概率論 第三版 龍永紅第二章習(xí)題及答案

1、第二章 練習(xí)題（解答）一、填空題：1設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：f(x)= 則用Y表示對X的3次獨(dú)立重復(fù)的觀察中事件(X)出現(xiàn)的次數(shù)，則P（Y2） 。解：ax+b 0<x<10 其他2. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：f (x) =且EX，則a = _-2_， b = _2_。3. 已知隨機(jī)變量X在 10，22 上服從均勻分布，則EX= 16 ，DX= 12 4.設(shè) 5. 已知X的密度為 且P（）=P() ， 則= , b = 聯(lián)立解得：6若f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度，則1。7. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則P（=0.8）= 0 ；= 0.99 。8. 某型號電子管，

2、其壽命（以小時記）為一隨機(jī)變量，概率密度，某一個電子設(shè)備內(nèi)配有3個這樣的電子管，則電子管使用150小時都不需要更換的概率為8/27。 (x)= x100 0 其它P（150）=1F(150)=1P(150)3=()3=9. 設(shè)隨機(jī)變量X服從B（n, p）分布，已知EX1.6，DX1.28，則參數(shù)n_，P_。EX = np = 1.6DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.210. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為（2，P）的二項分布，服從參數(shù)為（4，P）的二項分布，若P（1），則P（1）65/81。 解： 11. 隨機(jī)變量XN（2， 2），且P（2X4）=0.3，則P（X0）=

3、0.2 12. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望E（xe2x）= _4/3_ 13. 已知離散型隨機(jī)變量x服從參數(shù)為2的泊松分布，則隨機(jī)變量z = 3x2的期望E (z)3EX-2=3x2-2=4 。 14設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為的泊松分布，且P ( x = 1) = P ( x=2 ) 則E (x) = _2_. D (x) = _2_ 15. 若隨機(jī)變量服從參數(shù)=0.05的指數(shù)分布，則其概率密度函數(shù)為： ；E= 20 ；D= 400 。 16. 設(shè)某動物從出生活到10歲以上的概率為0.7，活到15歲以上的概率為0.2，則現(xiàn)齡為10歲的這種動物活到15歲以上的概率為17. 某一電

4、話站為300個用戶服務(wù)，在一小時內(nèi)每一用戶使用電話的概率為0.01，則在一小時內(nèi)有4個用戶使用電話的概率為 P3(4)=0.168031 解:一小時內(nèi)使用電話的用戶數(shù)服從的泊松分布18 通常在n比較大，p很小時，用 泊松分布 近似代替二項分布的公式，其期望為 ，方差為 19xN（，），P(x5) 0.045，p(x3) 0.618，則1.8，4。 二、單項選擇： 1、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為： 則使P(x>a)=P(x<a)成立的常數(shù)a = ( A ) ABCD12設(shè)F1（X）與F2（X）分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù)，為使F（X）aF1(x)bF2(x)是某一隨機(jī)變量的分布函

5、數(shù)，在下列給它的各組值中應(yīng)?。?A ） Aa=, b =Ba=, b=Ca=, b=Da=, b=F(+)=a F1 (+)-BF2 (+)=13. 已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F（x）= A + B arctgx ，則：（ B ）A、A= B= B、A= B= C、 A= B= D、A= B= 本題為課堂例題 4. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X僅取兩個可能值X1和X2，而且X1< X2，X取值X1的概率為0.6，又已知E（X）1.4，D（X）0.24，則X的分布律為（ ） A.x01B.x12p0.60.4p0.60.4C.xnn+1D.xabp0.60.4p0.60.4 1.4=EX=0.6X1+

6、0.4X2 DX=EX2-(EX)20.24=0.6X12 +0.4X22 -1.42聯(lián)系、解得X1=1，X2=25現(xiàn)有10張獎券，其中8張為2元，2張為5元，今某人從中隨機(jī)地?zé)o放回取3張，則此人得獎金額的數(shù)學(xué)期望為（ ）A6元B12元C7.8元D9元設(shè)表示得獎金額，則其分布律為： 6 9 12 P 故期望值為： 7.86. 隨機(jī)變量X的概率分布是： X 1 2 3 4 P a b 則：（ D ）A、a=, b= B、a=, b= C、a=, b= D、a=, b= 7. 下列可作為密度函數(shù)的是：（ B ） A、 B、 C、 D、 依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)行判斷得出：B為正確答案8. 設(shè)X的概率

7、密度為，其分布函數(shù)F（），則（ D ）成立。 A、P（ B、 C、P D、P9. 如果，而 ，則P（X）=（ C ） A、 B、 C、0.875 D、 解: 10. 若隨機(jī)變量X的可能取值充滿區(qū)間，那么Sinx可以作為一個隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。（ B ） A0，B0.5, C0, 1.5D, 1.5解: 依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)行判斷得出：B為正確答案11. 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為5%，每天從生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽5個檢驗，記X為出現(xiàn)次品的個數(shù)，則EX （ D） A0.75B0.2375C0.487D0.25 此題X服從二項分布12. 設(shè)X服從二項分布，若（n1）P不是整數(shù)，則K取何值時，P（XK）最

8、大？（ D ）AK（n1）PBK（n1）PiCKnPDK（n1）P 13設(shè)X服從泊松分布，若不是整數(shù)，則K取何值時，P（XK）最大？（B）ABC1D114. ，Y=2X1，則Y（ C ） A、N（0，1） B、N（1，4） C、N（-1，4） D、N（-1，3） 15. 已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則其標(biāo)準(zhǔn)差為： （ C ） A2B1/4C1/2D 隨機(jī)變量的參數(shù)為2，即方差為1/4，標(biāo)準(zhǔn)差則為1/2 16當(dāng)滿足下列（ D ）條件時，二項分布以正態(tài)分布為極限分布更準(zhǔn)確。 AnBCD17. 設(shè),已知，則和的概率分別為 C A. 0.0228 , 0.1587 B. 0.3413 , 0

