能控性及能觀測(cè)性

1、第三章：控制系統(tǒng)的能控性及能觀測(cè)性(第五講)內(nèi)容介紹：能控性和能觀測(cè)性定義、判據(jù)、對(duì)偶關(guān)系、標(biāo)準(zhǔn)型、結(jié)構(gòu)分解。能控性和能觀測(cè)性是現(xiàn)代控制理論中最基本概念，是回答：“輸入能否控制狀態(tài)的變化”及“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來(lái)”這樣兩個(gè)問(wèn)題。換句話說(shuō)，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)變化”。能觀測(cè)性問(wèn)題是：“能否通過(guò)輸出y(t)觀測(cè)到狀態(tài)的變化?！币?、能控性定義及判據(jù)給出一個(gè)多變量系統(tǒng)（多輸入、多輸出）y1：ymu1：upG(s)若系統(tǒng)G(s)在適當(dāng)?shù)目刂苪(t)作用下，每個(gè)狀態(tài)都受影響，亦在有限的時(shí)間內(nèi)能使系統(tǒng)G由任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，或者說(shuō)在有限的時(shí)間內(nèi)能使系統(tǒng)由零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到

2、任意指定狀態(tài)。這說(shuō)明： 輸入對(duì)狀態(tài)的控制能力強(qiáng)，反之若G的某一狀態(tài)根本不受影響，那么在有限時(shí)間內(nèi)就無(wú)法利用控制使這個(gè)狀態(tài)變量發(fā)生變化。說(shuō)明輸入對(duì)狀態(tài)控制能力差?？梢?jiàn)：反映輸入對(duì)狀態(tài)控制能力的概念是能控性概念。1 定義：若對(duì)系統(tǒng)，在時(shí)刻的任意狀態(tài)x()都存在一個(gè)有限的時(shí)間區(qū)間（）（）和定義在上適當(dāng)?shù)目刂苪(t),使在u(t)作用下x()=0。則稱系統(tǒng)在時(shí)刻是狀態(tài)能控的。 如果系統(tǒng)在有定義的時(shí)間區(qū)域上的每一時(shí)刻都能控，稱系統(tǒng)為完全能控。Ex: 考查能控性？狀態(tài)變量圖（信號(hào)流圖）： EMBED Equation.3 u y 2由于u的作用只影響不影響，故為不能控。某一狀態(tài)不能控，則稱系統(tǒng)不能控。2判

3、據(jù)：對(duì)線性定常系統(tǒng)=Ax+Bu，若對(duì)某一時(shí)刻能控，則稱系統(tǒng)完全能控。=Ax+Bu y=cx設(shè)：p輸入、m輸出 、給出一定理：由=Ax+Bu所描述的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的必要且充分條件為下列n×np陣的秩等于n。=B AB 稱為能控性陣。換言之：系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控的必要且充分的條件是能控性陣的秩為n。定理證明可參考書(shū)。 狀態(tài)完全能控稱“（A，B）能控”例： 則系統(tǒng)為二階 ，n=2B AB = rankB AB=2=n秩的確定：最高階不為0子式的階次 可知：系統(tǒng)的狀態(tài)能控，稱（A，B）能控信號(hào)流圖： 2 1 3u1,u2均對(duì)x1,x2有影響順便：計(jì)算的行數(shù)小于列數(shù)的矩陣的秩時(shí)，應(yīng)用下列關(guān)系

4、較方便： rank()=rank()為方陣其秩計(jì)算較簡(jiǎn)單。利用判定能控性方法被廣泛采用。新出現(xiàn)的PBH秩檢驗(yàn)法也可用于能控性判別。PBH秩檢驗(yàn)法：系統(tǒng)能控的充分必要條件是：rank B =n。 式中為A的各特征值。Ex: |lI-A|=（l-1）（l-2）（l-3）l1=1，l2=2，l3=3 而 rankB lI-A=rankl3=3時(shí)，rankB ,lI-A=2<3系統(tǒng)不能控。3. 能控性的不變性及第二判據(jù)能控性不變性：系統(tǒng)的狀態(tài)經(jīng)線性變換其能控性不變。具有能控性前述：第一種判據(jù)使用方便，但如果系統(tǒng)狀態(tài)不能控，難以找出究竟哪個(gè)狀態(tài)失控。第二判據(jù)可以給出回答。結(jié)論（第二判據(jù)）： 具有互

