二次曲面的方程與圖形

1、第一頁，共11頁。三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )第二頁，共11頁。zyxO),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax第三頁，共11頁。1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng)

2、ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z第四頁，共11頁。zyxOzqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號(hào))zyxO第五頁，共11頁。 2222zbyax橢圓拋物面橢圓拋物面第六頁，共11頁。 2222zaxby雙曲拋物面所表示的曲面稱為雙曲拋物面或馬鞍面.第七頁，共11頁。(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1)

3、1上的截痕為平面1zz 橢圓.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy ),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: zxyO第八頁，共11頁。xyzO虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy 相交直線: 雙曲線: 0 xyzO),(1222222為正數(shù)cbaczbyax第九頁，共11頁。),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線Ozxy222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面第十頁，共11頁。),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .zxy1)()(2222t bytaxtz ,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)