命題、定理、證明2

1、第五章 相交線與平行線5.3 平行線的性質(zhì)5.3.2 命題、定理、證明 1.理解命題，定理及證明的概念，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè) 和結(jié)論；（重點(diǎn)） 2. 會(huì)判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了 解反例的作用. （重點(diǎn)、難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)小華與小剛正在津津有味地閱讀我們愛科學(xué).這個(gè)黑客終于這個(gè)黑客終于被逮住了被逮住了. .是的是的, ,現(xiàn)在的因特網(wǎng)現(xiàn)在的因特網(wǎng)廣泛運(yùn)用于我們的生廣泛運(yùn)用于我們的生活中活中, ,給我們帶來了給我們帶來了方便方便, ,但但.這個(gè)黑客是個(gè)這個(gè)黑客是個(gè)小偷小偷. .是個(gè)喜歡穿黑是個(gè)喜歡穿黑衣服的賊衣服的賊. .坐在旁邊的兩個(gè)人一邊聽著他們的談話，一邊也在悄悄地議論著. 小明的小明

2、的百米成績(jī)有進(jìn)步，百米成績(jī)有進(jìn)步，已達(dá)到已達(dá)到9 9秒秒9.9. 好！好！繼續(xù)努力繼續(xù)努力, ,爭(zhēng)取爭(zhēng)取超過超過1010秒秒. . 不要再搶啦！不要再搶啦！每個(gè)人發(fā)一個(gè)球！每個(gè)人發(fā)一個(gè)球！有一位田徑教練向領(lǐng)導(dǎo)匯報(bào)訓(xùn)練成績(jī)；相傳,閻錫山在觀看士兵籃球賽,雙方爭(zhēng)搶非常激烈.于是命令:2.如果一個(gè)句子沒有對(duì)某一件事情作出任何判斷,那么 它就不是命題. 如：畫線段AB=CD.1.只要對(duì)一件事情作出了判斷,不管正確與否,都是命題.如：相等的角是對(duì)頂角.注意：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫作命題.命題的定義與結(jié)構(gòu)一、命題的概念1 判斷下列四個(gè)語(yǔ)句中，哪個(gè)是命題， 哪個(gè)不是命題？并說明理由：（1）對(duì)頂角相等嗎？（2

3、）畫一條線段AB=2cm;（3）兩條直線平行，同位角相等；（4）相等的兩個(gè)角，一定是對(duì)頂角.解：（3）（4）是命題，（1）（2）不是命題.理由如下：（1）是問句，故不是命題；（2）是做一件事情，也不是命題.例例1（2）兩條直線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ ）（5）取線段AB的中點(diǎn)C；（ ）（1）長(zhǎng)度相等的兩條線段是相等的線段嗎?( )（6）畫兩條相等的線段（ ）練一練：判斷下列語(yǔ)句是不是命題？是用“”，不是用“ 表示.（3）不相等的兩個(gè)角不是對(duì)頂角（ ）（4）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角（ ）觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？與同伴交流.（1）如果兩個(gè)三角形的三條邊相等，那么這兩個(gè)三角

4、形的周長(zhǎng)相等；（2）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)也相等；（3）如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，那么這個(gè)數(shù)是3.都是“如果那么”的形式二、命題的結(jié)構(gòu) 命題一般都可以寫成“如果那么”的形式. 1.“如果”后接的部分是題設(shè), 2.“那么”后接的部分是結(jié)論.如命題：熊貓沒有翅膀.改寫為：如果這個(gè)動(dòng)物是熊貓，那么它就沒有翅膀.注意：添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語(yǔ)句要通順，使命題的題設(shè)和結(jié)論更明朗，易于分辨，改寫過程中，要適當(dāng)增加詞語(yǔ)，切不可生搬硬套.命題題設(shè)結(jié)論已知事項(xiàng)由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng) 兩直線平行， 同位角相等題設(shè)（條件）結(jié)論命題的組成： 把下列命題改寫成“如果那么

5、”的形式.并指出它的題設(shè)和結(jié)論.1.對(duì)頂角相等；2.內(nèi)錯(cuò)角相等；3.兩直線被第三條直線所截，同位角相等；4.平行于同一直線的兩直線平行；5.等角的補(bǔ)角相等.練一練特別規(guī)定：正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題.命題1：“如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除”真命題與假命題觀察下列命題,你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么不同的特點(diǎn)嗎？命題1是一個(gè)正確的命題;命題2是一個(gè)錯(cuò)誤的命題.命題2：“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角”2（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)（ ）（4）兩點(diǎn)可以確定一條直線（ ）（7）互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直（ ）（2）一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角（ ）判斷下列命題的真假.真的用“”，假的用“