5、異特征值的系統(tǒng)其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是經(jīng)非奇異變換化為對(duì)角型時(shí)，對(duì)應(yīng)輸入陣無(wú)全零行。亦：式中陣不含元素全為零的行換言之，中全零行對(duì)應(yīng)的狀態(tài)就是不能控狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)具重特征值，且每個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)單一約當(dāng)塊時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)能控的充要條件是經(jīng)非奇異變換化為約當(dāng)型時(shí)，輸入陣中與約當(dāng)塊末行對(duì)應(yīng)行無(wú)全零行。 亦： 上式中每個(gè)約當(dāng)塊的最后一行對(duì)應(yīng)的陣中的各行元素不全為零。若重特征值不對(duì)應(yīng)單一約當(dāng)塊時(shí)，則該特征值所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)能控的充要條件是相重特征值的每個(gè)約當(dāng)小塊最后一行對(duì)應(yīng)的陣中的各行線性無(wú)關(guān)。Ex: 可見(jiàn)，此為約當(dāng)型，狀態(tài)能控。（注：每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)單一約當(dāng)塊。）特征值=4（二重）對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)

6、中第二行為全零行?？梢?jiàn)：不能控。又： （注：特征值對(duì)應(yīng)非單一約當(dāng)塊）中相關(guān)行線性無(wú)關(guān)時(shí)能控否則不能控。4 輸出能控性類(lèi)似可定義輸出能控性，并給出判據(jù)。輸出能控的條件為：的秩為m。舉例：由第二判據(jù)，判定能控性。解：1）、求P特征值=-5、=1求(IA)之第一行代數(shù)余子式組成之代數(shù)余子式2）、B= 出現(xiàn)全零行，故系統(tǒng)第二狀態(tài)應(yīng)不能控。 1 U 1 5可見(jiàn)：u能控制ex3 求對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)造P陣 EMBED Equation.3 可見(jiàn)：中與約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)行出現(xiàn)全零行與能控性相關(guān)可以證明：具有能控標(biāo)準(zhǔn)型的系統(tǒng)一定能控。 而且能控的系統(tǒng)一定可以化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。注意：離散系統(tǒng)的能控性可類(lèi)似給出。二、能觀測(cè)

7、性及判據(jù)能觀測(cè)性是回答：能否由輸出唯一確定狀態(tài)x相的問(wèn)題。由輸出方程： y=cx(t)由于c的各元素不同，每個(gè)狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)輸出的響應(yīng)也不同，而若系統(tǒng)的任意狀態(tài)分量從輸出y(t)的觀測(cè)中沒(méi)有反映，那么該狀態(tài)就是不能觀測(cè)的。1 定義：若任意狀態(tài)x() 可在有限時(shí)間間隔內(nèi)， 由y(t)及任意給定的u(t)唯一確定， 稱在時(shí)刻狀態(tài)為能觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱能觀。 若為任意，則稱系統(tǒng)完全能觀測(cè)。 對(duì)線性定常系統(tǒng)只要在某時(shí)刻能觀測(cè)，則系統(tǒng)定為完全能觀。Ex: y=考查狀態(tài)變量圖： 1 u EMBED Equation.3 y3 2從圖上知：、無(wú)關(guān)聯(lián)。y=并不能得到為不能觀測(cè)的，所以系統(tǒng)不能觀。Ex: y= u y亦y

