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文檔簡介
1、作者:Karihaloo BL, Zhang K,Wang J. 2013 Honeybee combs: how the circular cells transform into rounded hexagons. J R Soc Interface 10: 20130299./10.1098/rsif.2013.0299接收:2013年4月2日通過:2013年六月24日所涉領(lǐng)域:生物力學,生物材料,生物工程關(guān)鍵詞:蜂窩,孔狀單元制造,圓化六邊形單元通信作者:B. L. Karihalooe-mail: karihaloobcardiff.ac.uk蜂窩:孔
2、狀結(jié)構(gòu)如何轉(zhuǎn)變?yōu)榱呅蜝. L. Karihaloo1, K. Zhang2 and J. Wang31英國卡迪夫大學工程學院2北京理工大學,中國,北京3北京大學航空航天工程系,中國,北京我們報告這些自然蜂窩里的結(jié)構(gòu)單元從一個圓形的初生體,在蜂窩形成的過程中很快轉(zhuǎn)化為熟悉的圓角六邊形。這種轉(zhuǎn)變機制為熔融態(tài)的粘彈性蠟附近的相鄰圓形細胞間的三重接合的流動。流動可以是不受約束或由未熔融的蠟,離開接合處的限制。這種熔化蜂蠟所需要的熱量由“熱”工蜂提供。1. 導言蜂窩是自然界中被研究得最多的多孔結(jié)構(gòu)。其圓角六邊形單元的形態(tài)吸引了眾多自然哲學家的關(guān)注,他們給出了許多深奧的解釋,其中有些需要蜜蜂有一種進行數(shù)
3、學運算的一種不可思議的能力或神奇的測量長度和角度的能力。我們可以在Pirk等人1的論文中找到關(guān)于此的一個簡明的歷史敘述,在那里他們也做了許多嘗試,以解釋由蜜蜂構(gòu)造蜂窩六邊形單元的機制。如此深奧甚至離奇的推測似乎是不可能的,新蜂窩從最開始的圓柱體,但很快變成熟悉的圓角六邊形形式,如圖1。Pirk等人1基于大量的熔融蜂蠟實驗論證了這種形狀的轉(zhuǎn)變是十分普通的。結(jié)合這些實驗他們推測,在筑造蜂窩的過程中工蜂用自己的身體圓形的結(jié)構(gòu)單元的圓周給它們加熱。它的內(nèi)徑(6mm,圖1)大致與意蜂的肚子周長相當。這個機制需要工蜂加熱大量的蜂蠟。從環(huán)境掃描觀察法得知一個兩天的蜂窩的直的部分的壁仍然沒有完全熔合,表明蜂蠟
4、并不是一次性整體加熱的。另一方面,熱保育蜂把它們的整個胸腔放在蜂巢中表明它們正在給整個單元加熱。因此,我們也考慮了這種可能性,盡管沒有證具表明蜜蜂加熱新筑的巢和保育蜂的加熱目的相同。我們將展示蜂窩中的圓角六邊形的規(guī)則圖形是圓形壁在三重結(jié)合處蜂蠟在熔體粘彈性的作用下逐步融合而形成的。我們考慮了兩種圖景。在圖景1中,我們假設(shè)這種流動受遠離三重結(jié)合處的未熔的蜂蠟的粘彈性的約束。在圖景2 中我們考慮了三重結(jié)處胞壁全部被加熱以至三重結(jié)合處蜂蠟的流動不受約束。我們的計算將會全部或者部分證實Pirk 1等人對熔融烽蠟的觀察并且推測出兩種情形中最可能的一種。這僅能通過實際測量蜂窩從圓孔狀轉(zhuǎn)變到圓角六邊形的演變
5、時間來證實。我們記錄了一個正在形成的蜂窩,其內(nèi)徑隨著時間的增加逐漸減小,這是壁厚增加的一個結(jié)果 2 ,這或許可以用來解釋為什么蜂窩影響蜜蜂生長以及蜜蜂的成活率6。通過放在蜂巢內(nèi)部的紅外相機能觀察到很多保育蜂,但是如前文提到的沒有證具表明蜜蜂加熱新筑的巢和保育蜂的加熱目的相同。保育蜂加熱的視頻在如下網(wǎng)站可以看到:http:/www.hobos.de/de/lehrer-schuelereltern/ueber-hobos/impressionen/winterbiene.html.在一個清晣的觀點上,Zhang等人7 展示了各個尺寸簡潔的周期孔狀結(jié)構(gòu)能在外部刺激下發(fā)生動態(tài)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變。在緩慢的靜力學
