ch7.2實驗四作業(yè)2

1、1第七章 矩陣理論與方法的應(yīng)用第二節(jié)投入產(chǎn)出數(shù)學模型2 在經(jīng)濟活動中分析投入多少財力、物力、在經(jīng)濟活動中分析投入多少財力、物力、人力，產(chǎn)出多少社會財富是衡量經(jīng)濟效益高人力，產(chǎn)出多少社會財富是衡量經(jīng)濟效益高低的主要標志。投入產(chǎn)出技術(shù)正是研究一個低的主要標志。投入產(chǎn)出技術(shù)正是研究一個經(jīng)濟系統(tǒng)各部門間的經(jīng)濟系統(tǒng)各部門間的“投入”與與“產(chǎn)出”關(guān)關(guān)系的系的數(shù)學模型，該方法最早由美國著名的經(jīng)濟學數(shù)學模型，該方法最早由美國著名的經(jīng)濟學家家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前）提出，是目前比較成熟的經(jīng)濟分析方法。比較成熟的經(jīng)濟分析方法。3一、投入產(chǎn)出數(shù)學模型的概念一、投入產(chǎn)出數(shù)學模型的概念投入從事

2、一項經(jīng)濟活動的消耗；從事一項經(jīng)濟活動的消耗；產(chǎn)出從事經(jīng)濟活動的結(jié)果；從事經(jīng)濟活動的結(jié)果；投入產(chǎn)出數(shù)學模型通過編制投入產(chǎn)出表，運通過編制投入產(chǎn)出表，運 用線性代數(shù)工具建立數(shù)學模型，從而揭示用線性代數(shù)工具建立數(shù)學模型，從而揭示 國民經(jīng)濟各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)之間的內(nèi)國民經(jīng)濟各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)之間的內(nèi) 在聯(lián)系，并據(jù)此進行經(jīng)濟分析、預(yù)測和安在聯(lián)系，并據(jù)此進行經(jīng)濟分析、預(yù)測和安 排預(yù)算計劃。按計量單位不同，該模型可排預(yù)算計劃。按計量單位不同，該模型可 分為價值型和實物型。分為價值型和實物型。4 流量 產(chǎn)出投入消耗部門最終需求總產(chǎn)出消費 累計 出口合計生產(chǎn)部門新創(chuàng)價值工 資純收入合 計總投入表表7.1：投

3、入產(chǎn)出表：投入產(chǎn)出表n21n21nyyy21nxxx21nnnnnnxxxxxxxxx212222111211nnnzzzmmmvvv212121nxxx215 投入產(chǎn)出表投入產(chǎn)出表描述了各經(jīng)濟部門在某個時期描述了各經(jīng)濟部門在某個時期的投入產(chǎn)出情況。它的的投入產(chǎn)出情況。它的行表示某部門的表示某部門的產(chǎn)出產(chǎn)出；列表示某部門的表示某部門的投入投入。如。如表表7.1中第一行中第一行x1表表示部門示部門1的總產(chǎn)出水平，的總產(chǎn)出水平，x11為本部門的使用為本部門的使用量，量， (j=1,2,n)為部門為部門1提供給部門提供給部門j的使用的使用量，各部門的供給量，各部門的供給最終需求最終需求（包括居民消耗

4、、（包括居民消耗、政府使用、出口和社會儲備等）為政府使用、出口和社會儲備等）為(j=1,2,n)。這幾個方面投入的總和代表了這這幾個方面投入的總和代表了這個時期的個時期的總產(chǎn)出水平總產(chǎn)出水平。jx1jy6投入產(chǎn)出的基本平衡關(guān)系投入產(chǎn)出的基本平衡關(guān)系從左到右：從左到右： 中間需求最終需求總產(chǎn)出中間需求最終需求總產(chǎn)出 (7-9)從上到下：從上到下： 中間消耗凈產(chǎn)值總投入中間消耗凈產(chǎn)值總投入 (7-10)由此得由此得產(chǎn)出平衡方程組(也稱也稱分配平衡方程組)：nnnnnnnnxyxxxxyxxxxyxxx2122222211111211nixyxiinjij, 2 , 11(7-11)(7-12)7需

