有關(guān)公理化思想

1、公理化思想與歐幾里德所謂公理化方法（或公理方法） ，就是從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和 一組不證自明的命題 （基本命題）出發(fā)， 利用純邏輯推理法則，把一門數(shù)學(xué)建立成為演繹系 統(tǒng)的一種方法。 所謂基本概念和公理， 當(dāng)然必須反映數(shù)學(xué)實體對象的最單純的本質(zhì)和客觀關(guān) 系，而并非人們自由意志的隨意創(chuàng)造。如所共知， 希爾伯特 1899 年出版的 幾何學(xué)基礎(chǔ) 一書是近代數(shù)學(xué)公理化的典范著作。 該書問世后的二、 三十年間曾引起西方數(shù)學(xué)界的一陣公理熱， 足見其影響之大。 希爾伯特的 幾何公理系統(tǒng)實際是在前人的一系列工作成果基礎(chǔ)上總結(jié)出來的， 書中的公理條目也曾屢經(jīng) 修改。直到 1930 年出第七版時

2、，還作了最后修改。這說明一門學(xué)科的公理化未必是一次完 成的，公理化過程可以是包含一些發(fā)展階段的。談到數(shù)學(xué)公理化的作用， 至少可以舉出如下三點： （ 1）這種方法具有分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知 識的作用。 凡取得了公理化結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)， 由于定理與命題均已按照邏輯演繹關(guān)系串聯(lián)起 來，故使用起來也較方便。 （ 2）公理化方法把一門數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)分析得清清楚楚，這就有利于 比較各門數(shù)學(xué)的實質(zhì)性異同， 并能促進和推動新理論的創(chuàng)立。 （3）數(shù)學(xué)公理化方法在科學(xué)方 法論上有示范作用。 這種方法對現(xiàn)代理論力學(xué)及各門自然科學(xué)理論的表述方法都起到了積極 的借鑒作用。例如，20世紀四十年代波蘭的巴拿赫（Banach）曾完成了理

3、論力學(xué)的公理化； 物理學(xué)家還把相對論表述為公理化形式，等等。公理化方法的歷史發(fā)展，大致可分成三個階段： 一是公理方法的產(chǎn)生階段， 大約在公元前三世紀， 希臘的哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德（ Aristotle ）總結(jié)了古代積累起來的邏輯知識，以演繹證明的科學(xué)（主要是數(shù)學(xué)）為實例， 把完全三段論作為公理， 由此推導(dǎo)出別的所有三段論 （共分了十九個格式） 。因此可以認為， 亞里士多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統(tǒng)。亞里士多德的思想方法深深地影響了公元前三世紀的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得，后者把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作幾何原本。歐幾里得從古代的量地術(shù)和關(guān)于幾何形體的

4、原始直觀中， 用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和 公理。他總結(jié)概括出 14個基本命題，其中有 5 個公設(shè)和 9條公理。由此出發(fā)，他運用演繹 方法將當(dāng)時所知的幾何知識全部推導(dǎo)出來，這便是古代數(shù)學(xué)公理方法的一個輝煌成就。幾何原本 的問世標(biāo)志了數(shù)學(xué)領(lǐng)域中公理方法的誕生。 它的貢獻不在于發(fā)現(xiàn)了幾條新 定理，而主要在于它把幾何學(xué)知識按公理系統(tǒng)的方式妥切安排，使得反映各項幾何事實的公理和定理都能用論證串聯(lián)起來，組成了一個井井有條的有機整體。二是公理方法的完善階段， 如所知， 歐氏幾何的公理系統(tǒng)是不完善的， 其主要的不足之 處可以概括為： （1）有些定義是不自足的， 亦即往往使用一些未加定義的概念去對別的

5、概念 下定義。（ 2）有些定義時多余的，略去它毫不影響往后的演繹和展開。（ 3）有些定理的證明過程往往依賴于圖形的直觀。另一方面， 由于第五公設(shè) （即平行線公理）在陳述與內(nèi)容上的復(fù)雜和累贅， 古代學(xué)者們 早就懷疑地指出， 第五公設(shè)是不是多余的， 它能否從其他公設(shè)、 公理中邏輯地推導(dǎo)出來？而 且進一步認為， 歐幾里得之所以把它作為公設(shè)， 只是因為他未能給出這一命題的證明。 因而， 學(xué)者們紛紛致力于證明第五公設(shè)。 但是所有試證第五公設(shè)的努力均歸于失敗， 在這些失敗之 中唯一引出的正面結(jié)果便是一串與第五公設(shè)相等價的命題被發(fā)現(xiàn)?；趦汕Ф嗄陙碓谧C明第五公設(shè)的征途上屢遭失敗的教訓(xùn)。十九世紀俄國年輕數(shù)學(xué)家