6、應(yīng)變下,納米管的圓形相交區(qū)域在邊緣處逐漸轉(zhuǎn)變成圓角六邊形當應(yīng)變達到6%的時候。他們證實了這是在范德瓦爾斯力作用下達到能量最小化的結(jié)果。裝滿圓形塑料管的容器在加熱至其熔點,則由于表面能最小化的作用塑料管的管壁融合到一起,從而使其接觸面積增加且接觸面變平。 在這篇簡短的論文里,著重展示了緊挨著的塑料管簇在一定的導向加熱到其熔點,隨著熔合過程的進行,管簇逐漸變成圓角六邊形的孔狀壁,這是由于三重結(jié)合處的熔體的粘彈性所導致的。2數(shù)學原理考慮新造的蜂窩最初的形態(tài)(圖1a)。每個工蜂在聯(lián)結(jié)處背靠背地工作,在對立處造出了新的孔狀結(jié)構(gòu)。專業(yè)的熱工蜂揉合并加熱三重結(jié)合處的縫隙直到在45度左右。以這種方式,一種粘性
7、液體(或半固體)在三重結(jié)合處的兩個相鄰的圓管之間形成凹液面。由于這個液橋的表面張力的作用,在聯(lián)結(jié)處形成了一個負壓,它反過來使管壁處于一個拉伸狀態(tài)(圖2b)。之后管壁隨著這個過程持續(xù)延伸。聯(lián)結(jié)處的管壁逐漸地熔合在一起以增加不同的管之間的接觸面積。理論上,這個過程能一直進行直到管壁都變成平面從而有一個最小的表面能,并且形成一系列有清晣的角度的六邊形結(jié)構(gòu)。但是從我們下面的證明可以得知,那需要無限長的時間。因此在實際情況下會形成一系列圓角六邊形的單元。熔合的模型如圖2所示。在這個模型中液橋中凹液面處的負壓q造成了管壁中的拉力t ,和力tq=,t=rh,t=(23-)R0R0,=-23-rdrdt (2
8、.1)是凹液面的曲率半徑,是蜂蠟在45度左右時的表面張力,h是管壁的壁厚。R0和r分別是原始的和變形后的圓形的平均半徑。Shellhammer等人10在實驗上展示了在兩個并列的麥克斯韋元素之間包含一個彈性力的一般的麥克斯韋模型。然而,在間歇期內(nèi)兩個麥克斯韋元素中的一個是另一個的100倍,通常的麥克斯韋模型能被只擁有一個彈性元素且平行于另一個麥克斯韋元素。衡量這個間歇期的模量可以由下面的簡單式子描述EtED=E0ED+E1EDe-tr (2.2)蜂窩的粘習性行為可以由正式描述t+tr=ED(+c),(2.3)其中r=/E1,c=rEDE0,ED=E0+E表示蜂蠟的粘性,聯(lián)立(2.2),(2.3)
9、并帶入(2.1)得到下式(r*=1,t=0)t=cln*-c+r1+fln(f+1r*-f)(2.4)這里f=(23-)/)E0*h*R0,從式(2.4)可知要讓六邊形形成清晣的角度所需要的時間無限長,因此在蜂窩中六邊形的角是圓角(r*>0).為了估計圓形單元演變到圓角六邊形所需要的時間,有必要使用蜂蠟的特性和圓形單元最初的幾何數(shù)據(jù)(R0=3mm)意蜂的新蜂窩的壁厚(h)已經(jīng)被測量并且被Zhang等人2報道出來,其平均值是90m。它的表面張力較低,圖1.意蜂巢(a)初態(tài),(b)兩天后狀態(tài),比例尺2mm從20攝氏度的37*10-3Nm-1減至45攝氏度左右的33*10-3Nm-111。盡管
10、在20攝氏度左右的兩天的意蜂蜂窩壁的彈性模量已被Zhang等人2測量出來了,但是在25攝氏度,蜂窩最初的壁較兩天后的蜂窩壁松散。因此,最初蜂窩壁的彈性模量比兩天后的蜂窩壁的小得多。我們使用Shellhammer等人測量的25攝氏度的蜂蠟的值:ED=34.44kPa,r=14.31s,=rE1=108.4kPa s,這個估計值據(jù)Darvell和Wong12報道在30-40攝氏度范圍中時在104-1010Pa s。眾所周知的是一種新鮮的非洲蜂蠟當溫度從25攝氏度上升到45攝氏度時彈性模量減少3.5%.我們能推測意蜂蜂蠟也有類似的特性,那就意味著在45攝氏度時, ED=9.84kPa,r=4.09s
