線性系統(tǒng)特征根與零輸入響應(yīng)分析

1、一、 證明：1）若A矩陣的所有特征根均有負(fù)實(shí)部，響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)在 t時(shí)趨近于零，給出例子； 2）若A矩陣有正實(shí)部特征根時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能趨近于零，給出正反兩個(gè)例子； 3）若A矩陣有實(shí)部為零的特征根，而其他特征根的實(shí)部均為負(fù)，則當(dāng)純虛根的重?cái)?shù)大于1時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能會(huì)趨近于零，給出正反兩個(gè)例子；（C0） 4）討論上述各種情況與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)對消的關(guān)系，針對所舉的例子作說明。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：X=AX+BUy=CX+DU 1-1當(dāng)系統(tǒng)的的輸入為零時(shí)，則狀態(tài)空間描述可寫為：X=AXy=CX 1-2那么該系統(tǒng)的輸出為(t>0）：y=CeAtX0 1-3而eAt=L-1

2、SI-A-1 1-4將式1-4代入1-3中有：y=CL-1SI-A-1X0 1-5設(shè)其拉氏變換為：DSNs=DSS-1S-2S-3S-n-1S-n 1-6其中N(s)的階次大于D(s)的階次。那么式1-6可化為：D(S)N(S)=1S-1+2S-2+3S-3+n-1S-n-1+nS-n1-71) 由于A矩陣的特征根均有負(fù)實(shí)部，即1、2、3n-1、n均在復(fù)平面的左邊，那么對上式進(jìn)行拉式反變換有：L-1DSNS=1e1t+2e2t+3e3t+n-1en-1t+nent 1-81、2、3n-1、n均在復(fù)平面的左邊當(dāng)t時(shí)，eit0，則有當(dāng)t時(shí)，yt0例1：設(shè)有一狀態(tài)空間模型為：X=-14-7.875-

3、5.625800020X+100Uy=00.6250.625X的系統(tǒng)。其特征根分別為1=-3，2=-5，3=-6取初始狀態(tài)為X(0)=111,其零輸入響應(yīng)如圖表 1所示：圖表 2可以看到在t時(shí)有，其零輸入響應(yīng)趨近于0。2) 若A矩陣有正實(shí)部特征根時(shí)，由式1-7，我們可以取k有正實(shí)部（k為1、2、3n-1、n中的某一個(gè)數(shù)），那么kS-k的拉式反變換為kekt。k有正實(shí)部 kekt在t時(shí)發(fā)散。即該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)在非零狀態(tài)下且t時(shí)趨近于若式1-6可化為DSNs=D'SS-kS-1S-2S-kS-n-1S-n則：DSNs=D'SS-1S-2S-n-1S-n 2-1可以看到極點(diǎn)k與零點(diǎn)

4、k抵消了，由式2-1與式1-6類似當(dāng)t，依然有yt0。例2：設(shè)有一狀態(tài)空間模型為：X=-32.53400020X+0.500Uy=00.50.25X的系統(tǒng)。其特征根分別為1=-2，2=3，3=-4取初始狀態(tài)為X(0)=111,其零輸入響應(yīng)如圖表 2所示：圖表 2可以看到在t時(shí)有，其零輸入響應(yīng)趨近于。例3：設(shè)有一狀態(tài)空間模型為：X=-32.53400020X+100Uy=00.25-0.375X的系統(tǒng)。其特征根分別為1=-2，2=3，3=-4取初始狀態(tài)為X(0)=111,其零輸入響應(yīng)如圖表 3所示：圖表 3可以看到在t時(shí)有，其零輸入響應(yīng)趨近于0。例2，例3系統(tǒng)的特征根相同，但是他們同狀態(tài)下的響應(yīng)

