和圓有關(guān)的常用輔助線

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上和圓有關(guān)的常用輔助線1.若題中有與半徑（或直徑或過圓心的直線）垂直的線段，或遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）：常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。以便利用：利用垂徑定理；利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。例：如圖，C經(jīng)過原點(diǎn)O，且與兩坐標(biāo)軸分別交與A（0，8）、B，M是劣弧OB上任意一點(diǎn)（不含O、B），BAO=600。（1）求證：AB為圓C的直徑；（2）求BMO的大??；（3）求圓C的半徑及圓心C的坐標(biāo) 例：如圖，AB是O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CEAB于E

2、，BD交CE于點(diǎn)F。（1）求證：CF=BF；（2）若AD=2，O的半徑為3，求BC 例：如圖，已知O1與O2為等圓，P為O1、O2的中點(diǎn)，過P的直線分別交O1、O2于A、C、D、B.求證：AC =BD 例：半徑為5的圓中，求兩條長為8和6的平行弦之間的距離 2.遇到有直徑或利用直徑但沒有直徑時：常常添加直徑所對的圓周角或添加直徑。以便利用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。例：如圖，已知RtABC中，以AB為直徑作一圓交斜邊AC于D，DE切圓于點(diǎn)D，交BC于E.求證：EB=EC 例：如圖,AB為O的弦,C為O上一點(diǎn),AD和過C點(diǎn)的切線垂直,垂足為D，1=2，求證：AB為O的直徑 例：如圖,

3、 點(diǎn)A、B、C在O上（AC不過O點(diǎn)），若ACB=600,AB=6，求O半徑的長 例：已知O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O1在O2上，C為O2上一點(diǎn)（不與A，B，O1重合），直線CB與O1交于另一點(diǎn)D.如圖（1），若AC是O2的直徑，求證：ACCD；如圖（2），若C是O1外一點(diǎn)，求證：O1CAD；如圖（3），若C是O1內(nèi)的一點(diǎn)，判斷（2）中的結(jié)論是否成立 3.遇到90度的圓周角時：常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。以便利用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例：如圖，AB、AC是O的的兩條弦，BAC=90°，AB=6，AC=8，求O的半徑 例：如圖，O通過原點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸分別交于A,D兩

4、點(diǎn)，已知OBA=30°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)，求點(diǎn)A ,C的坐標(biāo) 4.遇到弦時：常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個端點(diǎn)。以便利用：可得等腰三角形； 據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角例：如圖，弦AB的長等于O的半徑，點(diǎn)C在弧AMB上，則C的度數(shù)是_ 5.遇到有切線時：（1）常常添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）以便利用：利用切線的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn) 以便利用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理例：如圖，AB為直徑，PD是O切線，CO=CD，求PCA 例：如圖,AB為O的直徑,C為O上的一點(diǎn),A

5、D和過C點(diǎn)的切線垂直,垂足為D，求證：1=2 例：如圖，點(diǎn)E在x軸正半軸上，以點(diǎn)E為圓心，OE為半徑的E與x軸相交于點(diǎn)C，直線AB與E相切于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）（1）求E的半徑長；（2）連接BE、CD，則BE與CD平行嗎，為什么？ 6.遇到證明某一直線是圓的切線時：（1）若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。以便利用：若OA=r，則l為切線。（2）若直線過圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑）以便利用：只需證OAl，則l為切線。（3）有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線例：如圖，AB為O直徑，D是O上的一點(diǎn)，過O點(diǎn)作AB的垂線交AD于E，交BD

6、的延長線于點(diǎn)C，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且FDFE(1)請?zhí)骄縁D與O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若O的半徑為2，BD，求BC的長 例：已知：如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點(diǎn)，連接DE，求證：DE與半圓O相切 例：如圖，以ABC的邊AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D，且過點(diǎn)D的切線DE平分邊BC.(1)請?zhí)骄緽C與O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時，以O(shè)、B、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？ 例：已知：ABCD的對角線AC、BD交于O點(diǎn)，BC切O于E點(diǎn).求證：AD也和O相切 7.遇到兩相交切線時（切線長）：常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心

7、和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。以便利用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到： 角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形例：如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，C=90°，以CD為直徑的圓與AB相切，AB=6，求梯形ABCD的中位線長 例：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，BAD=90°，以AD為直徑的O與BC相切.(1)求證：OB丄OC; (2)若AD=12，BCD=60°，O1與半O外切，并與BC、CD相切，求O1的面積 8.遇到三角形的內(nèi)切圓時：連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。以便利用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：內(nèi)心到三角形三個頂點(diǎn)的連線是三角形

