多臺設(shè)備同時故障的最優(yōu)維修次序

1、數(shù)學(xué)建摸競賽論文題目：多臺設(shè)備同時故障的最優(yōu)維修次序 參賽人1： 姓名 xxx 學(xué)院 自動化與電氣工程學(xué)院 班級 電氣071班 參賽人2： 姓名 xxx 學(xué)院 自動化與電氣工程學(xué)院 班級 電氣071班 參賽人3： 姓名 xxx 學(xué)院 交通運(yùn)輸學(xué)院 班級 物流082班 論文編號： 多臺設(shè)備同時故障的最優(yōu)維修次序摘要本文是關(guān)于降低企業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)濟(jì)損失的設(shè)計(jì)問題，即在生產(chǎn)中多臺設(shè)備發(fā)生故障時的維修次序的優(yōu)化，在同樣的維修條件下，將經(jīng)濟(jì)損失降到最低。此題涉及到計(jì)算最小損失的問題，因此本文將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)組的形式，利用代數(shù)運(yùn)算求得最小值建立的數(shù)學(xué)模型。模型的建立是基于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式來求解，然

2、而復(fù)雜的代數(shù)式卻不能直接計(jì)算出所需結(jié)果，所以進(jìn)一步利用代數(shù)式化簡，將其轉(zhuǎn)換成分步比較的形式，觀察怎樣更接近實(shí)際問題所需要的結(jié)果。經(jīng)過分步比較得出最優(yōu)值，然后驗(yàn)證最優(yōu)值的合理性，若合理，則經(jīng)過分步比較所得的最優(yōu)值就是實(shí)際問題中所需要的結(jié)果。在建立此模型后，定義，經(jīng)過計(jì)算證明，當(dāng)Cn越小時，對應(yīng)的設(shè)備維修次序越靠前，因此計(jì)算出所有設(shè)備的Cn值，然后由小到大排列，對應(yīng)的設(shè)備排序就是最優(yōu)排序。題目中七臺設(shè)備的維修時間以及單位時間內(nèi)損失金額都已知，所以可以計(jì)算出Cn，然后從小到大排序，從而得出最優(yōu)的維修順序?yàn)椋?，5，6，3，1，4，7；最小經(jīng)濟(jì)損失為199.9萬元。在兩人維修的情況下，將設(shè)備分為兩組，

3、若維修次序最優(yōu)，則每組設(shè)備依然遵守Cn<Cn+1(n=1,2,3)，再將兩組間設(shè)備互換或者移動，然后經(jīng)過互換或者移動前后的對比就能使其更接近最優(yōu)排序，但依然不能確定其為最優(yōu)排序，利用將一臺設(shè)備分割為多臺設(shè)備的方法將其計(jì)算簡化，然后確定其將時間分段后的關(guān)系，各時間段的設(shè)備滿足Cn<Cn+1(n=1,2,3)，由此進(jìn)行排序。經(jīng)過分析推理，可以證明無論維修設(shè)備的數(shù)量有多少，一人維修的情況下最優(yōu)排序依然遵守Cn<Cn+1(n=1,2,3)，因此最優(yōu)維修次序都會計(jì)算出來。多臺設(shè)備同時故障的最優(yōu)維修次序1 問題的提出在企業(yè)生產(chǎn)中避免不了因生產(chǎn)設(shè)備的故障而造成的經(jīng)濟(jì)損失，為了將經(jīng)濟(jì)損失降到

4、最低程度，要求及時地對故障設(shè)備進(jìn)行維修，使其盡快地投入生產(chǎn)，但如果發(fā)生多臺設(shè)備同時出現(xiàn)故障時，由于維修工人的數(shù)量有限，就只能按照一定的次序進(jìn)行維修，由于不同設(shè)備停工給企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失不同，維修所需的時間也不同，所以設(shè)備的維修次序就很重要。不同的維修次序?qū)ζ髽I(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失是不同的。因此，如果出現(xiàn)多臺設(shè)備同時發(fā)生故障，維修工人的數(shù)量少于受損設(shè)備數(shù)量時，就要尋求一種最優(yōu)的維修次序，把企業(yè)的經(jīng)濟(jì)損失降到最低。現(xiàn)有七臺設(shè)備需要維修，分別求解在一人維修和兩人維修的最優(yōu)排序，并且將設(shè)備增加到n臺時，求在一人維修情況下的最優(yōu)排序。2 問題的分析在一名工人維修的情況下，盡可能地先維修單位時間內(nèi)損失較大的設(shè)備