5、求平衡方程組：niyxxinjiji, 2 , 11(7-13)投入平衡方程組(也稱也稱消耗平衡方程組)：nnnnnnnnxzxxxxzxxxxzxxx2122222121112111njxzxjjniij, 2 , 11(7-15)(7-14)8由由(7-11)和和(7-14)，可得可得njjniizy11(7-16) 這表明就整個國民經(jīng)濟來講，用于非生這表明就整個國民經(jīng)濟來講，用于非生產(chǎn)的消費、積累、儲備和出口等方面產(chǎn)品的產(chǎn)的消費、積累、儲備和出口等方面產(chǎn)品的總價值總價值與整個國民經(jīng)濟與整個國民經(jīng)濟凈產(chǎn)值的總和凈產(chǎn)值的總和相等。相等。9 二、直接消耗系數(shù)二、直接消耗系數(shù)njiaij, 2

6、, 1,定義定義7.2.1 第第j部門生產(chǎn)單位價值所消耗第部門生產(chǎn)單位價值所消耗第i部部 門的價值稱為第門的價值稱為第j部門對第部門對第i部門的部門的直接消耗直接消耗 系數(shù)系數(shù)，記作，記作 。由定義得由定義得njixxajijij, 2 , 1,(7-17)把投入產(chǎn)出表中的各個中間需求把投入產(chǎn)出表中的各個中間需求 換成相應(yīng)換成相應(yīng)的的 后得到的數(shù)表稱為后得到的數(shù)表稱為直接消耗系數(shù)表直接消耗系數(shù)表，并，并稱稱n階矩陣階矩陣 為為直接消耗系數(shù)矩陣直接消耗系數(shù)矩陣。ijxija ijaA10 已知某經(jīng)濟系統(tǒng)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)投入已知某經(jīng)濟系統(tǒng)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)投入產(chǎn)出情況如產(chǎn)出情況如表表7.2，試求直接

7、消耗系數(shù)矩陣。，試求直接消耗系數(shù)矩陣。表表7.2產(chǎn)出投入中間消耗最終需求總產(chǎn)出1 2 3中間投入123100 25 30 80 50 30 40 25 60400250300凈產(chǎn)值總投入400 250 30011解 由直接消耗系數(shù)的定義由直接消耗系數(shù)的定義 ，得直接，得直接 消耗系數(shù)消耗系數(shù)矩陣jijijxxa 20. 010. 010. 010. 020. 020. 010. 010. 025. 0A直接消耗系數(shù)直接消耗系數(shù) 具有下面重具有下面重要性質(zhì)：要性質(zhì)：njiaij, 2 , 1,性質(zhì)性質(zhì)7.2.1 njiaij, 2 , 1,10性質(zhì)性質(zhì)7.2.2 njaniij, 2 , 111

8、12由直接消耗系數(shù)的定義由直接消耗系數(shù)的定義 ，代入，代入(7-17)，得得jijijxax nnnnnnnnnnnxyxaxaxaxyxaxaxaxyxaxaxa2211222222121111212111(7-18)令令 ， (7-18)式可表示為式可表示為 ，或，或nnyyyYxxxX2121,XYAXYXAE(7-19)稱矩陣稱矩陣E-A為為列昂捷夫矩陣列昂捷夫矩陣。13jijijxax 類似地把類似地把 代入平衡方程代入平衡方程(7-14)得到得到nnnnnnnnnnnxzxaxaxaxzxaxaxaxzxaxaxa2211222222112111221111(7-20)寫成矩陣形式

9、為寫成矩陣形式為ZXDEZDXX或(7-21)其中其中nniinniiniizzzZaaaD2111211,diag14定理定理7.2.1 列昂捷夫矩陣列昂捷夫矩陣E-A是可逆的。是可逆的。如果各部門的最終需求如果各部門的最終需求已知，則由定理已知，則由定理7.2.1知，方程知，方程(7-19)存在惟一存在惟一解解 。nyyyY21 設(shè)某工廠有三個車間，在某一個生產(chǎn)周設(shè)某工廠有三個車間，在某一個生產(chǎn)周期內(nèi)各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求期內(nèi)各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求如如表表7.3，求各車間的總產(chǎn)值。，求各車間的總產(chǎn)值。nxxxX2115表表7.3 車間 直耗系數(shù)車間 最終需求0.25

