從Logistic模型走向混沌參考模板

1、從Logistic模型走向混沌為進(jìn)一步了解混沌的意義，我們考慮離散動(dòng)力系統(tǒng)這是一個(gè)差分方程. 微分方程通過(guò)差分化可化為差分方程. 種群(昆蟲)模型中按代計(jì)算其種群數(shù)(蟲口數(shù))而兩代之間不重迭時(shí)便可用差分方程表示，此時(shí)其模型又稱為蟲口模型.最簡(jiǎn)單的蟲口模型是Logistic方程 （*）這是一個(gè)單參數(shù)離散動(dòng)力系統(tǒng)，如圖函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn). 如有，稱為不動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)而互不相等時(shí)稱為周期n點(diǎn).易證明當(dāng)時(shí)不 管初值如何方程的解即時(shí)的點(diǎn)均收斂于不動(dòng)點(diǎn). 而當(dāng)時(shí)初值的方程(6.60)的解收斂于兩個(gè)周期2點(diǎn).因此為方程2 / 13(6.60)的分支點(diǎn).隨著的逐漸增大，方程(6.60)從兩個(gè)周期2點(diǎn)變?yōu)樗膫€(gè)周期4點(diǎn)，

2、再八個(gè)周期8點(diǎn)，等等. 這種逐步加倍的分支稱為倍分支. 用計(jì)算機(jī)可繪出方程(6.60)的參數(shù)與周期點(diǎn)關(guān)系的倍分支圖，如圖(6.35).當(dāng)時(shí)方程(6.60)出現(xiàn)混沌解. 可能不收斂于任何點(diǎn)，到處游蕩，是一個(gè)奇異吸引子.且存在對(duì)初值的敏感性. 對(duì)線段上的連續(xù)映象，李天巖和York曾給出著名的“周期3蘊(yùn)涵混沌”的定理（Li-York混沌定理） 設(shè)是一個(gè)區(qū)間, 連續(xù). 如中有一點(diǎn),使,滿足或 (6.61) 則對(duì)每一個(gè)，在中有的一個(gè)周期的周期點(diǎn). 且中有一個(gè)不含周期點(diǎn)的不可列集,滿足(A) 對(duì)中的每?jī)蓚€(gè)有 .(B) 對(duì)中的每一個(gè)及中的周期點(diǎn)有Li-York定理給出了混沌的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義.后來(lái)人們就把滿足L

3、i-York定理結(jié)論的集合稱為L(zhǎng)i-York混沌集. 后來(lái)發(fā)現(xiàn),可以將相空間中Lorenz方程的軌線通過(guò)Pocincare映射映射為平面上的,而進(jìn)一步可分解為. 而滿足線段映射存在混沌的Li-York定理?xiàng)l件,如圖(6.36)所示,從而說(shuō)明Lorenz方程存在混沌. 圖(6.36) Lorenz方程的Poincare映射李天巖和York首先給出了混沌的數(shù)學(xué)定義，但僅對(duì)線段映射而言. 后來(lái)又出現(xiàn)各種混沌的定義，而且發(fā)現(xiàn)了多種滿足混沌性態(tài)的系統(tǒng)，如Henon映射、強(qiáng)迫Duffing方程等. 同時(shí)進(jìn)一步探討通向混沌的道路，研究判斷混沌的各種方法，以及發(fā)現(xiàn)在物理、力學(xué)、化學(xué)、氣象、股票市場(chǎng)等自然科學(xué)、

4、社會(huì)科學(xué)中的混沌. 由Lorenz方程引發(fā)的混沌的概念出現(xiàn)后，人們發(fā)現(xiàn)已在早期研究過(guò)的KAM定理、Smale馬蹄、Melnikov定理中亦存在混沌，這是與Li-York混沌不同的另一類型的混沌. 后面將接著進(jìn)行介紹(見§6.6). C. 典 故(8) Lorenz吸引子 E.N.Lorenz畢業(yè)于麻省理工學(xué)院(M.I.T.)氣象系，1948年起在M.I.T.做博士后工作，主要興趣在全球和大陸尺度的大氣結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué).1955年得到了M.Thomas辭職而空缺的位置和科研項(xiàng)目.項(xiàng)目是用計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)天氣預(yù)報(bào)，當(dāng)時(shí)用的是線性統(tǒng)計(jì)方法.他接手后提出用不是線性類型的方程組進(jìn)行檢驗(yàn).選擇了大大簡(jiǎn)化被濾

5、波的數(shù)值天氣預(yù)報(bào)方程式，并購(gòu)買了內(nèi)存為4k32bi字長(zhǎng)的小型計(jì)算機(jī)，一次乘法約17ms,打印一行數(shù)字約10s.開始時(shí)選擇14個(gè)變量的方程組，經(jīng)壓縮又壓縮，最后變成12個(gè).參數(shù)中包含驅(qū)動(dòng)模式天氣所需要的外熱源的強(qiáng)度和分布，這樣可以改變參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn).但總是出現(xiàn)毫無(wú)用處的穩(wěn)定狀態(tài).經(jīng)多次試驗(yàn)后，最后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)解，它明顯地模擬出在用水模擬地球空氣的轉(zhuǎn)盤實(shí)驗(yàn)中所觀察到的振蕩.這時(shí)，他認(rèn)識(shí)到需要一個(gè)解是非周期的方程組才可能否定線性預(yù)報(bào).這是1959年，他準(zhǔn)備將這碰巧找到的一個(gè)合適的方程組及其試驗(yàn)結(jié)果寫成“動(dòng)力方程組解的統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)”報(bào)告參加在東京舉行的數(shù)值天氣預(yù)報(bào)會(huì)議.在進(jìn)一步進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，數(shù)值方法是以6小時(shí)為