6、Jlo causbcknn產(chǎn)生了與前人完全不同的信念：首先，認為第五公設(shè)不能以其他的幾何公理作 為定理來證明； 其次， 除掉第五公設(shè)成立的歐幾里得幾何之外， 還可以有第五公設(shè)不成立的 新幾何系統(tǒng)存在。 于是， 他在剔除第五公設(shè)而保留幾何其余公理的前提下引進了一個相反于 第五公設(shè)的公理： “過平面上一已知直線外的一點至少可以引進兩條直線與該已知直線平行"。這樣，Jlo causbcknn在與前人完全不同的思想方法基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個新的幾何系統(tǒng)，它與歐幾里得幾何系統(tǒng)相并列。 后來， 人們又證明了這兩個部分地相互矛盾的幾何系統(tǒng)竟是相 對相容的， 亦即假定其中之一無矛盾，則另一個必定無矛盾。

7、如此，只要這兩個系統(tǒng)是無矛 盾的，第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理就必定獨立無關(guān)?，F(xiàn)在人們就用Jlodausbcknn的名字對這一新幾何命名， 并把一切不同于歐氏幾何公理系統(tǒng)的幾何系統(tǒng)統(tǒng)稱為非歐幾何。應(yīng)當(dāng)指出，獨力地發(fā)現(xiàn)這個新幾何的還有大數(shù)學(xué)家高斯和青年大學(xué)生Bolyai 。但是高斯由于害怕學(xué)術(shù)界頑固守舊勢力的攻擊而始終不敢公開發(fā)表他的結(jié)果。非歐幾何學(xué)中的一系列命題都和人們的樸素直觀不相符合。這是它在開創(chuàng)階段之所以遭受人們冷嘲熱諷的重要原因。 但是， 這種背離直觀的幾何學(xué)在邏輯系統(tǒng)內(nèi)沒有矛盾， 演繹論 證的嚴格性也是無懈可擊的。事實上，非歐幾何給人們開拓了“空間”的概念（如所知，非 歐幾何的重要分

8、支“黎曼幾何”在愛因斯坦 1915 年創(chuàng)立“廣義相對論”后，已得到了證實 和應(yīng)用）。非歐幾何的產(chǎn)生，不僅為公理化方法進一步奠定了基礎(chǔ)，而且為公理方法可以推 廣和建立新的數(shù)學(xué)理論提供了依據(jù)。非歐幾何的創(chuàng)立大大地提高了公理方法的信譽。 接著便有許多數(shù)學(xué)家致力于公理方法的 研究。例如，18711872年間德國數(shù)學(xué)家康托（Can tor）與戴德金（Dedeki nd ）不約而同地 擬成了連續(xù)性公理。德國數(shù)學(xué)家巴許（Pasch）在1882年擬成了順序公理。正是在這樣的基礎(chǔ)上，希爾伯特于 1899 年發(fā)表了幾何學(xué)基礎(chǔ)一書，終于解決了歐氏幾何的欠缺問題， 完善了幾何學(xué)的公理化方法。此書也就成為近代公理化思想

9、的代表作。三是公理方法的形式化階段，歐氏幾何原本 表現(xiàn)的公理化可稱之為“實體公理化” ， 因為在這樣的公理系統(tǒng)中，概念直接反映著數(shù)學(xué)實體的性質(zhì)，而且那些概念、定義、公理和論證的表述往往束縛于直覺觀念的指導(dǎo)。 但在希爾伯特于其 幾何學(xué)基礎(chǔ) 一書中對歐氏系 統(tǒng)加以完善化以后， 不僅在公理的表述或定理的論證中擺脫了空間觀念的直覺成分，而且給出和奠定了對一系列幾何對象及其關(guān)系進行更高一級抽象的可能性和基礎(chǔ)。就是說， 人們可以在高度抽象的意義下給出公理系統(tǒng)， 只要能滿足系統(tǒng)中諸公理的要求， 就可以使得該公理 系統(tǒng)所設(shè)計的對象是任何事物， 并且在公理中表述事物或?qū)ο笾g的關(guān)系時， 也可以具有其 具體意義的