10、 0.1 0.10.2 0.2 0.10.1 0.1 0.2235125210解8 . 01 . 01 . 01 . 08 . 02 . 01 . 01 . 075. 0AE1658. 0085. 01 . 0095. 059. 017. 009. 009. 063. 04455. 011AE35030040021012523558. 0085. 01 . 0095. 059. 017. 009. 009. 063. 04455. 011YAEX即三個車間的總產(chǎn)值分別為即三個車間的總產(chǎn)值分別為400，300，350。17定理定理7.2.2 方程方程(E-D)X=Z的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣E-D是可

11、逆是可逆的。的。證明 因因niinniiniiaaaDE11211111diag由由性質(zhì)性質(zhì)7.2.2知，知， ，故，故njaniij, 2 , 10110111njniijaDE所以所以E-D可逆。可逆。18三、完全消耗系數(shù) 直接消耗系數(shù)只反映各部門間的直接消耗，直接消耗系數(shù)只反映各部門間的直接消耗，不能反映各部門間的間接消耗，為此我們給出不能反映各部門間的間接消耗，為此我們給出如下定義。如下定義。定義定義7.2.2 第第j部門生產(chǎn)單位價值量直接和間部門生產(chǎn)單位價值量直接和間 接消耗的第接消耗的第i部門的價值量總和，稱為第部門的價值量總和，稱為第j部部 門對第門對第i部門的部門的完全消耗系數(shù)

12、完全消耗系數(shù)，記作，記作 。njibij, 2 , 1,19由由 構(gòu)成的構(gòu)成的n階方陣階方陣 稱為各部門間的稱為各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣完全消耗系數(shù)矩陣。ijb ijbB 定理定理7.2.3 第第j部門對第部門對第i部門的完全消耗系數(shù)部門的完全消耗系數(shù) 滿足方程滿足方程ijbnjiababnkkjikijij, 2 , 1,1定理定理7.2.4 設(shè)設(shè)n個個部門的直接消耗系數(shù)矩陣為部門的直接消耗系數(shù)矩陣為 A，完全消耗系數(shù)矩陣為，完全消耗系數(shù)矩陣為B，則有，則有20EAEB1證明 由由定理定理7.2.3知，知，njiababnkkjikijij, 2 , 1,1將將 個等式用矩陣表示為個等式用

13、矩陣表示為2nAAEBBAAB或由由定理定理7.2.1知知(E-A)可逆可逆，故，故1AEAB1AEAEEEAE121 假設(shè)某公司三個生產(chǎn)部門間的報告價值假設(shè)某公司三個生產(chǎn)部門間的報告價值 型投入產(chǎn)出表如型投入產(chǎn)出表如表表7.4，產(chǎn)出投入中間消耗最終需求總產(chǎn)出1 2 3中間投入1231500 0 600 0 610 600 250 1525 36004001840625250030506000表表7.4求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。22解 依次用各部門的總產(chǎn)值去除中間消耗欄中依次用各部門的總產(chǎn)值去除中間消耗欄中各列，得到各列，得到為為6511201061016 .

14、 05 . 01 . 01 . 02 . 001 . 006 . 0A451180104101AE2332208415185271011AE故所求故所求為為EAEB12 . 228 . 04 . 05 . 01 . 08 . 05 . 07 . 1由此例可知，由此例可知，的值比的值比的值要大的多。的值要大的多。24定理定理7.2.5 如果第如果第j部門最終需求增加部門最終需求增加 ，而，而 其他部門的最終需求不變，那么部門總產(chǎn)出其他部門的最終需求不變，那么部門總產(chǎn)出 X的增量為的增量為 jyjjjeByX其中其中jnjjjjnebbbBxxxX,2121為單位坐標向量。為單位坐標向量。證明 由

15、由定理定理7.2.4知知 ，將此，將此 關(guān)系代入方程關(guān)系代入方程(7-19)，得得EAEB125YBYYEBYAEX1由定理假設(shè)，部門最終需求增量由定理假設(shè)，部門最終需求增量jjjeyyY0 , 0 , 0 , 0于是于是jjjjeyeyBYYBXjjjjeyBeyjjjeBy26 定理定理7.2.5表明，由第表明，由第j部門最終需求的增加部門最終需求的增加（其他部門的最終需求不變），引起了各部門（其他部門的最終需求不變），引起了各部門總產(chǎn)值的增加?？偖a(chǎn)值的增加。 從數(shù)量上表示了各從數(shù)量上表示了各部門的增加量。如果沒有這些追加，第部門的增加量。如果沒有這些追加，第j部門要部門要完成增加完成增加