6、增量計(jì)箅未來(lái)天氣，4步即1天打印1次12-14個(gè)變量值，約1分鐘模擬1天.為把打印出的數(shù)值排成1行，數(shù)值四舍五入到三位數(shù)字.有一次，為了更為詳細(xì)地檢查，決定重復(fù)某些計(jì)算.停機(jī)后重新輸入再進(jìn)行計(jì)算，他在走廊上喝了一杯咖啡，約1小時(shí)，計(jì)算機(jī)已模擬了1個(gè)月的天氣.但打印出不同的數(shù)值，開始以為是真空管或其他計(jì)算機(jī)部件壞了.經(jīng)檢查才發(fā)現(xiàn)是輸入時(shí)因舍入誤差引起的.從而發(fā)現(xiàn)了方程組的解對(duì)初值敏感這個(gè)混沌現(xiàn)象.1961年到M.Thomas建立的旅行者天氣中心訪問(wèn)時(shí)，B.Seltzmann告訴他用下面加熱產(chǎn)生的對(duì)流流體運(yùn)動(dòng)的7個(gè)方程的方程組的數(shù)值解中有一個(gè)解穩(wěn)定不下來(lái)，經(jīng)查看其中4個(gè)變量很快變得非常小.他回到M

7、.I.T.，取僅有3個(gè)變量的方程組，得到了他長(zhǎng)期尋找的系統(tǒng).這便是Lorenz方程，它并不能非常好地描述實(shí)際對(duì)流運(yùn)動(dòng)，主要說(shuō)明一個(gè)確定性的系統(tǒng)能以最簡(jiǎn)單的方式表現(xiàn)出非周期的形態(tài).當(dāng)時(shí)是湍流研究的熱潮.他以“確定性的湍流”為題投稿氣象科學(xué)雜志，編輯認(rèn)為方程缺少湍流的性質(zhì)，改以“確定性的非周期流”發(fā)表.由于Lorenz方程的解有界但是在兩個(gè)不穩(wěn)定狀態(tài)中交替且不規(guī)則地振蕩，與一般的吸引子不同，是一個(gè)奇異吸引子.1963-1964年Lorenz在氣象科學(xué)雜志等雜志上發(fā)表了4篇有關(guān)論文.但僅在氣象學(xué)家中流傳.1972年Lorenz還為美國(guó)科學(xué)發(fā)展協(xié)會(huì)會(huì)議準(zhǔn)備一份報(bào)告和新聞公報(bào)，其題目為“可預(yù)報(bào)性：在巴西

8、一只蝴蝶翅膀的拍打能夠在美國(guó)得克薩斯州產(chǎn)生一個(gè)龍卷風(fēng)嗎?”. Lorenz被稱為“蝴蝶效應(yīng)”提出者，混沌理論之父. Lorenz于2008年4月16日逝世,享年90歲.雖然Lorenz已發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.但還需要靠數(shù)學(xué)家的努力才能得到科學(xué)界的公認(rèn)，成為一門新學(xué)科，這是另一個(gè)故事了(見后).文39(9) Li-Yorke混沌的故事 混沌的定義是首先由李天巖和J.A.Yorke在論文“周期3蘊(yùn)含混沌”中給出的，這篇開創(chuàng)混沌新學(xué)科的文章的發(fā)表經(jīng)過(guò)后來(lái)由李天巖作了介紹.1972年左右李天巖是美國(guó)馬里蘭大學(xué)的研究生，他的博士導(dǎo)師J.A.Yorke在大學(xué)的“流體動(dòng)力學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)所”工作，所里有一個(gè)氣象研究項(xiàng)

9、目，由A.Felle教授主持.1972年A.Felle教授將Lorenz所寫的關(guān)于“氣象預(yù)測(cè)”模式所的4篇文章介紹給Yorke教授，認(rèn)為文章過(guò)于理論化、數(shù)學(xué)化，也許搞數(shù)學(xué)的會(huì)比較感興趣.他們讀了那些文章，覺得很有意思.1973年4月， Yorke在辦公室中對(duì)李說(shuō)“我給你一個(gè)好的思想”.這即是Li-Yorke定理，其原始出發(fā)點(diǎn)在Lorenz的文章中，李當(dāng)時(shí)即說(shuō)“這太適合數(shù)學(xué)月刊了!”兩個(gè)星期后，李完全證明了這個(gè)定理.他們寫好文章，真的投給數(shù)學(xué)月刊.但給退了回來(lái)，認(rèn)為過(guò)于偏向研究性，不宜發(fā)表，或轉(zhuǎn)寄或修改.因文章內(nèi)容與李的博士論文無(wú)關(guān).李把它壓了下來(lái).1974年是馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系的生物數(shù)學(xué)“特別年”，請(qǐng)了著名的普林斯頓大學(xué)R.May教授來(lái)校講學(xué)，最后一次介紹Logistic離散模型，提及當(dāng)參數(shù)較大時(shí)迭代值在整個(gè)區(qū)間中四處跑，他無(wú)法解釋這現(xiàn)象，認(rèn)為也許是計(jì)算誤差所致.Yorke在送May上飛機(jī)時(shí)，把那篇在桌上躺了近一年的