5、，但由于維修的時間不等，維修單位時間內(nèi)損失較大的設(shè)備可能會需要大量的時間，因此需要進(jìn)一步的考慮。不妨嘗試將排序相鄰的設(shè)備進(jìn)行順序?qū)Q，若對換后的損失少于對換前，則將兩設(shè)備對換，否則不對換，這樣就使兩設(shè)備在相鄰情況下有最優(yōu)排序，現(xiàn)將每兩相鄰設(shè)備的對換前后進(jìn)行對比，使得它們的排序最優(yōu)，直到所有相鄰設(shè)備之間的排序都達(dá)到最優(yōu)，此時觀察和分析對換所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系，討論能否再進(jìn)行某種對換，如果不能，則所得的排序就是最優(yōu)的維修次序。在分析對換滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系時，不難發(fā)現(xiàn)兩相鄰設(shè)備的存在一定的關(guān)系，因此我們令Cn=( ALn為第Ln個維修設(shè)備的所需維修時間，BLn第Ln個維修設(shè)備停工一小時所造成的損失)，利用它

6、進(jìn)行分析求解。另外，一人維修的情況下可已將一臺設(shè)備分割為多臺設(shè)備來維修，兩者所得的差值可以計(jì)算出，因此在計(jì)算兩人維修的情況下，可以將設(shè)備分割成多個設(shè)備進(jìn)行計(jì)算，這樣便簡化了計(jì)算難度。3 模型假設(shè)與符號假設(shè)(1)每臺設(shè)備在預(yù)定的時間內(nèi)恰好完成維修；(2)每臺設(shè)備在維修完畢后都能正常運(yùn)行；(3)當(dāng)一臺設(shè)備維修完畢后，立即維修下一臺設(shè)備。Ln：維修次序的編號ALn：第Ln個維修設(shè)備的所需維修時間BLn：第Ln個維修設(shè)備停工一小時所造成的損失4 模型的建立每臺設(shè)備所需維修時間，以及停工每小時造成的損失已知，因此利用它們的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算。首先將各數(shù)值轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式，即各設(shè)備的維修時間用正數(shù)集合A表示，各

7、設(shè)備停工單位時間所造成的損失金額用正數(shù)集合B表示，因此有A=a1，a2，a3a7和B=b1，b2，b3b7，A中的元素與B中的元素一一對應(yīng)，即an與bn相對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系如表1所示：列號L1L2L3L4L5L6L7Aa1a2a3a4a5a6a7Bb1b2b3b4b5b6b7表1表1中AL1 =a1，BL1 =b1，第一臺設(shè)備的損失就為：AL1 BL1= a1 b1，在維修第一臺設(shè)備這段時間內(nèi)，各設(shè)備的損失總和為AL1(BL1+BL2+BL7)，因此在整個維修過程中各設(shè)備總損失為AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7，要解決設(shè)備的排序問題，就要求保持所有

8、的an與bn對應(yīng)關(guān)系不變，將數(shù)組A和數(shù)組B中的元素重新排序，使得S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7的值最小，此時的排列次序就是所要求解的設(shè)備最優(yōu)排列次序。5 模型的簡化與求解將問題轉(zhuǎn)換為求S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7的最小值，所得排列數(shù)組A和數(shù)組B的元素排序就是所要求解的設(shè)備最優(yōu)排列次序。但是S的最小值不易解出，因此需要進(jìn)一步的簡化，將A中相鄰兩元素進(jìn)行對換(B中所對應(yīng)的元素也隨之對換)，然后分別求出S值再進(jìn)行比較，這樣就能使其更接近最小值。5.1 一人維修時的簡化及其最優(yōu)排序的求解由

9、以上模型的建立，可以得出在任意的一種排序中：Sn=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn(BLn+BLn+1+BL7)+ALn+1(BLn+1+BL7)+AL7BL7，當(dāng)?shù)贚n列與Ln+1列對換后：Sn1=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn+1 (BLn+BLn+1+BL7)+ALn (BLn +BLn+2+BL7)+AL7BL7，則 SnSn1= AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn(BLn+BLn+1+BL7)+ALn+1(BLn+1+BL7)+AL7BL7AL1(BL1+BL

10、2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn+1 (BLn+BLn+1+BL7)+ALn (BLn +BLn+2+BL7)+ AL7BL7解得：SnSn1=ALn BLn+1ALn+1 BLnALn BLn+1ALn+1 BLn的結(jié)果有以下三種取值：1ALn BLn+1ALn+1 BLn=0即Sn=Sn1，則Sn與Sn+1同樣接近最小值，因此Ln與Ln+1對換前后的S值相同，所以不需要對換。此時由ALn BLn+1ALn+1 BLn=0可得：；2ALn BLn+1ALn+1 BLn<0即Sn< Sn1，則Sn更接近最小值，因此Ln與Ln+1對換前的S更接近最小值，所以不需

