七數培優(yōu)競賽講座第17講整式的乘法與除法

1、第十七講整式的乘法與除法指數運算律是整式乘除的基礎，有以下m nmn / m、nnm4 個：a a a ， (a ) a（ab）n an bn， am an am n .學習指數運算律應注意：1 運算律成立的條件；2 運算律字母的意義：既可以表示一個數，也可以是一個單項式或者多項式；3 運算律的正向運用、逆向運用、綜合運用.多項式除以多項式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數除以多位數的演算方法相似, 基本步驟是：1. 將被除式和除式按照某字母的降幕排列，如有缺項，要留空位；2. 確定商式，豎式演算式，同類項上下對齊；3. 演算到余式為零或余式的次數小于除式的次數為止.例題232【例1】(1)

2、如果x x 10，則x 2x 3 =（“希望杯”邀請賽試題）a2x2a1xa0,貝U把（x2一 X+1）6展開后得 a12x12a11x11a12a10a8a6a4 a2 ao （“祖沖之杯”邀請賽試題 ）思路點撥 把高次項用低次多項式表示；我們很難將（x2一 x+1）6的展開式寫出，因此想通過展開式去求出每一個系數是不實際的，事實上，上列等式在x的允許值范圍內取任何一個值代入計算，等式都成立，考慮用賦值法解.注：一般地，被除式、除式、商式和余式之間有下面的關系式：被除式=除式X商式+余式.特別地，當余式為零時，稱除式能整除被除式.在解數學題時，將問題中的某些元素用適當的數表示，再進行運算、推

3、理解題的方法 叫賦值法，用賦值法解題有兩種類型：（1）常規(guī)數學問題中，恰當地對字母取值，簡化解題過程；（2）非常規(guī)數學問題通過賦值，把問題“數學化”【例2】已知25x 2000 ,80y2000，則1 1-等于(x y).1A . 2 B. 1 C.-2（“希望杯”邀請賽試題）思路點撥因x、y為指數,我們目前無法求出x、y的值,其實只需xy求出x y、xy的值或它們的關系，自然想到指數運算律.c 17，求d 一 b的值.【例3】 設a、b、c、d都是自然數，且a5 b4,c3 d2,a（上海市普陀區(qū)競賽題）思路點撥設a5b4m20 ,c3d 2n6，這樣a、b可用m的式子表示.c、d可用n的式

4、子表示，減少字母的個數，降低問題的難度.2 2【例 4】x xy 2y x 7y 6 （x 2y A）（x y B）.求 A、B 的值.思路點撥 等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應項系數對應相等，從而可以通過 比較對應項系數來解.【例5】是否存在常數p、q使得x4 px2 q能被x2 2x 5整除？如果存在，求出p、q的值，否則請說明理由.思路點拔由條件可推知商式是一個二次三項式（含待定系數），根據“被除式=除式x商式”，運用待定系數法求出 p、q的值，所謂p、q是否存在，其實就是關于待定系數的方 程組是否有解.注運用指數運算率解題，應注意以下幾點：（1）善于變異底為同底；適當地對已知等式

5、進行運算處理，從整體上解決問題.所謂恒等式，就是指不論用任意數值來代替式中的字母左右兩邊的值都相等的等式. 如果兩個多項式恒等，那么，這兩個多項式的對應項系數一定對應相等.待定系數法是數學中的一種重要方法，在有關整式的恒等變形的解題中經常用到，運用此方法解題的一般步驟是：（1）根據多項式之間的次數關系，設出一個恒等式，其中有幾個待定系數；（2）比較對應項的系數，列出方程組；（3）解方程組，求出待定系數的值.學力訓練1. 如圖，是某住宅的平面結構示意圖， 圖中標注了有關尺寸（墻體厚度忽略不計，單位： 米）.房的主人計劃把臥室以外的地面都鋪上地磚，如果他選用地磚的價格是a元/米2,則買磚至少需要

6、元（用含a、x、y的代數式表示）.（河北省中考題）2. 若 2x+5y 3=0,則 4x. 32y.（紹興市競賽題）3 .滿足（x 1）2oo>32oo的x的最小正整數為 . （2003年武漢市選拔賽試題）4.a、b、c、d都是正數，且23a 2, b3,c454,d5，則a、b、c、d中，最大的一個是2n 45.化間2(2n 3)2(2n)得().（“英才杯”2nA . 2n1 18（年IT杯全國初中數學競賽題）5544336.已知 a 2 ,b 3 ,c 5 , d226 ，那么a、b、c、d從小到大的順序是（）.A. a<b<c<d B . a<b<d

