復(fù)習(xí)事變實(shí)變函數(shù)卷VIP

1、誠(chéng)信應(yīng)考,將帶來(lái)嚴(yán)重后果！華南理工大學(xué)期末實(shí)變函數(shù)-A試卷注意事項(xiàng)：1.2. 所有3請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫清楚； 請(qǐng)直接答在答題紙上；形式：閉卷；4. 本試卷共四大題，滿分 100 分，時(shí)間 120 分鐘。一、多項(xiàng)選擇題（4×3 分=12 分）1.設(shè) E 是孤立點(diǎn)集，則（）。C. E' I E = fA. E ' = fB. E £ ÀD. E = E02. 設(shè)fn (x)是可測(cè)集 E 上的簡(jiǎn)單函數(shù)列， lim fn (x) = f (x), x Î E ，則（）。n®¥A. f (x) 是 E 上的簡(jiǎn)單函數(shù)； B.

2、 f (x) 是 E 上的可測(cè)函數(shù)；C. f (x) 是 E 上的可積函數(shù)。3. 設(shè) f (x) Î R，則 F (x) =f (t)dm 是 a, b上的（xò）。a,bA. 絕對(duì)連續(xù)函數(shù)4. 設(shè)S1 U S2 是可測(cè)的，則（aB. 有界變差函數(shù)）。C. 單調(diào)函數(shù)A. S1 ， S2 均可測(cè)；B. 又若S1 可測(cè)，那么S2 可測(cè)；C. 又若mS1 = 0 ，那么S2 可測(cè)； D.又若S1 可測(cè)， S1 I S2 = f ，那么S2 可測(cè)。二、簡(jiǎn)答題（2×6 分=12 分）1. 試問(wèn) Cantor 函數(shù)q (x) 是否是有界變差函數(shù)？ 是否是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)？x

3、42;F(x) = q (t)dm 是否是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)？（說(shuō)明理由，不必證明）a1學(xué)院專業(yè)座位號(hào) 內(nèi) 不 答 題 ) 線 封 線 專業(yè)座位號(hào))題號(hào)一二三四總分得分評(píng)卷人2. 敘述可測(cè)函數(shù)列幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂、近一致收斂的定義，并說(shuō)明它們之間的關(guān)系。（不需證明）三、下列命題是否正確？若正確給出證明；若不正確舉出反例。（5×7 分=35 分）1.設(shè) E 是 有 界 可 測(cè) 集 ， f (x) 在 E 上 可 測(cè) ,j(x) Î LE , g(x) Î LE ，j (x) £ f (x) £ g(x), a.e.于E, 則 f (x) 

4、6; LE 。2.設(shè) f (x) = 0, a.e.于a, b，則f (x) Î Ra,b 且f (x) Î La,b 。2學(xué)院專業(yè)座位號(hào) ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 ) 封 線 3. 設(shè) f (x) Î BVa,b ，則$g(x) Î ACa,b ，使得( f (x)- g(x) = 0, a.e.于a,b。'設(shè) A Ì R1 ，則 A =À Û mA = 0 。4.01, (x, y)Î D5. 設(shè) D = (x, y): x ÎQ, y ÎQ， f (x, y) = ì

5、;í，î0, (x, y)Î R2 - D則(L)dvò0f (x, y)+¥+¥du = (L)duò0f (x, y)dv = 0 .+¥+¥òò00四、證明題（共 41 分）1 nx ln x dx = 0 .ò1. 證明lim(R)（8 分）1+ n x2 2n®¥03 學(xué)號(hào)學(xué)院專業(yè)座位號(hào) ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 ) 密 封 線 2. 設(shè) f (x) Î L ，E = x Î E;f (x) ³ n2，證明：(

6、1) lim mE = 0 , (2) lim n2mE = 0 .Ennnn®¥n®¥（10 分）ò3.（1）設(shè) f (x) ³ 0, x Î E, "n ³ 1, limfn (x)dm = 0 ，則 fn (x) ¾¾®0, x Î E .（5 分）mnn®¥E（2）若p (x) Î ACa,b ，則 f (x) Î ACa,b .（6 分）4學(xué)院專業(yè) ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 )專業(yè)座位號(hào)答 題 ) 封 線 封 線4.設(shè) f (x) 是 E 上的實(shí)值函數(shù)，若"d