16、 最終需求的任務(wù)就不能實現(xiàn)。最終需求的任務(wù)就不能實現(xiàn)。jjjeByjy如果如果定理定理7.2.5的結(jié)論用分量表示的結(jié)論用分量表示nijiebyjibyxjijjijji, 2 , 1,27特別取特別取 ，則有，則有1jynijibjibxijiji, 2 , 1, 1, 上式的經(jīng)濟意義是，當?shù)谏鲜降慕?jīng)濟意義是，當?shù)趈部門的最終需求部門的最終需求增加一個單位，而其他部門最終需求不變時，增加一個單位，而其他部門最終需求不變時，第第i部門總產(chǎn)值的增加量為部門總產(chǎn)值的增加量為 ，當?shù)?，當?shù)趇部門的最終部門的最終需求增加一個單位而其他部門的最終需求不變需求增加一個單位而其他部門的最終需求不變時，第時，第

17、i部門總產(chǎn)值的增加量為部門總產(chǎn)值的增加量為 。ijb1ijb28若令若令njijibjibcijijij, 2 , 1, 1,用矩陣表示為用矩陣表示為EBC將將 代入上式，則代入上式，則EAEB11AEC29 利用利用例例1中的數(shù)據(jù)，求完全消耗系數(shù)矩陣中的數(shù)據(jù)，求完全消耗系數(shù)矩陣B。解 由由例例1知直接消耗系數(shù)矩陣知直接消耗系數(shù)矩陣20. 010. 010. 010. 020. 020. 010. 010. 025. 0A于是有于是有80. 010. 010. 010. 080. 020. 010. 010. 075. 0AE303019. 11908. 02245. 02132. 03244

18、. 13817. 02020. 02020. 04141. 11AE最后得完全消耗系數(shù)矩陣最后得完全消耗系數(shù)矩陣EAEB13019. 01908. 02245. 02132. 03244. 03817. 02020. 02020. 04141. 031四、投入產(chǎn)出實現(xiàn)模型的簡單應(yīng)用 投入產(chǎn)出法來源于一個經(jīng)濟系統(tǒng)各部門生來源于一個經(jīng)濟系統(tǒng)各部門生產(chǎn)和消耗的實際統(tǒng)計資料。它同時描述了當時產(chǎn)和消耗的實際統(tǒng)計資料。它同時描述了當時各部門之間的投入與產(chǎn)出協(xié)調(diào)關(guān)系，反映了產(chǎn)各部門之間的投入與產(chǎn)出協(xié)調(diào)關(guān)系，反映了產(chǎn)品供應(yīng)與需求的平衡關(guān)系，因而在實際中有廣品供應(yīng)與需求的平衡關(guān)系，因而在實際中有廣泛應(yīng)用。在經(jīng)濟

19、分析方面可以用于結(jié)構(gòu)分析，泛應(yīng)用。在經(jīng)濟分析方面可以用于結(jié)構(gòu)分析，還可以用于編制經(jīng)濟計劃和進行經(jīng)濟調(diào)整等。還可以用于編制經(jīng)濟計劃和進行經(jīng)濟調(diào)整等。 32 編制計劃的一種作法是先規(guī)定各部門計的一種作法是先規(guī)定各部門計劃期的總產(chǎn)量，然后計算出各部門的最終需劃期的總產(chǎn)量，然后計算出各部門的最終需求；另一種作法是確定計劃期各部門的最終求；另一種作法是確定計劃期各部門的最終需求，然后再計算出各部門的總產(chǎn)出。后一需求，然后再計算出各部門的總產(chǎn)出。后一種作法符合以社會需求決定社會產(chǎn)品的原則，種作法符合以社會需求決定社會產(chǎn)品的原則，同時也有利于調(diào)整各部門產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，同時也有利于調(diào)整各部門產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，是