8、的角平分線；內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等例：如圖，ABC中，A=45°，I是內(nèi)心，求BIC 例：如圖，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求RtABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離 9.遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)，以便利用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等例：如圖O是ABC，圓心O在這個高AD上，AB=10，BC=12，求O半徑 例：（1）已知I為三角形ABC的內(nèi)心，連接AI交三角形ABC的外接圓于點(diǎn)D，如圖所示，連接BD和CD，求證：BD=CD=ID；（2）己知三角形ABC，AD平分BAC且與它的外接圓交于點(diǎn)D，在線段A

9、D上有一點(diǎn)I滿足BD=ID試問點(diǎn)I是否是三角形ABC的內(nèi)心？若是加以證明；若不是，說明理由 10.遇到兩圓外離時（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）：常常作出過切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。以便利用：利用切線的性質(zhì)；利用解直角三角形的有關(guān)知識例：在直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O1（-4，0），半徑為8的O1與x軸交于A、B，過A作直線l與x軸負(fù)方向成60°角，且交y軸于點(diǎn)C，以點(diǎn)O2（13，5）為圓心的圓與x軸切于點(diǎn)D（1）求直線l的解析式；（2）將O2以每秒1個單位長的速度沿x軸向左平移，當(dāng)O2第一次與O1外切時，求平移的時間 例：如圖，已知O1和O2的半徑分別為2cm和7cm，

10、圓心距O1O2=13cm，AB是O1和O2的切線，切點(diǎn)分別為A、B，求線段AB的長 11.遇到兩圓相交時：常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等。以便利用：利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識；利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)； 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；垂徑定理例：如圖，O1與O2相交于A、B，過A的直線分別交O1、O2于C、D，過B的直線分別交O1、O2于E、F.求證：CEDF 例：如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，AD是O1的直徑，且圓心O1在O2上，連結(jié)DB并延長交O2于點(diǎn)C，求證：CO1AD。 例：如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓半徑分別為和，公共弦AB的長為12，求O1AO2的度

11、數(shù)。 例：如圖， O1 、O2交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A的直線分別交兩圓與點(diǎn)C、D，點(diǎn)M是CD上一點(diǎn)，直線BM分別交兩圓與點(diǎn)E、F 求證：CEDF 12.遇到兩圓相切時：常常作連心線、公切線。以便利用：利用連心線性質(zhì)；切線性質(zhì)等例：如圖，O1和O2外切于點(diǎn)A，BC是O1和O2外公切線，B、C為切點(diǎn)，求證：ABAC 例：如圖，A和B外切于點(diǎn)P，CD為A、B的外公切線，C、D為切點(diǎn)，若A與B的半徑分別為r和3r,求CD的長；B的度數(shù) 13.遇到三個圓兩兩外切時：常常作每兩個圓的連心線。以便利用：可利用連心線性質(zhì)例：如圖，O1，O2，O3三圓兩兩相切，AB 為O1，O2的公切線， 弧AB為半圓，且分別與三

12、圓各切于一點(diǎn)若O1，O2的半徑均為1，求O3的半徑 例：如圖,施工工地水平地面上有三根外徑都是1米的水泥管,兩兩外切堆放在一起,求最高點(diǎn)到地面距離 例：已知圖中各圓兩兩相切， O的半徑為2R, O1 、O2 半徑為R，求O3的半徑 14.當(dāng)從一個點(diǎn)引出的三條線段或更多條線段相等時，或遇到四邊形對角互補(bǔ)，或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時常常添加輔助圓。以便利用：以便利用圓的性質(zhì)例：若上圖中有公共斜邊的兩個直角三角形中分別含45°和30° 角，連結(jié)BD交AC于G，（1）你能求出哪些角的度數(shù)（2）若AC=8，你都能求出哪些線段的長度（3）求SBDC 例：如圖，已知OA=OB=OC，ABC=900，求（DAO+DCO）的度數(shù) 例：已知從點(diǎn)O處引出點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B，且OA=OB=OC,AOB=780,求ACB 15.過小圓圓心作大圓半徑的垂線構(gòu)造直角三角形例：如圖，O1與O2外切于點(diǎn)O，兩外公切線PCD和PBA切O1、O2于點(diǎn)C、D、B、A，且其夾角