6、表示.（5）兩點(diǎn)之間線段最短（ ）（3）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角（ ）（6）同角的余角相等（ ）練一練“因?yàn)樵缟衔野l(fā)現(xiàn)張三從玉米地那邊過來，把一袋東西背回家，還發(fā)現(xiàn)我地里的玉米被人偷了，我知道張三家沒有種玉米。所以我家玉米肯定是張三偷的.”片段1：一天早上，李老漢來到衙門里告狀說：張三剛剛在他地里偷了一袋子玉米.呂縣令立即派衙役將張三拘捕到縣衙審訊:呂縣令問李老漢：“你怎知是張三偷了你的玉米?” 李老漢想證明什么？他是怎么證明的？這種從已知條件出發(fā)（列出理由），推斷出結(jié)論的證明方法，叫綜合法.綜合法是最常用的證明方法.證明與舉反例根據(jù)李老漢的證明，你能斷定玉米是張三偷的嗎？你覺得有疑點(diǎn)嗎？3片段2

7、：縣官一時(shí)拿不定主意，就問旁邊的縣丞道：“師爺，你怎么看？”縣丞說“這事要證明是張三干的，還得弄清那袋子里裝的是不是剛掰的玉米，還要看看地里的腳印是不是張三的才行。如果袋子里裝的是剛掰的玉米，且地里的腳印是張三的，那就一定是他偷的?！?從結(jié)論出發(fā)，逆著尋找所需要的條件的思考過程，叫分析. 在分析的過程中，如果發(fā)現(xiàn)所需要的條件，都已具備或可從已知條件中推得.那么證明就很容易了.分析：要證明AB、CD平行，就需要同位角相等的條件，圖中1與3就是同位角.我們只要找到：能說明它倆相等的條件就行了. 從圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)：2與3是對(duì)頂角，所以3=2.這樣我們就找到了1與3相等的確切條件了. 如圖，1=2

8、，試說明直線AB、CD平行？例例2證明：因?yàn)?與3是對(duì)頂角，所以3=2.又因?yàn)?=2，所以1=3， 且1與3是同位角，所以AB與CD平行.證明：2與3是對(duì)頂角，3=2.又1=2，1=3，ABCD. 如圖，1=2，試說明直線AB、CD平行？例21.數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出 來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)， 這樣的真命題叫做公理.兩點(diǎn)確定一條直線.兩點(diǎn)間線段最短.經(jīng)過直線外的一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行.直線公理：線段公理：平行線公理：三、公理的概念2.有些命題是基本事實(shí)，還有些命題它們的正確性是經(jīng) 過推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理.定理也 可以作為

9、繼續(xù)推理的依據(jù).同角或等角的補(bǔ)角相等.2.余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等.4.垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；1.補(bǔ)角的性質(zhì)：3.對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.垂線段最短.學(xué)過的定理：四、定理的概念 在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫作證明.注意：證明的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.五、證明的概念 已知：bc， ab 求證：ac證明： a b（已知）， 1=90（垂直的定義）. b c（已知）， 2=1=90（兩直線平行，同位角相等）. a c（垂直的定義）.abc12例例3確定一個(gè)命題是假命題的方法：例如，要判定命題“相

10、等的角是對(duì)頂角”是假命題 ，可以舉出如下反例：如圖，OC是AOB的平分線， 1=2，但它們不是對(duì)頂角.）12AOCB只要舉出一個(gè)例子（反例）：它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可.思考：如何判定一個(gè)命題是假命題呢？六、舉反例1.下列語(yǔ)句中，不是命題的是() A.兩點(diǎn)之間線段最短 B.對(duì)頂角相等 C.不是對(duì)頂角不相等 D.過直線AB外一點(diǎn)P作直線AB的垂線D2.下列命題中，是真命題的是() A.若ab0，則a0，b0 B.若ab0，則a0，b0 C. 若ab0，則a0且b0 D.若ab0，則a0或b0D3.下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還 是假命題？ （1）豬有四只腳； （2）內(nèi)錯(cuò)角相

11、等； （3）畫一條直線； （4）四邊形是正方形； （5）你的作業(yè)做完了嗎？ （6）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行； （7）垂直于同一直線的兩直線平行； （8）過點(diǎn)P畫線段MN的垂線； （9）x2.是真命題否是假命題是假命題否是真命題是假命題否否4.舉反例說明下列命題是假命題 (1)若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等； (2)若ab0，則ab0.解：(1)兩條直線平行形成的內(nèi)錯(cuò)角，這兩個(gè)角不 是對(duì)頂角，但是它們相等； (2)當(dāng)a5，b0時(shí)，ab0，但ab0.5.在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的依據(jù). 如圖，AB CD,CB DE ,求證： B+ D=180.證明： AB CD, B= C( ). CB DE， C+ D=180( )， B+ D=180( ).等量代換兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明：ABCD(已知)， BPQCQP(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等) 又PG平分BPQ，QH平分CQP(已知)， GPQ BPQ,HQP CQP(角平 分線的定義