8、= ，可觀測(cè)。且影響亦對(duì)y有影響，能觀。2. 判據(jù)對(duì)給定系統(tǒng) 完全能觀充要條件能觀測(cè)陣 的秩為n。的秩為n。常用： 稱能觀測(cè) ex：已知：n=2、p=1、m=2、系統(tǒng)能觀3能觀測(cè)性的不變性及第二判據(jù)系統(tǒng)經(jīng)線性變換能觀性不變。x=pz第二判據(jù)： A特征值互異時(shí) 由線性變換知存在P將A化為 系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是CP中無(wú)全零列。 A有重特征值時(shí)存在P可將A ® J系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是：一特征值對(duì)應(yīng)一約當(dāng)塊時(shí) CP陣中與各約當(dāng)塊首行對(duì)應(yīng)的各列中無(wú)全零元素。一特征值對(duì)應(yīng)約當(dāng)塊不單一時(shí)，CP中與（重特征值的）每個(gè)約當(dāng)塊首行相對(duì)應(yīng)的列線性無(wú)關(guān)時(shí)，具有能觀性。Ex:可見(jiàn) A為對(duì)角陣，無(wú)全零列，能

9、觀。A為對(duì)角陣中第二列全為零（時(shí)）說(shuō)明對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量不能觀測(cè)，系統(tǒng)不能觀。Ex3:A為約當(dāng)量，具有重特征值，只有一約當(dāng)塊，輸出陣中與約當(dāng)塊第一行對(duì)應(yīng)的第一列不全為零，故系統(tǒng)能觀。 Ex4: 具二重特征值，但A中有二約當(dāng)塊，經(jīng)考查，CP中與每個(gè)約當(dāng)塊首行對(duì)應(yīng)的列的線性相關(guān)性決定能觀性。*所謂“線性相關(guān)”是存在非零行向量并能將其中之一向量表示成其它向量的線性組合。此例只經(jīng)考查與是否線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)時(shí), 系統(tǒng)能觀，否則不能觀。*若一個(gè)系統(tǒng)即為能控, 又為能觀，稱系統(tǒng)為能控能觀。一般實(shí)際系統(tǒng) 均具能控 能觀性。稱S(A,B,C)能控能觀。三、對(duì)偶關(guān)系1、能控且能觀的系統(tǒng)經(jīng)典控制理論中，用以描述線性定常

10、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型常采用傳遞函數(shù)，且當(dāng)時(shí)假定給出的傳遞函數(shù)都沒(méi)有零極點(diǎn)相消情形。事實(shí)上：傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)是能控且能觀的。結(jié)論：若描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無(wú)零極相消， 則系統(tǒng)總可用狀態(tài)空間表達(dá)式表作成完全能控，完全能觀的系統(tǒng)。事實(shí)上，對(duì)存在零極相消傳遞函數(shù)，由于其狀態(tài)變量取法不同，系統(tǒng)將表示為不能控或不能觀系統(tǒng)。Ex：設(shè)方程化為y=x1 (可驗(yàn)證系統(tǒng)為能觀不能控的)引入變量x（啞元） EMBED Equation.3 使 y=令方程有： y=+可驗(yàn)證系統(tǒng)為能控不能觀測(cè)的。 （能控標(biāo)準(zhǔn)型）(此系統(tǒng)可控不能觀)可見(jiàn)，經(jīng)典理論中介紹傳遞函數(shù)概念（無(wú)零極相消）是現(xiàn)代控制理論中描述系統(tǒng)的一類(lèi)能控且能觀。單從面上，

11、經(jīng)典理論研究的范圍窄了。一般系統(tǒng)或能控能觀，或能控不能觀，或能觀不能控，或不能控不能觀。2、對(duì)偶關(guān)系設(shè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示 其能控矩陣 能觀測(cè)陣 ，再設(shè)一系統(tǒng)與對(duì)應(yīng)（稱為的對(duì)偶系統(tǒng)）。其能控性陣：其能觀性陣：對(duì)比：的能控陣與能觀陣同；的能控性陣與能觀性陣同?？傻玫綄?duì)偶原理：系統(tǒng)能控（能觀測(cè)）則對(duì)偶系統(tǒng)能觀測(cè)（能控）。通常采用對(duì)偶原理推斷對(duì)偶系統(tǒng)的性質(zhì)、特性。四、系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型所謂標(biāo)準(zhǔn)型是指狀態(tài)空間表達(dá)式的某種特定規(guī)范形式。各種標(biāo)準(zhǔn)型不僅可揭示系統(tǒng)代數(shù)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特點(diǎn)，同時(shí)為以后分析、研究系統(tǒng)（系統(tǒng)的識(shí)別、實(shí)現(xiàn)、指定、位動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)龋┨峁┝酥匾芯抗ぞ?。前已介紹了用特征向量法如何得到