11、要對換。此時由ALn BLn+1ALn+1 BLn<0可得：； 3ALn BLn+1ALn+1 BLn>0即Sn> Sn1時，則Sn1更接近最小值，因此對換后的S更接近最小值，所以對換前的排序必定不是最優(yōu)排序，只有排序后才能使其接近最小值。此時由ALn BLn+1ALn+1 BLn>0得：由以上推理可知，如果第Ln列與Ln+1列的元素有關(guān)系時，則這種排序所得的S必定不是最小值，因而當(dāng)S取最小值時第Ln列與Ln+1列的元素必滿足：；所以當(dāng)S取最小值時，；當(dāng)所有的都不相等時，則，因此只有一種排序；當(dāng)其中有一項(xiàng)或者多項(xiàng)的值等于其后一項(xiàng)的值時：由于可得出Sn=Sn1，因此不論他

12、們相鄰之間如何排列，所得的S值都相同，從而它們的排序都是最優(yōu)排序?，F(xiàn)將七臺設(shè)備進(jìn)行排序，即求出Cn=，如表2所示：編號1234567A58784913B0.61.81.20.80.81.71.0Cn8.334.445.831055.2913表2由表2可以得出：C2<C5<C6<C3<C1<C4<C7；因此最優(yōu)的維修排序?yàn)椋?，5，6，3，1，4，7；將此排序下的各設(shè)備參數(shù)代入S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7；計(jì)算出最小經(jīng)濟(jì)損失S=199.9(萬元)。5.2 將各設(shè)備分割為多臺設(shè)備的求解過程假設(shè)保持設(shè)備的最

13、優(yōu)的維修排序不變，將每一臺設(shè)備都分割為若干個設(shè)備，這些設(shè)備所需維修時間都為一小時，即將第n個設(shè)備分為ALn個設(shè)備，每個分割后的設(shè)備停工單位時間所造成的損失為，例如將2號設(shè)備分割成8個設(shè)備，每一臺設(shè)備停工單位時間所造成的損失為1.8/8，如此將所有設(shè)備共分為(AL1+AL2+AL3+ALn)個設(shè)備，下面分析分割后與分割前的區(qū)別。分割之后，在每一小時結(jié)束后都有設(shè)備投入運(yùn)行，當(dāng)這ALn個設(shè)備都維修完畢后，它們都投入運(yùn)行，此時與分割前的運(yùn)行相同。而分割前只有在ALn小時后設(shè)備才能投入運(yùn)行，因此分割后減少了一部分損失，下面求解減少的損失：將第n個設(shè)備分為ALn個設(shè)備，則各設(shè)備備停工單位時間所造成的損失為

14、，分割后每臺設(shè)備工作時間如圖1所示。圖1 設(shè)備的分割示意圖由圖1可以看出分割后的第一臺設(shè)備挽回的損失為(ALn1 )×，第二臺設(shè)備挽回的損失為(ALn2)×，第ALn1個設(shè)備挽回的損失為1×，因此它們挽回的損失之和為：S1=(ALn1 )×+(ALn2)×+2×+1×解得S1=(ALn1 )BLn；則將所有設(shè)備進(jìn)行分割后，損失金額的減少量為：S=(AL11 )BL1 +(AL21 )BL2 +(ALn1 )BLn因?yàn)镾是定值，因此無論設(shè)備的排序如何，S的值都不變，且分割后的設(shè)備之間也滿足，因此此排序依然最優(yōu)。當(dāng)把設(shè)備再分割為

15、無窮臺或者任意臺數(shù)時，依然比分割前的損失減少一定值，也可以將設(shè)備分割維修看作是多臺設(shè)備同時維修，各設(shè)備維修結(jié)束時間點(diǎn)不同罷了，現(xiàn)在可以理解兩人同時維修設(shè)備時的情形，當(dāng)一人維修完一臺設(shè)備時，另一人還在維修，若將兩人維修合并成一人維修的情形，然后計(jì)算就比較簡單。5.3 設(shè)備的分割與多人維修的聯(lián)系由一人維修的最優(yōu)排序可以得出Cn=越小的設(shè)備排序越靠前，現(xiàn)在令Pn=，則Pn越大時維修的次序越靠前，而，其含義是維修設(shè)備的效率(也可以看作是減少損失的效率)。若有等式S=P1t1+P2t2+P3t3+Pntn，0<t1< t2< t3<< tn， tn為定值，P1,P2,P3,

