幾何概型的經(jīng)典題型及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上幾何概型的常見(jiàn)題型及典例分析一幾何概型的定義1定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型.2特點(diǎn)：（1）無(wú)限性，即一次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；（2）等可能性，即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性均相等.3計(jì)算公式：說(shuō)明：用幾何概率公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的幾何圖形，并對(duì)幾何圖形進(jìn)行度量.4古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系：（1）聯(lián)系：每個(gè)基本事件發(fā)生的都是等可能的.（2）區(qū)別：古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無(wú)限的；兩種概型的概率計(jì)算公式的含義

2、不同.二常見(jiàn)題型（一）、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例1、在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于到之間的概率為( ).A. B. C. D. 分析：在區(qū)間上隨機(jī)取任何一個(gè)數(shù)都是一個(gè)基本事件.所取的數(shù)是區(qū)間的任意一個(gè)數(shù)，基本事件是無(wú)限多個(gè)，而且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件的發(fā)生的概率只與自變量的取值范圍的區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型的條件.解：在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),即時(shí),要使的值介于0到之間,需使或或，區(qū)間長(zhǎng)度為，由幾何概型知使的值介于0到之間的概率為. 故選A.例2、 如圖,A,B兩盞路燈之間長(zhǎng)度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C,D,問(wèn)A與C,B與D之間的距離都不小于10米的概

3、率是多少？思路點(diǎn)撥 從每一個(gè)位置安裝都是一個(gè)基本事件，基本事件有無(wú)限多個(gè)，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型解 記 E：“A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長(zhǎng)度為30×=10米，.方法技巧 我們將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解例3、在半徑為R的圓內(nèi)畫(huà)平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點(diǎn)在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫(huà)的弦的長(zhǎng)度不小于R的概率。思考方法：由平面幾何知識(shí)可知，垂直于弦的直徑

4、平分這條弦，所以，題中的等可能參數(shù)是平行弦的中點(diǎn)，它等可能地分布在于平行弦垂直的直徑上（如圖1-1）。也就是說(shuō)，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域G是一維空間（即直線）上的線段MN，而有利場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域GA是長(zhǎng)度不小于R的平行弦的中點(diǎn)K所在的區(qū)間。解法1.設(shè)EF與E1F1是長(zhǎng)度等于R的兩條弦，直徑MN垂直于EF和E1F1，與他們分別相交于K和K1(圖1-2)。依題設(shè)條件，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域是直徑MN，有L(G)=MN=2R，注意到弦的長(zhǎng)度與弦心距之間的關(guān)系比，則有利場(chǎng)合所對(duì)對(duì)應(yīng)的區(qū)域是KK1，有以幾何概率公式得。解法2.如圖1-1所示，設(shè)園O的半徑為R, EF為諸平行弦中的任意一條，直徑MN弦EF，它們

5、的交點(diǎn)為K，則點(diǎn)K就是弦EF的中點(diǎn)。設(shè)OK=x，則 x -R,R, 所以 L(G)=2R設(shè)事件A為“任意畫(huà)的弦的長(zhǎng)度不小于R”，則A的有利場(chǎng)合是 ,解不等式，得 所以 于是 評(píng)注 本題結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，題中直接給出了等可能值參數(shù)；樣本空間和有利場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域，從圖上都可以直接看出。兩種解法各有特色，解法1充分利用平面幾何知識(shí)，在本題似較簡(jiǎn)便，解法2引進(jìn)變量x把代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，從表面上看解題過(guò)程不甚簡(jiǎn)便，但確具有推廣價(jià)值，這種方法可以求解復(fù)雜的幾何概率問(wèn)題。例4、 在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，求這個(gè)正方形的面積介于36cm2 與81c

6、m2之間的概率 分析：正方形的面積只與邊長(zhǎng)有關(guān)，因此，此題可以轉(zhuǎn)化為在12cm長(zhǎng)的線段AB上任取一點(diǎn)M，求使得AM的長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間的概率解：記“面積介于36cm2 與81cm2之間”為事件A，事件A的概率等價(jià)于“長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間”的概率，所以，P(A)= =小結(jié)：解答本例的關(guān)鍵是，將正方形的面積問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為與邊長(zhǎng)的關(guān)系。練習(xí)： 2、已知地鐵列車(chē)每10 min一班，在車(chē)站停1 min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率是()A. B. C. D.解析：設(shè)乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)為事件A，試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為10 min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為1 min，故P