5、卻不同，前者在t時(shí)其零輸入響應(yīng)趨近于，而后者在t時(shí)其零輸入響應(yīng)趨近于0。由于例3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為y=s-3s+2s-3s+4，顯然s-3項(xiàng)上下抵消，所以該系統(tǒng)等效的傳遞函數(shù)為y=1s+2s+4，此時(shí)特征根3并不影響系統(tǒng)的輸出。3) 若A矩陣有實(shí)部為零的特征根，而其他特征根的實(shí)部均為負(fù)，且純虛根的重?cái)?shù)大于1。我們以純虛根的重?cái)?shù)等于2為例，k為正實(shí)數(shù)，那么式1-6可寫為：DSNs=DSS-1S-2S2+k2S-n-1S-n 3-1我們抽出重根項(xiàng)：k1S3S2+k2+k2S2S2+k2+k3S1S2+k2+k4S2+k2則，L-1k1S3S2+k2+k2S2S2+k2+k3S1S2+k2+k4S2+

6、k2=(at+b)sint 3-2其中a，b，均為常數(shù)，a、0。當(dāng)t時(shí)，at，所以有y可能趨近于（在±處震蕩）。而當(dāng)式3-1能化為:DSNs=DSS2+k2S-1S-2S2+k2S-n-1S-n 3-3可以看出重根項(xiàng)可以被消除，則式3-3可寫為：DSNs=DSS-1S-2S-n-1S-n 3-4由1）可得：當(dāng)t時(shí)，eit0，則有當(dāng)t時(shí)，yt0例4：設(shè)有一狀態(tài)空間模型為：X=-5-2.5-1.25-0.875-0.625-0.75400000040000002000000100000010X+0.2500000Uy=00000.1250.125X的系統(tǒng)。其特征根分別為1=-2，2=-3

7、，3=2i，4=2i，5=-2i，5=-2i取初始狀態(tài)為X(0)=111111,其零輸入響應(yīng)如圖表 4所示：圖表 4可以看到在t時(shí)有，其零輸入響應(yīng)趨近于（在±處震蕩）。例5：設(shè)有一狀態(tài)空間模型為：的系統(tǒng)。其特征根分別為1=-2，2=-3，3=2i，4=2i，5=-2i，5=-2i取初始狀態(tài)為X(0)=111111,其零輸入響應(yīng)如圖表 5所示：圖表 5可以看到在t時(shí)有，其零輸入響應(yīng)趨近于0。例4，例5系統(tǒng)的特征根相同，但是他們同狀態(tài)下的響應(yīng)卻不同，前者在t時(shí)其零輸入響應(yīng)趨近于±，而后者在t時(shí)其零輸入響應(yīng)趨近于0。由于例5系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為y=s+1s2+22s+2s2+22s+

8、3，顯然s-3項(xiàng)上下抵消，所以該系統(tǒng)等效的傳遞函數(shù)為y=s+1s+2s+3，此時(shí)重虛根并不影響系統(tǒng)的輸出。4) 當(dāng)A矩陣的所有特征根均有負(fù)實(shí)部，響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)在t時(shí)趨近于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如例1所示。當(dāng)A矩陣有正實(shí)部特征根時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能趨近于零，此時(shí)系統(tǒng)部分狀態(tài)不穩(wěn)定。由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可能存在系統(tǒng)的輸出與這部分不穩(wěn)定的狀態(tài)無關(guān)，即存在零極點(diǎn)對消的情況，把正實(shí)部特征根抵消了。那么系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。如例2、例3所示.當(dāng)A矩陣有實(shí)部為零的特征根，而其他特征根的實(shí)部均為負(fù)，則當(dāng)純虛根的重?cái)?shù)大于1時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能會(huì)趨近于零。1.當(dāng)它的重?cái)?shù)為1時(shí)，其它特征根均有負(fù)實(shí)部，且沒有被零點(diǎn)抵消，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)臨界穩(wěn)定，系統(tǒng)輸出臨界穩(wěn)定。2.當(dāng)存在零極點(diǎn)對消，把純虛根抵消了，此時(shí)系統(tǒng)的輸出與該特征根無關(guān)，系統(tǒng)狀態(tài)臨界穩(wěn)定，系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。3. 當(dāng)它的重?cái)?shù)為2時(shí)，其它特征根均有負(fù)實(shí)部，