9、.4772 C. 0.1587 , 0.0228 D. 0.8413 , 0.97725三、計算題： 1. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：A+B=3f(x) = AX 0X1 BX 1X20 其它試求：（1）常數(shù)A、B。 （2）分布函數(shù)F（X） （3）P（）解：（1）由f(x)為連續(xù)的同時： ，又A+B=3解得：A=1，B=2 （2） 當(dāng) （3）2. 設(shè)已知X= ，求： P（） 解： 3. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為： ax 0<x<2 f(x)= cx + b 2x40 其他 已知 EX2， P（1<X<3），求a、b、c的值解：（1） （2） 4假定在國際市場上每年對我國

10、出口商品的需求量是隨機(jī)變量X（單位：t），已知X服從2000,4000上的均勻分布，設(shè)每出售這種商品1t，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積于倉庫，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元，問應(yīng)組織多少貨源，才能使國家的平均收益最大？解：Y：每年該商品的出口量，R：收益， X：需求量 y=3500時，利益最大5 設(shè)某種商品每周的需求量X服從區(qū)間 10，30上均勻分布，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨量為 10，30 中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時一單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤期望值不少于9280元

11、，試確定最小進(jìn)貨量？ 解：設(shè)進(jìn)貨量為a, 則利潤為： 即：-7.52+350+52509280 解得：2026 取得小=21 上式： 6. 某高級鏡片制造廠試制成功新鏡頭，準(zhǔn)備出口試銷，廠方的檢測設(shè)備與國外的檢測設(shè)備仍有一定的差距，為此，廠方面臨一個決策問題： 直接進(jìn)口， 租用設(shè)備， 與外商合資。不同的經(jīng)營方式所需的固定成本和每件的可變成本如表： 自制 進(jìn)口 租賃 合資 固定成本（萬元） 120 40 64 200 每件可變成本（元） 60 100 80 40已知產(chǎn)品出口價為200元/件，如果暢銷可銷3.5萬件，中等可銷2.5萬件，滯銷只售0.8萬件，按以往經(jīng)驗，暢銷的可能性為0.2，中等的為

12、0.7，滯銷的為0.1，請為該廠作出最優(yōu)決策。 解：設(shè) 銷量 ， ， ， ， 為最優(yōu)方案，即租用設(shè)備。 7. 某書店希望訂購最新出版的好書，根據(jù)以往的經(jīng)驗，新書銷售量規(guī)律如下： 需求量（本）50100150200概 率20%40%30%10% 假定每本新書的訂購價為4元，銷售價為6元，剩書的處理價為2元，試確定該書店訂購新書的數(shù)量。解：列收益表： 訂 需求量Y 收益50 100 150 200 概率y1 50 y2 100y3 150y4 2000.2 0.4 0.3 0.1100 100 100 100 0 200 200 200-100 100 300 300 -200 0 200 400

13、 故訂100本較合理。 8. 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率是 已知EX0.5，DX0.15，求系數(shù)a, b, c。解： 解方程組得： 9. 五件商品中有兩件次品，從中任取三件。設(shè)為取到的次品數(shù)，求的分布律、數(shù)學(xué)期望和方差。 解：的分布律為0 1 2P1/10 6/10 3/10E= 1.2 ；D= 0.36 10. 某次抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績72分，96分的以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60至84分之間的概率。 解： XN（72, 2） s即： 11. 假設(shè)一電路有3個不同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障工作時間都服從參數(shù)為&

14、gt; 0的指數(shù)分布，當(dāng)三包元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不能正常工作，試求電路正常工作的時間的概率分布。解：設(shè)Xi表示第i個電氣之元件無故障工作的時間，i=1,2,3,則X1X2X3獨(dú)立且同分布，分布函數(shù)為：設(shè)G（t）是T的分布函數(shù)。當(dāng)t0時，G（t）=0t>0時，G（t）=P(Tt)=1-P(T>t) =1-P(X1>t,X2>tX3>t) =1-P(X1>t)P(X 2>t)p(X3>t) =1-P(X>t)3=1-1-F(t)3 =1-e -12. 設(shè)從一批材料中任取一件測出這種材料的強(qiáng)度XN（200，18），求： 取出

15、的該材料的強(qiáng)度不低于180的概率； 若某項工程要求所用的材料強(qiáng)度要以99%的概率保證不低于150，問這批材料是否合乎要求？解： 大于0.99，故這批材料合要求。13. 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.1，抽取20件產(chǎn)品，初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品，則這20件產(chǎn)品中，廢品不少于3件的概率為多大？ 解： =“20件產(chǎn)品中廢品數(shù)目” “初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品”=“2” “廢品數(shù)不少于3件”=“ 3” p=0.1 q=0.9 n=20. 14. 某公司作信件廣告，依以往經(jīng)驗每送出100封可收到一家定貨。茲就80個城市中的每一城市發(fā)出200封信。求（1）無一家定貨的城市數(shù)；（2）有三家定貨的城市數(shù)。解：設(shè)發(fā)出200封信后有家定貨，則B（200，0.01）近似服從參數(shù)為=2的泊松分布P（=0）0.1353 ，P（=3）0.1804（1） 無一家定貨的城市