考研高等數(shù)學(xué)部分綜合競賽試題

1、考研高等數(shù)學(xué)部分綜合競賽試題時(shí)間：240分 滿分：250分一、 選擇題（每題2分，共32分）1、設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是的高階無窮小低階無窮小同階但不等價(jià)的無窮小等價(jià)無窮小2、 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界3、 曲線的漸近線有4、設(shè)函數(shù)區(qū)間上連續(xù)，且,則方程，在開區(qū)間內(nèi)的根有5、設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)時(shí)，恒有，則必是的 間斷點(diǎn) 連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn) 可導(dǎo)的點(diǎn)，且 可導(dǎo)的點(diǎn)，且6、已知函數(shù)對一切非零滿足 （ ）（A）是的極大值（B）是的極小值（C）是曲線的拐點(diǎn)（D）不是的極值，但也不是曲線的拐點(diǎn)7、設(shè)函數(shù)連續(xù)，則在下列變上限的定積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是8、下列廣義積分中發(fā)散的是9、設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有

2、二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有10、設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分11、設(shè)函數(shù)連續(xù)，區(qū)域，則12、設(shè)區(qū)域，為上的正值連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)，則13、設(shè)數(shù)列單調(diào)遞減，無界，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?（ ）14、已知為常數(shù)，則 （ ）15、設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則 （ ）（A）當(dāng)收斂時(shí)，收斂. （B）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散. （C）當(dāng)收斂時(shí)，收斂.（D）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散.16、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且是區(qū)間是的均勻分布，的概率分布為，記為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）二、填空題（每空1分，共49分）17、設(shè)在處連續(xù)，則；18、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的間斷點(diǎn)為；其各個(gè)間斷點(diǎn)的類型為；19、設(shè)，則（1）；（2）；20、函數(shù)在處的

3、階導(dǎo)數(shù)；21、已知是周期為的連續(xù)函數(shù)，它在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)滿足關(guān)系式，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小，且在處可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是；22、設(shè)，則；23、設(shè)函數(shù)由方程所確定，則曲線在點(diǎn)處的法線方程為；24、曲線在處的曲率半徑25、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線向上凸的的取值范圍為；26、函數(shù)在區(qū)間上的平均值為；27、；28、設(shè)則函數(shù)的表達(dá)式是；29、設(shè)直線與拋物線所圍成圖形的面積為，它們與直線所圍成的圖形的面積為，并且，（1）若要使達(dá)到最小，則；其最小值為；（2）該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為；30、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，已知，則；31、（1）；（2）；32、設(shè)是區(qū)間上的單調(diào)、可導(dǎo)

4、函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，則；33、已知，則；34、設(shè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)及分別由和兩式確定，則；35、已知，則；36、設(shè)，其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則；37、設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)，且該點(diǎn)到直線的距離最短，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為；38、已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中，則二重積分39、已知是由直線及圍成的平面區(qū)域，則二重積分40、設(shè)二元函數(shù)，則二重積分41、已知，則二重積分42、設(shè)則的形心坐標(biāo)；43、已知曲線，則；44、已知為正常數(shù)，為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧，則；45、已知是以點(diǎn)為中心，為半徑的圓周，取逆時(shí)針方向，則曲線積分46、已知存在一常數(shù)，使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，則；47、設(shè)L

5、是柱面方程為與平面的交線，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，則曲線積分；48、設(shè)為橢球面的上半部分，點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切平面，為點(diǎn)到平面的距離，則；49、設(shè)是錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外側(cè)，則；50、設(shè)是錐面的下側(cè)，則；51、設(shè)對于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面，都有，其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，則；52、設(shè)，則；53、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；且的極大值為54、從點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)；再從作這條拋物線的切線與軸交于，然后又從作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列的點(diǎn)則（1）；（2）級(jí)數(shù)的和為；55、設(shè)則；56、從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定

6、儀器的下沉深度（從海平面算起）與下沉速度之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛垂下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設(shè)儀器的質(zhì)量為，體積為，海水比重為，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為，則與之間的函數(shù)關(guān)系是；57、設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則二次曲面為橢球面的概率為。三、 計(jì)算題（每題10分，共90分）58、作半徑為的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時(shí)，其體積最小，并求出該最小值。59、曲線與直線及圍成一曲邊梯形。該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為，側(cè)面積為，在處的底面積為。（1）求的值；（2）計(jì)算極限。60、求二元函數(shù)在由直線、軸和軸所圍成的閉區(qū)

7、域上的極值、最大值與最小值。61、設(shè)為橢球面上的動(dòng)點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切平面與面垂直，求點(diǎn)的軌跡；并計(jì)算曲線積分，其中是橢球面位于曲線上方的部分。62、計(jì)算曲面積分，其中是曲面的外側(cè)。63、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。64、將展成的冪級(jí)數(shù)。65、設(shè)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任一點(diǎn)處的曲率為，且此曲線上點(diǎn)處的切線方程為，求該曲線的方程，并求函數(shù)的極值。66、在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）（1）求的方程；（2）當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定的值。四、證明題（每題10分，共20分）67、（1）證明：對任意正整數(shù)，都有成立，（2）設(shè)，證明數(shù)列收斂。68、證明：當(dāng)時(shí)，。五、解答題（每題11分，共11分）69、將函數(shù)展開成余弦級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。六、論述題（每題12分，共48分）70、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明： （1）在內(nèi)； （2）在內(nèi)存在，使； （3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點(diǎn)，使71、設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于零，其中。（1） 討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。（2） 證明：當(dāng)時(shí)，。72、設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，是的反函數(shù)。（1）試將所