20、一種較合理的作法。是一種較合理的作法。33YAEX1 給定給定價值型投入產(chǎn)出表價值型投入產(chǎn)出表7.5，預(yù)先確定，預(yù)先確定計劃期各部門最終需求如表計劃期各部門最終需求如表7.6。根據(jù)投入產(chǎn)。根據(jù)投入產(chǎn)出表中的數(shù)據(jù)，算出報告期的出表中的數(shù)據(jù)，算出報告期的直接消耗系數(shù)矩陣A。假定計劃期同報告期的直接消耗系數(shù)。假定計劃期同報告期的直接消耗系數(shù)是相同的，因此把是相同的，因此把A作為計劃期的作為計劃期的直接消耗系數(shù)矩陣。再按公式。再按公式 算出總產(chǎn)算出總產(chǎn)出向量出向量X。34 表表7.57.5 （單位：萬元）中間需求消費 積累 合計總產(chǎn)出1 2 3 4 5 6中間投入12345620 10 35 5 15

21、 5 0 0 65 0 0 10 30 20 90 10 15 1010 10 25 5 5 510 15 25 5 5 5 5 20 15 5 5 5110 40 15060 25 85225 80 30515 5 2017 8 2510 5 15240160480809070 表表7.67.6 （單位：萬元）部 門 1 2 3 4 5 6消 費積 累115 62 240 15 18 1150 28 100 7 10 6合 計165 90 340 22 28 1735解 通過數(shù)值計算得到通過數(shù)值計算得到071. 0056. 0063. 0031. 0125. 0021. 0071. 0056

22、. 0063. 0052. 0094. 0042. 0071. 0056. 0063. 0052. 0063. 0042. 0143. 0167. 0125. 0188. 0125. 0125. 0143. 000. 000. 0135. 000. 000. 0071. 0167. 0063. 0073. 0063. 0083. 0A36135. 1097. 0098. 0088. 0172. 0074. 0138. 0107. 1104. 0114. 0147. 0074. 0132. 0105. 0102. 1108. 0114. 0073. 0305. 0307. 0234. 0341.

23、 1263. 0215. 0203. 0055. 0046. 0194. 0060. 1036. 0160. 0245. 0124. 0155. 0142. 0132. 11AEYAEX1由由 得出總產(chǎn)出向量得出總產(chǎn)出向量322.77830.99453.88014.534303.173568.264X37這樣得到各部門在計劃期的總產(chǎn)出依次是這樣得到各部門在計劃期的總產(chǎn)出依次是(萬元萬元)：.322.77,830.99,453.88,014.534,303.173,568.264如果各部都能完成計劃期的上述總產(chǎn)出值，那如果各部都能完成計劃期的上述總產(chǎn)出值，那么就能保證完成各部門最終需求的計劃任務(wù)

24、。么就能保證完成各部門最終需求的計劃任務(wù)。 在求出了各部門總產(chǎn)出在求出了各部門總產(chǎn)出 之之后，根據(jù)公式后，根據(jù)公式 可計算可計算各部門間應(yīng)提多少中間需求各部門間應(yīng)提多少中間需求 。具體數(shù)值表如。具體數(shù)值表如表表7.77.7。6 , 2 , 1ixi6 , 2 , 1,jixaxjijijijx38部部 門門1 2 3 4 5 6合合 計計123456合合 計計表表7.77.749. 559. 557. 555.1666.2156. 549. 559. 557. 577.2729.1611.1149. 559. 557. 577.2709.1011.1106.1167.1606.1139.116

25、6.2107.3306.1100. 000. 009.7200. 000. 049. 564.1657. 598.3892.1096.2108.4408.5035.3355.28345.8181.8242.6082.7146.6691.19315.8356.9939 某地有三個產(chǎn)業(yè)，一個煤礦，一個發(fā)電某地有三個產(chǎn)業(yè)，一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.250.25元的電費及元的電費及0.250.25元的運輸費元的運輸費; ; 生產(chǎn)一元錢生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付的電力，發(fā)電廠要支付0.650.65元的煤費，元的煤費，0.050.05元元的電費及的電費及0.050.05元的運輸費元的運輸費; ; 創(chuàng)收一元錢的運輸創(chuàng)收一元錢的運輸費費, ,鐵路要支付鐵路要支付0.550.55元的煤費和元的煤費和0.100.10元的電元的電費，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額費，