42)近海水流力的近似公式：(Sa為物體在水流法平面的投影面積)由問題一中浮標(biāo)在風(fēng)向法平面投影面積的分析可知，投影面積可分為矩形和 橢圓兩部分，可得：(63)S 2rA2(hi h2)rA(h2 hi)”.(hi h2)2 (2a)24豎直方向：其中，有GaFB0 sinB0GA FbuoyantAmAg ,

44、FbuoyantAgVoverflowA(64)(65)21212 zVoverflowAA t 5 rA 什2幾)萬A (1)(66)h2hitan a(67)其中，幾、h2分別表示浮標(biāo)左、右邊進入水中桶壁的長度2鋼管的平衡方程對第i節(jié)鋼管對其進行分析，得到受力分析圖如圖 i8所示：圖i8.第i節(jié)鋼管的受力分析圖FbuoyantBi為第i節(jié)鋼管的在水中的浮力；Fb i為第i節(jié)鋼管受到上方物體的拉力；Fb1：為 第i節(jié)鋼管受到下方物體的拉力；鋼管所受水流力FwaterBi ； Gb,為第i節(jié)鋼管的重力；i是第i節(jié)鋼管與X軸的夾角(鋼管的傾斜角度)；Bi是拉力Fb,與X軸的夾角；Bi 1是 拉力

45、58與*軸的夾角。根據(jù)平面力系平衡原理和力的平移定理，x與y方向上受力平衡且力矩和為零，可得出鋼管的平衡方程：力平衡：(水平方向)Fb, cos BiFb 1 cos Bi i FwaterBi (i 1,2,3,4)(68)其中，有F waterBi2374SBi (vwater )(69)SB2rB Lb sin Bi/cot Bisin Bi(70)力平衡：（豎直方向）FBi sin Bi GBiFBi 1 sin Bi iFbuoyantBi(i1,2,3,4)(71)其中，有 2GBimB g f FbuoyantBigVBgB Lb。1,2,3,4)(72)力矩平衡： 11FB -

46、sin( BiBi)LBFB_2sin(B1bJLb。1,2,3,4)(73)3鋼桶系統(tǒng)的平衡方程對于通信系統(tǒng)的鋼桶，得到受力分析如圖 19所示：圖19.鋼桶的受力分析圖FB4表示上面第4節(jié)鋼管對鋼桶的拉力；B4表示拉力FB4與X軸的夾角；FC表示 鋼桶受下方錨鏈的拉力；鋼管所受水流力 Fwmc； C表示Fc力與X軸的夾角；Gc1表 示重球?qū)︿撏暗闹亓?；GC表示鋼桶的自身所受的重力；FbuoyantC表示鋼桶在水中所受的 浮力；c為鋼桶的傾斜角度（鋼桶與 X軸的夾角）。根據(jù)平面力系平衡原理和力的平 移定理，X與y方向上受力平衡且力矩和為零，可得出浮標(biāo)的平衡方程：(74)力平衡：（水平方向）Fc

47、 cos CFb4 cos B4FwaterC其中，有waterC2374SC(vwater)(75)(76)(77)(78)(79)2Sc2rcLc sin cc cot c sin c力平衡：(豎直方向)Fcsin c GcFb4 sin b4FoverflowC其中，有2.Gc(mC m)g ? FbuoyantCgVCg rc Lc力矩平衡：L1.,、，1.,、，1.Fc二sin(C c)LcFb4 -sin( b'c)Lcmg 二coscLc24 2424錨鏈系統(tǒng)的平衡分析假設(shè)錨鏈?zhǔn)菬o彈性懸垂線，這樣可以將錨鏈簡化看作是柔軟的，利于模型的簡化。再考慮其中一小段弧長（s到s d

48、s）上的受力情況，在有水流力的情況下，如圖20所示：圖20.錨鏈的受力分析圖圖中ds表示取的任意一段小弧長，T表示下段錨鏈對所取小弧長的拉力，而T dT 表示上段錨鏈對小弧長的拉力；i是拉力T與水平方向的夾角；i d是拉力T dT與 水平方向的夾角。根據(jù)這一微段的平衡，可得出以下力系平衡方程：水平方向上，有T cos (T dT)cos( d ) D ds(80)豎直方向上，有T sinchainds g (T dT )sin( d ) D ds(81)其中chain表示單位長度錨鏈的質(zhì)量，D和D分別為單位長度上錨鏈所受的法向和切向水流力。對上式化簡可得如下一階非線性微分方程組:d ds dT