10、任意性。這樣，自從幾何學(xué)基礎(chǔ)問世之后，不僅公理化方法進入數(shù)學(xué)的各個 分支，而且把公理化方法本身推向了形式化的階段。后來， 公理化方法形式化之所以能取得成功， 在很大程度上得力于康托創(chuàng)始的抽象集合 論。如果沒有 集合論思想方法和數(shù)理邏輯學(xué) 的近代發(fā)展， 形式公理化方法也不可能獲得新的 進展。如所知，希爾伯特后來從事“元數(shù)學(xué)”即“證明論”的研究，又把公理方法推向一個 新的階段， 即純形式化階段。 其基本思想就是采用符號語言把一個數(shù)學(xué)理論的全部命題變成 公式的集合，然后證明這個公式的集合是無矛盾的。詳言之，在這個集合中凡定義、公理及定理均寫成公式的形狀， 而定理的證明步驟也無非是一串符號公式作成的系

11、統(tǒng)，系統(tǒng)中的最后一式即所要證明的結(jié)論。 形式化公理方法不僅推動著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究， 而且還推動著現(xiàn)代算 法論研究，從而為數(shù)學(xué)應(yīng)用于電子計算機等現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開辟了新的前景。如前所述， 數(shù)學(xué)公理化的目的就是要把一門數(shù)學(xué)表述為一個演繹系統(tǒng)。這個系統(tǒng)的出發(fā)點就是一組基本概念和公理。 因此， 如何引進基本概念和確立一組公理便是運用公理化方法 的關(guān)鍵，也即這種方法的基本內(nèi)容。基本概念既是不加定義的概念， 它們就必須是真正基本的， 而無法用更原始更簡單的概 念去界定的概念。 換言之， 基本概念應(yīng)該是最原始最簡單的思想規(guī)定， 它們必須是對數(shù)學(xué)實 體的高度純化的抽象。當(dāng)基本概念確定以后，重要的問題是如何設(shè)置公理的問

12、題。公理是對諸基本概念 （例如基本元素、基本關(guān)系等概念）相互關(guān)系的規(guī)定。 這些規(guī)定必須是必要的、合理的。詳細說來，公理的選取和設(shè)置必須符合三條要求：一是協(xié)調(diào)性要求， 協(xié)調(diào)性又稱無矛盾性或相容性。 這一要求是指在公理系統(tǒng)內(nèi)，不允許同時能證明某一定理及其否定定理。反之，如果能從該定理系統(tǒng)導(dǎo)出命題A和否命題“非 A”（記作円A ），貝U A與円A的并存便稱之為矛盾。因此，無矛盾性要求是對公理系統(tǒng)的一個基本要求。二是獨立性要求， 這就是要求公理的數(shù)目減少到最低限度， 不容許公理集合中出現(xiàn)多余的公理， 因為 多余的公理總可作為定理推證出來， 又何必再把它列為公理呢？三是關(guān)于公理系統(tǒng)的完備性 要求， 這就

13、是要確保從公理系統(tǒng)能推導(dǎo)出所論數(shù)學(xué)某分支的全部命題。因此， 必要的公理不能省略，否貝將得不到由它所能推得的結(jié)果。一般說來， 當(dāng)一個公理系統(tǒng)滿足上述三條要求時， 即可認為是令人滿意的系統(tǒng)了， 但針 對一個較復(fù)雜的公理系統(tǒng)要逐一驗證三條要求， 卻并不是輕而易舉的事， 甚至至今不能徹底 實現(xiàn)。 例如， 我們所熟知的幾何學(xué)公理系統(tǒng)， 至今還只能在相對相容的意義下來討論它的無 矛盾性等等。通常把由一組原始概念和公理刻劃的數(shù)學(xué)理論稱為一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)，而一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相容性問題就是指刻劃它的那個公理系統(tǒng)的相容性問題。關(guān)于相容性證明這一概念的產(chǎn)生和歷史發(fā)展的背景這樣的， 自從羅巴切夫斯基幾何誕生 后，由于羅氏平