12、對(duì)角型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，今天介紹能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。1、單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型 能控標(biāo)準(zhǔn)型有兩種形式，若直接取能控陣中的n個(gè)列向量為基底，所導(dǎo)出的狀態(tài)空間表達(dá)式稱為第一能控標(biāo)準(zhǔn)型。線性變換對(duì)應(yīng)的陣P=（以為基底）其中，為的系數(shù)與此對(duì)應(yīng)在§14實(shí)現(xiàn)問(wèn)題中介紹的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)能控型實(shí)現(xiàn)： 稱為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型。其中，為：G(s)=中分母多項(xiàng)式的系數(shù)。事實(shí)上，第二能控標(biāo)準(zhǔn)型是以 b,Ab,等n個(gè)列向量的某種組合為基底得到的標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)應(yīng)線性變換陣Ex：將下?tīng)顟B(tài)空間表達(dá)式變換為第一能控標(biāo)準(zhǔn)型。解：構(gòu)造= = rank=3 所以系統(tǒng)能控， 可化為第一能控標(biāo)準(zhǔn)型。（線變：） 計(jì)算 det EMBED E

13、quation.3 可見(jiàn)： EMBED Equation.3 另設(shè)線性變換： x=取=則= = EMBED Equation.3 （為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型）其中，中為的系數(shù)。2、單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型也有兩種形式：1） 非奇異陣 進(jìn)行線性變換 可得到= = EMBED Equation.3 = 1 0 . . . .0 = C，其中為逆，稱為第一能觀標(biāo)準(zhǔn)型。2）以非奇異陣 進(jìn)行變換x= EMBED Equation.3 得到：=C= 0 . . . . . 0 1 稱為第二能觀標(biāo)準(zhǔn)型。其中：ai 為系數(shù)。3、變輸入變輸出系統(tǒng)的能控性及能觀性標(biāo)準(zhǔn)型五、線性系統(tǒng)（定常）的結(jié)構(gòu)分解 如果一個(gè)n

14、維系統(tǒng)是不完全能控的，且rank，則其狀態(tài)空間中所有的個(gè)能控狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)維能控子空間，而其余n個(gè)不能控狀態(tài)形成一個(gè)（n）維不能控子空間。對(duì)n維系統(tǒng)rankQ0則同樣有能觀子空間（維），n維不能觀子空間。 一般情況下，這些子空間并沒(méi)有被分解出來(lái)。本節(jié)目的：就是將通過(guò)非奇異變換，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。1 能控性分解定理：設(shè)線性定常系統(tǒng) å (A , B, C)是狀態(tài)不完全能控，其能控陣QC的秩rank QC=n1<n則存在非奇異變換使?fàn)顟B(tài)空間表達(dá)式變換為 其中， EMBED Equation.3 并且是能控的，即能控。而是不能控的，即不能控。非奇異變換陣前

15、n1個(gè)列向量可由中順次取n1個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，另外(n-n1)個(gè)列向量在確得非奇異條件下是任意。結(jié)構(gòu)分解如圖示： u y可見(jiàn)，能控子系統(tǒng)åc：能控(n1維) 不能控子系統(tǒng)：不能控（n-n1維）2。按能觀性分解定理：:若線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀。 能觀陣的秩rank=n2<n 則存在非奇異陣x=。狀態(tài)空間表達(dá)式變換為 =X+BU y=其中 EMBED Equation.3 并且是能觀測(cè)，即能觀；而是不能觀測(cè)的，即不能觀。后（nn2）個(gè)向量在保證非奇異條件下可任意。前n2個(gè)行向量R1.Rn1是從能觀測(cè)陣中順次取的n1個(gè)線性無(wú)關(guān)向量。非奇異陣結(jié)構(gòu)分解圖如圖： u y 能觀測(cè)子系統(tǒng)

