經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題及答案

1、第三章 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題 31 1. 根據(jù)定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) (2)(3)(a ,b為常數(shù)) (4)解 (1) 因?yàn)?=所以 .(2) 因?yàn)?所以 (3) 因?yàn)?=所以 (4) 因?yàn)?=所以 .2. 下列各題中假定存在, 按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察下列極限, 指出A表示什么?(1) (2) (其中且)存在)(3) (其中存在)(4) 解（1）因?yàn)?=故 .(2) 因?yàn)?= 故 .(3) 因?yàn)?= 故.(4) 因?yàn)?= 故 .3.已知, 求解 由已知易得當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), 又 =1 =2 即不存在.故 .4. 如果f (x)為偶函數(shù)，且存在，證明.證 由于f(x)為偶函數(shù)，所以

2、f(-x) = f(x) 則 故 .5.討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性：(1) (2) (3) 解 (1) 因?yàn)?所以函數(shù) 在處可導(dǎo)，從而也連續(xù).(2) 因?yàn)?所以函數(shù)在x = 0處可導(dǎo)，從而也連續(xù).(3)因?yàn)?所以函數(shù)在處連續(xù).又因?yàn)?故不存在, 即函數(shù)在不可導(dǎo).6. 設(shè)函數(shù)，為使函數(shù)f (x) 在x = 1處連續(xù)且可導(dǎo)，a ,b應(yīng)取什么值？解 由題意， 有 首先可得 a+b = 1 即 b = 1a又因?yàn)?所以a = 2 ,于是b = 1. 故當(dāng)a = 2, b = 1時(shí)，函數(shù)f (x) 在x = 1處連續(xù)且可導(dǎo).7.求曲線在點(diǎn)（-1，1）處的切線方程.解 因 故 曲線在點(diǎn)（-1，1）處

3、的切線方程為即 .8*.設(shè)曲線f (x) = xn 在點(diǎn) (1, 1) 處的切線與x軸的交點(diǎn)為(an，0), 求.解 因?yàn)?所以曲線在點(diǎn)（1, 1）處的切線方程為 y1 = n ( x1) 切線與x軸的交點(diǎn)為，即從而習(xí)題 32 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）(3 ) (4) (5) (6) (7) (8) 解（1）.(2) .(3) .(4) .(5) =.(6) =.(7) =.(8) =.2. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：（1）, 求（2）, 求（3）, 求和.解 (1) 因?yàn)? 所以 (2) 因?yàn)?所以 .(3) 因?yàn)?=所以 , .3. 求的和. 解 注意到 ，有 4. 求

4、曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解 當(dāng)時(shí)，, 且有 則 =1習(xí)題 33 1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2） （3） (4)（5） (6）解 (1) =.(2) .(3) =.(4) .(5) .(6) =.2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2）（3） （4）解 （1）.(2) .(3) .(4) =.3. 設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2）（3） （4）（5） 解 （1）.（2）.=.(3) .(4) .(5) .4設(shè)解 當(dāng)x > 0時(shí)，當(dāng)x < 0時(shí)，當(dāng)x = 0時(shí)，由 得.故 .5. 設(shè)，證明.證 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得 將 代入上式, 可得即

5、.6. 設(shè)函數(shù)f可導(dǎo)，且y = f (a + t) f (a t ), 求.解 因?yàn)?故 .*7 設(shè)，求. 解 因?yàn)?所以 故 .習(xí)題 34 1. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 (1).(2) 因?yàn)?=所以 .(3) , .(4) .(5) .(6) =2. 已知存在，且，求.（1） （2）解 (1) .(2) .3. 設(shè)f (x) 的n階導(dǎo)數(shù)存在，求 .解 因 故 .4. 驗(yàn)證函數(shù)滿足關(guān)系式.解 因 =故 =.5.求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式：(1) (2) 解 (1) 因故 .（2）故 .*6 設(shè)，求y (100).解 而  習(xí)

6、題 35 1. 求由下列方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2）（3） （4）（為常數(shù)）解 （1）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo), 得 解方程得 .(2) 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得 解方程得 .(3) 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo), 得 解方程得 .(4) 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo), 得 解方程得 .2. 求曲線在點(diǎn)（e, 1）處的切線方程。解 將方程 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 當(dāng)x = e，y = 1時(shí)，可得故所求切線方程為 .*3 設(shè)，其中x , y滿足方程均可導(dǎo)，求.解 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得 （1）因x , y滿足方程 , 所以將方程 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 （2） 將(2)代入(1)，并整理得 .4. 用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

7、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2）（3）解 (1)取已知函數(shù)的絕對(duì)值的對(duì)數(shù) 即 兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得.（2）取已知函數(shù)的絕對(duì)值的對(duì)數(shù)兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得故 .（3）取已知函數(shù)的對(duì)數(shù)兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo), 得=故 . 5. 設(shè).解 在等式兩邊取對(duì)數(shù)，得 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 注意到當(dāng)x = 1時(shí)，y = 1, 將其代入上式，可求得 .6. 設(shè)，求.解 方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得 (1)解方程得 注意到當(dāng)時(shí)，可得 由（1）式變形有 ，對(duì)其兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得即 故 . 題 36 1. 求下列函數(shù)的微分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 (1) =(2) = (3) =.(4) =.(5)

8、方程兩邊同時(shí)微分,得.(6) 方程兩邊同時(shí)微分,得=.2. 設(shè)，求.解 因?yàn)?所以 .3. 設(shè)，求.解 方程兩邊同時(shí)微分, 得 即 =又因當(dāng)時(shí)，, 故.綜合習(xí)題三  1.選擇填空： (1) 設(shè)f(x)可導(dǎo)且下列極限均存在，則 ( ) 成立. (2) 下列函數(shù)在x = -1處可導(dǎo)的是 ( ). y=1+x (3) 已知函數(shù)，則f(x)在x = 0處 ( ). 導(dǎo)數(shù) 間斷 導(dǎo)數(shù)=1 連續(xù)但不可導(dǎo)（4）已知?jiǎng)ty= ( ). u(x) （5）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則（ ）. ； (6) 設(shè)，則y= ( ). (7) 設(shè)y = ln f (sinx)，其中f為可微函數(shù)，則( ). （

9、8）設(shè)則（ ）. (9) 曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)是 ( ). (0, 0) (1, -1) (1, -1) (1, 1)(10) 設(shè)函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)的定義域是（ ）. （-，+） （-，0） （0，+）解 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ;(6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) .2. 已知 解 由導(dǎo)數(shù)定義，有 則 =.3.設(shè)曲線與都經(jīng)過點(diǎn)，且在有公共切線，求常數(shù)、.解 由 與均過點(diǎn)，得 即 （1） 即 （2）又由, , 且與在點(diǎn)有公共切線，得 = 即 =亦即 （3）故聯(lián)立求解（1），（2），（3）得 .4. 設(shè)（為常數(shù)），求解 設(shè) , , , 則 ， ， 故 5 設(shè)，求.解 由 , 得 .6. 設(shè)，且，求.解 因 故 .8. 設(shè)方程確定為的函數(shù)，求.解 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo), 得 即 故 .9. 設(shè)，其中為可微函數(shù)，求.解 .10.設(shè)=（為整數(shù)），問n取