16、Pn的關(guān)系不確定，即Pn>Pn+1或Pn+1>Pn不確定，要使得S最小，則P1,P2,P3,Pn應(yīng)滿足P1>P2>P3>>Pn，下面給以證明：令P1>P2，t1< t2，x= P1t1+P2t2，y= P1t2+P2t1；則 x= (P1+ P2) t1+P2(t2-t1)，y= (P1+ P2) t1+P1(t2-t1)；所以 x-y= (P2- P1) (t2-t1)<0，因此x更接近最小值。由以上推理可以說明，工人維修時先選擇維修效率較高的設(shè)備，即Pn較大的設(shè)備，兩人同時維修時將兩臺設(shè)備的P相加，因此就可以進(jìn)行排序。5.4 兩人同時維

17、修的最優(yōu)排序現(xiàn)有工人1和工人2同時維修這些設(shè)備時間設(shè)備分為1，2兩組，要求他們的排序最優(yōu)，則每一組中的設(shè)備都是最優(yōu)排序，即第一組設(shè)備滿足P11 P12 P1n，第二組設(shè)備滿足P21P22P2n，如圖表3所示為兩工人維修設(shè)備的次序組號L1L2L3Ln1P11P12P13P1n2P21P22P23P2n表3現(xiàn)將兩組設(shè)備都分割成多個設(shè)備，即每小時都有一個設(shè)備完成維修，因此將兩工人的維修合并，則合并后的設(shè)備依然滿足；如圖2所示合并后P1=P11+P21，P2= P21+P12，即各段的P值等于此時間段內(nèi)兩設(shè)備的P之和。圖2 各時間段的P值分布按照P1>P2>P3>>Pn的原則進(jìn)

18、行排序，可以利用一人維修時的排序2，5，6，3，1，4，7；因?yàn)镻2>P5>P6>P3>P1>P4>P7；先將2號設(shè)備和5號設(shè)備排列到最前，然后當(dāng)有一人完成維修時，就選擇6號設(shè)備，直到將所有設(shè)備排列完畢。排序后計(jì)算出兩工人各需要的維修時間，各設(shè)備之間的關(guān)系如圖3所示：圖3 第一次排序示意圖由于工人1需要維修23小時，而工人2需要維修31小時，在工人1維修完畢后工人2還需維修8小時，現(xiàn)討論設(shè)備4和設(shè)備7的關(guān)系，分析整個排序是否達(dá)到最優(yōu)：4號設(shè)備與7號設(shè)備的順序僅有兩種排序，它們維修時間差為一定值，若時間差為t，則它們對整個排序造成的損失差為：(b7-b4)t，

19、由于b7>b4，因此將7號設(shè)備與4號設(shè)備調(diào)換后損失更小。然后還需要將每兩個時間點(diǎn)后的單位時間停工造成的損失金額相加后比較，按照4號設(shè)備與7號設(shè)備的交換原則對換，經(jīng)過對換，調(diào)整后的次序如圖4所示。圖4 兩人維修的最優(yōu)排序調(diào)整后兩工人的維修時間分別為28，26小時；維修時間得到了縮短，此時的排序?yàn)樽顑?yōu)排序，所有設(shè)備的排序?yàn)椋?(5)，6，3，1，7，4；工人1的維修順序?yàn)椋?，3，7；工人2的維修順序是：5，6，1，7。5.5 一人維修多臺設(shè)備的推理及計(jì)算現(xiàn)要求在一人維修n臺設(shè)備的前提下進(jìn)行排序，由以上得證，只要設(shè)備的所需維修時間和停工單位時間所造成的損失已知就可以很容易地排出它們的維修次序

20、，即將各設(shè)備的所需維修時間除以停工單位時間所造成的損失，所得結(jié)果從小到大進(jìn)行排序，所對應(yīng)的設(shè)備編號順序就是最優(yōu)的維修次序。為了計(jì)算方便，利用計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行運(yùn)算，程序列表如下：#include<iostream>using namespace std;int main()double a21000,b21000,p,q;int i,j,m,n;cout<<" 一名工人的維修次序"<<endl;cout<<endl;cout<<"說明:請按機(jī)器編號依次輸入維修所需時間(小時)和停工造成的損失(萬元/小時)，&

21、quot;<<endl;cout<<endl;cout<<"然后輸入一個負(fù)數(shù)結(jié)束。"<<endl;cout<<endl;cout<<endl;for(i=0;i<1000;i+)cout<<"輸入第"<<i+1<<"臺設(shè)備維修所需時間(小時) :"cin>>a0i;if(a0i<=0)break;cout<<"輸入第"<<i+1<<"臺設(shè)備停工造成的損失(萬元/小時