7、<c C（北京市“迎春杯”競賽題）.b<a<c<dD. a<d<b<c值共有（A .1個&計算（0.).B . 3個C . 6個04)2003 x (一 5)20032 得(120035C.152003（杭州市中考題）29 .已知 6x 7xy3y214x(2x 3yb)(3xc），試確定 a、b、c的值.10.設a、b、c、d都是正整數,并且4 3,cd2,c19，求a-b的值.（江蘇省競賽題）11.已知四位數2x9y 2x 9y，試確定2x9yx(x2y11）的值.12 .多項式2x3 5x2 7x 8與多項式ax2bx 11的乘積中,沒有

8、含x4的項，也沒有含x3的項，則a213.若多項式3x4x27能表示成a（ x 1）b(x1） c的形式，則a=14.若(2x1)55a§xa4x43a3Xa2x2a-|Xa° ,貝U a2a4（2003年北京市競賽題15.如果多項式（x a）（x2)1能夠寫成兩個多項式（x+3）和（x+b）的乘積，那么a=,b=33554433.16 .右 a 22 ,b 33 ,c 55 ,d2266,那么a、b、c、d從小到大的順序是（）.A. a>b>c>d B. a>b>d>c C . b>a>c>d D .(北京市“迎春杯”

9、競賽題)a>d>b>c17.已知 a1 ,a2 ,a3,月1996,*1997均為正數，又M （a1a2a1996 )(a2a3a1997),N (a1 a2a1997)(a2 a 3a1996 )，則 M 與 N 的大小關系是().A . M=NB . M<NC . M>ND .關系不確定318 .若 3x x41，則 9x3小 212x 3x7x1999的值等于（)A . 1997B . 1999C. 2001D.2003（北京市競賽題）19 .已知關于x的整系數二次三項式ax2十bx+c 當 x 取 1, 3, 6,8時，某同學算得這個二次三項式的值分別為1

10、,5,25,50 .經檢驗，只有一個結果是錯誤的，這個錯誤的結果是（）.A .當 x=1 時，ax2 十 bx+c=1B.當 x= 3 時，ax2 十 bx+c=5C.當 x=6 時，ax從所列的表中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 若n為自然數，和數1981n+1982 n+1983 n+1984 n不能被10整除，那么n必須滿足什么 十 bx+c=25 D 當 x= 8 時，ax2十 bx+c=5020.已知 3x2-x-仁0,求 6x條件？十 7x2一 5x+1999 的值.21已知a是方程2x2 3x 1 0的一個根，試求代數式2 3 3a 9 也1的值. 3a 122. 已知 2a 2b 2c 2

11、d 10，求證：(a一 1)(d 1)=(b 一 1)(c 一 1).23. 是否存在整數a、b、c滿足(9)a(10)b (16)c2 ?若存在，求出a、b、c的值；若不8915存在，說明理由.24. 當自然數n的個位數分別為 0, 1, 2,9時，n2, n3, n 4, n 5的個位數如表所示n的個位數0123456789n2的個位數0149656941n3的個位數0187456329n4的個位數0161656l61n5的個位數0l23456789參考答案02 式的It法與法【例題求解】ft I (1H 搓水* jt1 +2* +SH】 + 3+1)r-t,r+3-*4.(2)35 1f

12、t朮占J仕！ + 由巳知 Sfjt W 毎亞 + Un +* +<tr 4-fl| 4-a* = 1令*】*由已如等式得 世IH "41|.+仆十的一呷+o1|=7W十.礎23m二口卜十亠的亠口沁=710即心浮十m*十十5十oil =彌予ft 1& B 覺不器前如WT 鮒r2QQ<r OX腳 USXto)* -2UOOf -. ff xy-jr + >ft J 奧示設口 JF e5'1 d啦J3n為自然#(幾JR別朮出“押“由巳鮎得 #* ftJ = 17iW( m3 + ji ) E h) 1?因皆是離Si存+叭At上一吩星白然Stfl辦W 側訊二

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15、的案敕什別為"一曲*九十砧+72.由劭一刊工0尺“一黏4眈=0得11 3.-I0J414. -IJ0土i 代人 11 -2d H. A 援承，作曲比較11. C 臺肝設 業(yè)十令 + “bdu -Jt. M M - («| +x)(x+uj+x* '-Uiitiwr * BiHTif rv-(a> +r tdiHi )t -air+x+airirii M Af=*idg： AO)8. D (ft: SEit - (3rf j" t) + 2003It, C 捷示価協(xié)瞧性葡知|t一m|"¥+血+ C 5M4g4Cj.歸厲1|”43-1

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