49、 dschain gcos TchaingSin(82)通過查找資料4 , D和D按下列公式來計算:1212C DN dVwater2 cosCdn dVwater2sin283)(84)其中，Cdn和Cdn分別為法向和切向阻力系數(shù)，為水的密度，Vwater為水流速度綜上：我們建立了基于重物球質(zhì)量的多目標(biāo)變系數(shù)最優(yōu)系泊模型如下(85)min h;min X;minhlh2 .sin 24(86)Lb sin( Bi)Lc sin c VdDn max力及力矩平衡約束條件(60)-(84)模型求解在水流速度為m/s,風(fēng)速為36m/s這種情況下，相比問題二多了兩個決策變量： 錨鏈的型號及其長度，增

50、加了三個變系數(shù)：水流速度、風(fēng)速、水深。所以求解這個模 型依然通過給定重物球重力Gci,錨鏈長度s,錨鏈型號，和h2。用問題二同樣的 思路去搜索解，最后搜索到結(jié)果為：表7.問題三的第一組解錨鏈型號III重物球的 質(zhì)量水流速hih2海水深度錨鏈水平 傾角鋼桶的傾 角2800kgs鋼管1的傾1鋼管2的鋼管3 1鋼管4的所用鏈環(huán)數(shù)/總錨鏈長度游動區(qū)域角傾角的傾角傾角鏈環(huán)數(shù)半徑195/195表8.問題三的第二組解錨鏈型號IV重物球的 質(zhì)量水流速h1h2海水深度錨鏈水平 傾角鋼桶的傾 角2960kgs鋼管1的傾 角鋼管2的 傾角鋼管3的 傾角鋼管4的 傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總 鏈環(huán)數(shù)錨鏈長度游動區(qū)域 半徑131

51、/168得到的錨鏈形狀如圖所示:圖21.第一組求解結(jié)果下錨鏈的形狀 圖22.第二組求解結(jié)果下錨鏈的形狀5 .模型的推廣與改進方向本文建立了單一決策變量的多目標(biāo)以及多決策變量的多目標(biāo)優(yōu)化模型，推導(dǎo)出系 泊系統(tǒng)各個部分的平衡方程，巧妙的運用搜索算法，搜索算法極大的減少了運算量， 提高了運算效率。根據(jù)建立的模型可以求解并設(shè)計一個最優(yōu)的系泊系統(tǒng)。本文求解模型的方法可以推廣應(yīng)用到各種參數(shù)較多，方程數(shù)較多的方程組求解。 以及本文建立的模型可以很好的運用于各種鏈狀的物體受力分析的研究上去。但本文 對更多優(yōu)解的研究還不夠深入，可以繼續(xù)求解更有結(jié)進行研究。6 .模型的優(yōu)缺點通過對系泊系統(tǒng)各個部分嚴謹?shù)氖芰Ψ治觯贸隽吮容^完美的受力平衡關(guān)系式， 進而建立了比較完善的模型，思路嚴晰，結(jié)構(gòu)嚴謹。只是由于運算量太大，沒有找到 更好的求解方法。如果時間足夠充裕還可以對模型的求解進行更加深入的研究。7 .參考文獻1姜啟源.數(shù)學(xué)模型(第三版)M.北京：高等教育出版社，1999.2韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用(第二版)M.北京：高等教育出版社，2009.3孫寧松，海上移動式平臺錨泊定位系統(tǒng)錨索鏈?zhǔn)芰Ψ治鯦.中國海洋平臺，2008,23(2)4赫春玲，滕斌，不均勻可拉伸單錨鏈系統(tǒng)的靜力分析J.中國海洋平臺，2003,18 (4)5滕斌，赫春玲，韓凌，Chebyshev多項式在錨鏈分析中的應(yīng)用J.中國工程 科學(xué)，20