11、,=8.85kPa.2.1圖景1液橋中熔融的蜂蠟被未加熱的蜂蠟壁包圍。這種液-固態(tài)的胞壁材料可圖2.(a)三重結(jié)合處的轉(zhuǎn)變過程示意圖一個顯著的區(qū)域放大圖(b),圖中黑色部分表示熔融蜂蠟。以被估計是一種粘彈性的混合相。假設(shè)這種粘彈性熔體的體積分數(shù)是10%,胞壁材料的粘度是10。同樣,45度時胞壁材料的彈性模量等于0.1ED,25度時是0.9ED.所以對胞壁的組成來說,我們在混合物下的液橋,ED=31.98kPa,=88.5kPa s.還有一個剩下的參數(shù)就是凹液面的曲率半徑。如果不能就地測量出它的值那么很難得到它的值的大小,但是可以通過以下的方法來進行估計。當三重結(jié)合處的蜂蠟橋一個挨著另一個,那么
12、凹液面形成一個曲率半徑為的圓。從幾何圖形上,可以得到這個常數(shù)r*=(23+3) *。(2.5)很明顯*0.155。那么式(2.4)可以被寫作t=20.29lnr*-20.29+12.581+0.859r*(lnr*+ln0.859r*+0.141)(2.6)例如,半徑減小到1mm(r*=1/3, *=0.052),所需時間可以由式2.6計算得出,結(jié)果為36.3s。圖3.在兩個不同的木制框架中筑造的蜂窩圖4.用通用麥克斯韋粘彈性蜂蠟模型來衡量變形時半徑r*的變化(紅實線表示只在三重結(jié)合處加熱,虛線表示加熱整個蜂窩單體圓周時的半徑隨時間變化2.2圖景2聯(lián)結(jié)處熔融的蜂蠟在整個單元受熱時可以不受限制的
13、流動。這就意味著可以不額外引入液-固相組分并且整個材料有以下特性:ED=9.84kPa,r=4.09s,=8.85kPa.從而有=8.85kPa s.在這種情況下,式2.4只能用來計算大概的半徑r*的變化,因為它并不包括因整體加熱膨脹導致的胞壁上小的附加的拉力。變換材料的特性參數(shù),把式2.5帶入式2.4我們能夠得到一個類似式2.6的式子,在這是我們不再贅述。然而,很清楚的是這個圖景更加動態(tài)化。例如,半徑減小到1mm時(r*=1/3, *=0.052),相比圖景1的時間消耗36.3s,這里時間消耗僅為6.1s。這個無量綱的隨時間變化的圓角六邊形半徑r*的結(jié)果如圖4。換句話說,圓形的蜂窩單元開始向
14、圓角六邊形轉(zhuǎn)變從工蜂剛開始加熱三重結(jié)合處或者整個單元就開始了。通過對蜂窩最初的筑造過程的觀察證實了這個說法。圖1a展示了工蜂一進入筑造蜂窩的過程。在蜜蜂把巢筑好之前養(yǎng)蜂人用煙將蜜蜂驅(qū)趕出來。以便觀察所有的蜂窩單元。只有蜂窩底部的一些單元還沒有完成,單元的直徑小于1mm(圖1a)。即使圓形單體已經(jīng)形成了常見的六邊形且離蜂窩底部只有0.5mm。這表明圓形單元蜜蜂筑巢過程中轉(zhuǎn)變?yōu)閳A角六邊形。蜂窩筑造完成后,我們發(fā)現(xiàn)每個單元都在標準的長度(約10mm)并且沒有圓柱形剩下(圖1b)。事實上,我們著重于從機理上證實了二維上蜂窩從圓形單元轉(zhuǎn)變?yōu)榱呅蔚倪^程。我們不能,但是我們驚訝于蜜蜂在這個過程中所扮演的關(guān)
15、鍵角色,它們?nèi)嗪?,加熱并且把蜂蠟薄化到所需要的程度。我們似乎必須提到第三維因素使我們計算出的結(jié)果變大了。最后,列舉了兩種最可能的圖景來描述蜂窩單元從圓形演變到圓角六邊形,并且在圖4中比較了這兩個過程中的相關(guān)參數(shù)。References1. Pirk CWW, Hepburn HR, Radloff SE, Tautz J. 2004Honeybee combs: construction through a liquid equilibrium process? Naturwissenschaften 91, 350353.(doi:10.1007/s00114-004-0539-3)2. Zh
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