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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題講義 平行四邊形+幾何輔助線的作法一、知識點(diǎn)1四邊形的內(nèi)角和與外角和定理:(1)四邊形的內(nèi)角和等于360°;(2)四邊形的外角和等于360°.2多邊形的內(nèi)角和與外角和定理:(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°;(2)任意多邊形的外角和等于360°.3平行四邊形的性質(zhì):性質(zhì)判定四邊形ABCD是平行四邊形 4、平行四邊形判定方法的選擇5、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法(1)利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1、如圖,已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點(diǎn),四邊形OCDE是平行四邊形. 求證: OE與AD互相平分.
2、說明:當(dāng)已知條件中涉及到平行,且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān),可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.(2)利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2、如圖,在ABC中,E、F為AB上兩點(diǎn),AE=BF,ED/AC,F(xiàn)G/AC交BC分別為D,G.說明:當(dāng)圖形中涉及到一組對邊平行時(shí),可通過作平行線構(gòu)造另一組對邊平行,得到平行四邊形解決問題. 求證: ED+FG=AC.(3)利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3、如圖,已知AD是ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC.說明:本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形,實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這
3、種方法.(4)連結(jié)對角線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例4、如圖,在平行四邊形中,點(diǎn)在對角線上,且,請你以為一個(gè)端點(diǎn), 和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段,猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)(5)平移對角線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例5、如右圖2,在平行四邊形中,對角線和相交于點(diǎn)O,如果, ,那么的取值范圍是( ) A、 B、 C、 D、(6)過一邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例6、已知:如圖,四邊形為平行四邊形 求證:(7)延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例7、已知:如右上圖4,在正方形中,分別是、的中點(diǎn)
4、,與交于點(diǎn),求證:2、 課堂練習(xí):1、如圖,是平行四邊形的邊的中點(diǎn),與相交于點(diǎn),若平行四邊形的面積為,則圖中面積為的三角形有( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 2、順次連接一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn),得到一個(gè) _四邊形3、 如圖,AD,BC垂直相交于點(diǎn)O,ABCD,BC=8,AD=6, 則AB+CD的長=_。4、已知等邊三角形ABC的邊長為a, P是ABC內(nèi)一點(diǎn),PDAB,PEBC,PF AC,點(diǎn)D、E、F分別在 BC、AC、AB上,猜想:PDPE+PF=_,并證明你的猜想5、平行四邊形ABCD中,分別是四條邊上的點(diǎn),且, 試說明:與相互平分6、如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于O
5、,E、F分別為OB、OD的中點(diǎn),過O任作一直線分 別交AB、CD于G、H 試說明:GFEHB7、如圖,已知,B是AD的中點(diǎn),E是AB的中點(diǎn) 試說明:DE8、如圖,E是梯形ABCD腰DC的中點(diǎn)試說明:9、已知六邊形ABCDEF的6個(gè)內(nèi)角均為120°,CD2cm,BC8cm,AB8cm,AF=5cm,試求此六邊形的周長10、已知是等腰三角形,AB=AC,D是BC邊上的任一點(diǎn),且 ,垂足分別為E、F、H, 求 證:11、 已知:在中,;在中,;連結(jié),取的中點(diǎn), 連結(jié)和(1)若點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上且與點(diǎn)不重合,如圖,求證:且;(2)如果將圖8-中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角,如圖,
6、那么(1)中的結(jié)論是否仍成立?如果不成立,請舉出反例;如果成立,請給予證明 圖圖-答案:例4、 連結(jié) 證明:連結(jié),設(shè)交于點(diǎn)O 四邊形為平行四邊形 即 四邊形為平行四邊形 例5、解:將線段沿方向平移,使得,則有四邊形為平行四邊形, 在中, , ,即 解得 故選A例6、證明:過分別作于點(diǎn),的延長線于點(diǎn)F 則四邊形為平行四邊形 且, 例7、證明:延長交的延長線于點(diǎn)四邊形為正方形 且, 又, ,則2、 課堂練習(xí)1、 C 2、平行 3、10 4、5、 分析:觀察圖形,EF與HG為四邊形HEGF的對角線,若能說明四邊形HEGF是平行四邊形,根據(jù) 平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)即可得到EF與GH相互平分
7、。6、 分析:觀察圖形,GF與EH為四邊形GEHF的對邊,若能說明四邊形EHFG是平行四邊形,平行四 邊形具有對邊平行的性質(zhì)可得GFEH7、 分析:延長CE至F,使EFCE,連結(jié)AF、BF,得四邊形AFBC是平行四邊形,利用平行四邊形 的性質(zhì)證明DBCFBC即可。8、 分析:過點(diǎn)E作MNAB,交BC于N,交AD的延長線于M,則四邊形ABNM是平行四邊形, ABE與四邊形ABNM等底等高,所以SABES平行四邊形ABNM,接下來說明 S梯形ABCDS平行四邊形ABNM即可。9、10、 證明:過D點(diǎn)作DGCH于G 又DEAB于E,CHAB于H 四邊形DGHE為矩形 DEGH EHDG BGDC 又
8、ABAC BACB GDCACB 又DGCDFC90° CDDC(公共邊) CDGDCF(AAS) DFCG 又CHCGGH CHDFDG(等量代換)11、平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì),所以在添輔助線方法上也有共同之處,目的都是造就線段的平行、垂直,構(gòu)成三角形的全等、相似,把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理,其常用方法有下列幾種,舉例簡解如下:(1)連對角線或平移對角線:(2)過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn),或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線,構(gòu)造線段平行或中位線
9、(4)連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段,構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5)過頂點(diǎn)作對角線的垂線,構(gòu)成線段平行或三角形全等.第一類:連結(jié)對角線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形中,點(diǎn)在對角線上,且,請你以為一個(gè)端點(diǎn),和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段,猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)連結(jié) 證明:連結(jié),設(shè)交于點(diǎn)O四邊形為平行四邊形 即四邊形為平行四邊形 第二類:平移對角線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形中,對角線和相交于點(diǎn)O,如果,那么的取值范圍是( )A B C D解:將線段沿方向平移,使得,則有四邊形為
10、平行四邊形,在中, ,,即 解得 故選A第三類:過一邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例3已知:如左下圖3,四邊形為平行四邊形 求證: 證明:過分別作于點(diǎn),的延長線于點(diǎn)F 則四邊形為平行四邊形 且, 第四類:延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4:已知:如右上圖4,在正方形中,分別是、的中點(diǎn),與交于點(diǎn),求證:證明:延長交的延長線于點(diǎn)四邊形為正方形 且, 又, ,則第五類:延長一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形中,點(diǎn)為邊上任一點(diǎn),請你在該圖基礎(chǔ)上,適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解:延長與的延長線相交于,則有,第六類:把對角線交點(diǎn)與
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