14、行公理是如此地為常識所不容， 這才激起了人們對于數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無矛盾性證 明的興趣和重視。 雖然在羅氏公理系統(tǒng)的展開中一直沒有出現(xiàn)矛盾， 卻不能保證它在今后的 發(fā)展中一定不出矛盾。 后來， 龐卡萊在歐氏系統(tǒng)中構(gòu)造了一個羅氏幾何的模型， 亦即在歐氏 平面上劃一條直線 a 而使之分為上、 下兩個半平面， 把不包括這條直線在內(nèi)的上半平面作為 羅氏平面， 其上的歐氏點當(dāng)作羅氏幾何的點， 把以該直線上任一點為中心， 任意長為半徑所 作出之半圓周算作是羅氏幾何的直線， 然后對如此規(guī)定了的羅氏幾何元素一一驗證羅氏幾何 諸公理全部成立。通過龐卡萊模型，羅氏系統(tǒng)的相容性證明化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明， 這種把一個公

15、理系統(tǒng)的相容性證明化歸為另一個看上去比較可靠的公理系統(tǒng)的相容性證明， 或者說依靠某一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無矛盾性來保證另一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性叫做數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相 對相容性證明。 但是， 人們本來對于歐氏系統(tǒng)的相容性沒有懷疑過， 卻因羅氏系統(tǒng)的相容性 要有歐氏系統(tǒng)的相容性來保證， 從而導(dǎo)致對歐氏系統(tǒng)相容性的重重疑慮。 人們還在羅氏系統(tǒng) 的展開中發(fā)現(xiàn)， 羅氏幾何空間中的極限球面上也可構(gòu)造歐氏模型，亦即歐氏幾何的全部公理能在羅氏的極限球上實現(xiàn)， 這樣歐氏幾何的相容性又可由羅氏幾何的相容性來保證。這說明歐氏與羅氏的公理系統(tǒng)雖然不同， 但卻是相對相容或互為相容的。 人們當(dāng)然不滿足于兩者互 相之間的相對相容證明， 因

16、為看上去較為合理的歐氏系統(tǒng)的無矛盾性竟要由看上去很不合理 的羅氏系統(tǒng)來保證， 這是難以令人滿意的。因此， 必須重新尋求歐氏系統(tǒng)的相容性證明。由 于那時已經(jīng)有了解析幾何， 等于在實數(shù)系統(tǒng)中構(gòu)造了一個歐氏幾何的模型， 這就把羅氏系統(tǒng) 的相容性進一步歸結(jié)到了實數(shù)論的相容性， 但實數(shù)論的相容性如何？這樣的歸結(jié)和體溫永遠 不會完結(jié)。Dedekind把實數(shù)論的無矛盾性歸結(jié)到了自然數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性，而Frege又把自然數(shù)系統(tǒng)的相容性歸結(jié)為集合論的無矛盾性。 然而， 集合論的無矛盾性又如何？至今還是個 迷，以致公理系統(tǒng)的這種相對相容性證明至今還是一場空。希爾伯特早就提出， 不能依靠相對相容性證明來解決問題，而

17、應(yīng)該搞直接的相容性證明。固然希爾伯特的幾何公理系統(tǒng)從純邏輯 觀點看尚未徹底解決協(xié)調(diào)性問題， 但只要明確引入自然數(shù)無矛盾的基本假設(shè)作為公設(shè)之 后，該公理系統(tǒng)在相對意義下的無矛盾性就獲得保證了。人們在理性思維上總是習(xí)慣于希望通過邏輯推理證明一切，豈知某些具有 “無限性” 飛躍結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)往往越出有限步邏輯推理判斷的范圍之外。因此，如果懂得點概念思維的辯證法，也就能夠較自覺地去識別并避免徒勞無功的嘗試了。最后，值得說明一下，正因為希爾伯特幾何公理系統(tǒng)中的點、線、面、位于、通過等名 詞都無非是一批抽象元素及其關(guān)系的代名詞， 因此對它們可以賦予各種各樣的具體解釋。 如 果把它們解釋作古典歐氏幾何 （平面幾何與立體幾何） 中的對象， 貝得到二維及三維歐氏幾 何。特別， 如果我們把公理中的點與直線分別反過來解釋成普通歐氏幾何中的直線與點， 便 可得