16、å0 ：（n2維子系統(tǒng)能觀測(cè)）不能觀測(cè)系統(tǒng):例1、 對(duì)以下系統(tǒng)進(jìn)行能控性結(jié)構(gòu)分解解：rank=2<3不能控，存在一狀態(tài)不能控。構(gòu)造 （其中R3=為任意）變換后 EMBED Equation.3 u3按能控性和能觀性分解對(duì)線性定常系統(tǒng)如果不完全能控和不完全能觀，那么可對(duì)該系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀性進(jìn)行分解。這樣將使系統(tǒng)分解為四個(gè)部分。能控且能觀，能控不能觀，不能控能觀，不能控且不能觀四個(gè)系統(tǒng)。對(duì)這樣的系統(tǒng)須經(jīng)幾次變換可將系統(tǒng)分解為不同子系統(tǒng)，稱之為逐步分解法。1） 先將系統(tǒng)按能控性分解 EMBED Equation.3 2） 上式中不能控子系統(tǒng)按能觀性分解。對(duì)取變換=可將分解為：

17、其中是按能觀測(cè)分解的變換陣。3） 后將能控子系統(tǒng)按能觀性分解，對(duì)取線性變換=則, 將R01 R02代入 EMBED Equation.3 可見(jiàn)：為能控能觀， 能控不能觀狀態(tài)。經(jīng)以上三次變換，可導(dǎo)出系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解形式：步驟：例2：對(duì)例1結(jié)構(gòu)分解1、 將系統(tǒng)先按能控性分解（由例1已知）2、 可見(jiàn)：不能控子系統(tǒng)是能觀測(cè)的， 即（不能控能觀測(cè)）無(wú)需再行分解。3、 將能控子系統(tǒng) 按能觀性分解， 構(gòu)造非奇異陣 則綜合上述結(jié)果：六、傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)前已述及傳遞函數(shù)（陣）的實(shí)現(xiàn)并非唯一，稱所有實(shí)現(xiàn)中階次最低的實(shí)現(xiàn)為最小實(shí)現(xiàn)。 對(duì)傳遞函數(shù)而言（單輸入單輸出系統(tǒng)）， 一旦給出了G(s)便可直

18、接寫(xiě)出其實(shí)現(xiàn)。(按第二標(biāo)準(zhǔn)型)(能控標(biāo)準(zhǔn)型)或(能觀標(biāo)準(zhǔn)型)其中,為G(s)系數(shù)這里已假定G(s)滿足物理上可實(shí)現(xiàn)的條件：1、 分子多項(xiàng)式階次m分母多項(xiàng)式階次n；2、 多項(xiàng)式系數(shù)為實(shí)常數(shù)。 傳遞函數(shù)（陣）所反映的是系統(tǒng)中能控且能觀測(cè)的子系統(tǒng)。 因此，既可用能控性作為實(shí)現(xiàn)，又能用能觀標(biāo)準(zhǔn)型作實(shí)現(xiàn)。將G(s)化寫(xiě)為：（類(lèi)似于傳遞函數(shù)形式）其中均為m´p陣分母多項(xiàng)式為特征多項(xiàng)式?？梢?jiàn)，G是一個(gè)陣有理分式陣。其能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為：Op，Ip均為p´p陣，P為輸入維數(shù)。實(shí)現(xiàn)的維數(shù)可見(jiàn)為np維（n為分母多項(xiàng)式階次），(p=m=1時(shí)，簡(jiǎn)化為n維。)同樣能觀形實(shí)現(xiàn)有： 其中Om,Im為m´m零陣、單位陣，m維輸出向量維數(shù)，實(shí)現(xiàn)的維數(shù)為mn?？梢?jiàn)：mp時(shí)，應(yīng)采用能控形實(shí)現(xiàn)（維數(shù)低）； mp時(shí)，應(yīng)采用能觀性實(shí)現(xiàn)。應(yīng)注意：G(s)為嚴(yán)格真有理分式陣。1Gij(s)的分子階次低于分母階次