初等解析函數(shù)及其基本性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§2 初等解析函數(shù)及其基本性質(zhì)一、基本初等函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)加法定理 。，即。周期性 是周期為的周期函數(shù)。2.對數(shù)函數(shù)定義2 滿足的函數(shù)稱為復變量的對數(shù)函數(shù)，記為。關(guān)于的表達式：令，則，即。從而定義式。注：是多值函數(shù)，是多值函數(shù)。 當取主值時，為單值函數(shù)，稱其為的主值，記為，即 或計算式。注：當時，實對數(shù)函數(shù)。例2 證明對數(shù)運算性質(zhì)：；。證明 由對數(shù)定義表達式，；同理可證式。例3 求及主值。解 ；主值：。由的表達式，容易知道，有分析性質(zhì)：在除原點及負實軸的平面內(nèi)連續(xù)且解析。，而在原點及負實軸上不連續(xù)，即在除原點及負實軸的平面內(nèi)連續(xù)。又在除原點及負實軸的平面內(nèi)，

2、有定義且互為反函數(shù)，有求導法則，.在除原點及負實軸的平面內(nèi)解析。從而，應(yīng)用對數(shù)函數(shù)時，皆指其除原點及負實軸的平面內(nèi)的某一分支。 3.復數(shù)乘冪及其計算 定義3 復數(shù)構(gòu)成的乘冪：，其中。可以分析討論知道，其取值情況有： 當次冪為整數(shù)時, 有唯一值；。當次冪為有理數(shù)時, 有個不同的值；當時，由正、余弦的周期性，得到的個不同值。當次冪為無理數(shù)或虛數(shù)時, 有無窮多值.例3 計算下列復數(shù)乘冪：；。解 .,；。.二、簡單初等函數(shù)1.一般冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)定義4 ；。性質(zhì)由對數(shù)性質(zhì)決定。 2.三角函數(shù)，其中 定義5 正弦函數(shù)：；余弦函數(shù)： 。例4 求值：.解 .容易證明：具有與實函數(shù)相同的周期性是，不具有有界性

3、：時， 。當時，. 定義6 . 相應(yīng)的一些運算性質(zhì)見教材.3.反三角、反雙曲函數(shù)定義7 滿足的復變量稱為的反正弦函數(shù)，記為。依據(jù)定義，可以求得： .同理，可以定義并可求得：; 4.雙曲與反雙曲函數(shù)函數(shù)定義8 雙曲正弦：；雙曲余弦：；雙曲正切：.及其反雙曲函數(shù)：;；.注:它們均為多值函數(shù).第三章 復變函數(shù)的積分§1 積分的概念及性質(zhì)一、概念及其存在性1.引言 一元函數(shù)定積分，是函數(shù)沿一直線段上的積分。因為函數(shù)就定義在數(shù)軸直線上，而復函數(shù)定義在平面上。推廣定積分于復函數(shù)，考慮一般性，復積分應(yīng)為平面上沿一曲線段的積分。 y zn C k zk z0 zk-1O x2.定義 設(shè)有向曲線，任意

4、分成段，分點為：任取,作和,記，若總存在，則稱其值為沿曲線的積分，記為。若為封閉曲線，則記為(復變函數(shù)主要研究和確定閉曲線的積分)。注:復積分實質(zhì)上類似于高等數(shù)學中的平面為(二型)曲線積分。2.可積性及其參數(shù)計算公式定理 若連續(xù)，則 存在，且；設(shè)。證明（描述性）；。 y (3,1) 1 3O 1 x例1 計算,其中為從點1到點的直線段.解 直線段方程：，從而，原式。 -2 2 例2 設(shè)為由點沿的上半圓周到點的曲線段,求.解 ，即，此時，；這里，于是，原式。例3 計算，其中：，方向逆時針。解 圓周的方程：，從而，原式，當時，原式；當時，原式，于是，二、性質(zhì)1.線性：；2.可加性：若，則；3.反對稱性：；4.若為曲線的長度，且，則。證明 1.2.3.顯然，4.的證明利用積分定義見教材。§2 柯西古薩定理及其應(yīng)用一、引理與基本定理1.引理 若在單連域內(nèi)解析,且連續(xù),則對任意簡單閉曲線,有：。證明 解析,且連續(xù)，且它們均連續(xù)。從而，由格林公式，。推論 若在一條簡單閉曲線的內(nèi)部及上解析，則。例1 計算，其中曲線為正向圓周：