7、(A).答案：A3、已知集合Ax|1<x<5，Bx|>0，在集合A中任取一個(gè)元素x ，則事件“xAB”的概率是_解析：由題意得Ax|1<x<5，Bx|2<x<3，由幾何概型知：在集合A中任取一個(gè)元素x，則xAB的概率為P.答案：4、 小趙欲在國(guó)慶六十周年之后從某車(chē)站乘車(chē)外出考察，已知該站發(fā)往各站的客車(chē)均每小時(shí)一班，求小趙等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘的概率分析：因?yàn)榭蛙?chē)每小時(shí)一班,而小趙在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車(chē)站等車(chē)是等可能的, 所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車(chē)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān),這符合幾何概型的條件，且屬于幾何概型中的長(zhǎng)度

8、類(lèi)型.解析:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車(chē)的時(shí)刻位于50,60這一時(shí)間段內(nèi),而事件的總體是整個(gè)一小時(shí)，即60分鐘，因此，由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘的概率為（二）、與面積有關(guān)的幾何概型例1、為長(zhǎng)方形，為的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到的距離大于1的概率為（ ）A B. C. D. 分析：由于是隨機(jī)的取點(diǎn)，點(diǎn)落在長(zhǎng)方形內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)是等可能的，基本事件是無(wú)限多個(gè)，所以符合幾何概型.解：長(zhǎng)方形面積為2,以為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為，因此取到的點(diǎn)到的距離大于1的面積為，則取到的點(diǎn)到的距離大于

9、1的概率為. 故選B.例2、 如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色金色靶心叫“黃心”奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運(yùn)動(dòng)員在70 m外射箭假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？思路點(diǎn)撥 此為幾何概型，只與面積有關(guān)解 記“射中黃心”為事件B,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為的黃心時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為.即：“射中黃心”的概率是0.01.方法技巧 事件的發(fā)生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積為最大環(huán)的圓面積例3、在平面直角坐標(biāo)系中

10、，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為 。解析：如圖：區(qū)域D表示邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），而區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。 答案 點(diǎn)評(píng)：本小題中的試驗(yàn)結(jié)果是區(qū)域中的部分點(diǎn)集，其結(jié)果是不可數(shù)的，屬于幾何概型中典型的面積之比。 例4、在三角形ABC中任取一點(diǎn)P，證明：ABP與ABC的面積之比大于的概率為。思考方法 本題的隨機(jī)點(diǎn)是的頂點(diǎn)P，它等可能的分布在中，因此，與樣本空間對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是，注意到于有公共邊AB，所以的面積決定于頂點(diǎn)P離底邊AB的距離。這樣不難確定與有利場(chǎng)合相對(duì)應(yīng)的平面區(qū)

11、域。解 設(shè)與的面積之比為，的高CD為h，的高PG為h1，公共底邊AB的長(zhǎng)為c，（圖2）則 過(guò)點(diǎn)P作EF/AB,交CD于H,則有立場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)?于是所求概率為注意到EF/AB，,且 CH=h -h1 = h-h=， 由此，原題得證。評(píng)注 本題的樣本空間雖然與平面區(qū)域相對(duì)應(yīng)，但因三角形ABC于三角形ABP有公共底邊AB，所以，實(shí)際變化著的量只有一個(gè)(即點(diǎn)P于AB的距離)，問(wèn)題還比較簡(jiǎn)單，對(duì)于較復(fù)雜的平面區(qū)域，常常要根據(jù)題設(shè)選定兩個(gè)變量，由各自的約束條件確定樣本空間于有立場(chǎng)合的相應(yīng)區(qū)域。例5、將長(zhǎng)為L(zhǎng)的木棒隨機(jī)的折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率解：設(shè)“3段構(gòu)成三角形”分別表示其中兩段的長(zhǎng)度

12、，則第三段的長(zhǎng)度為由題意，要構(gòu)成三角形，須有，即；，即；，即故如圖1所示，可知所求概率為例6、已知函數(shù)f(x)x2axb.若a、b都是從區(qū)間0,4任取的一個(gè)數(shù)，則f(1)0成立的概率是_解析：f(1)1ab0，即ab1，如圖：A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC，P.答案：練習(xí)1、ABCD為長(zhǎng)方形，AB2，BC1，O為AB的中點(diǎn)在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為 ()A. B1 C. D1解析：對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的面積為2×12，而取到的點(diǎn)到O的距離小于等于1時(shí)，其是以O(shè)為圓心，半徑為1所作的半圓，對(duì)應(yīng)的面積為××12，那么滿足條

13、件的概率為：11.答案：B2、設(shè)1a1，1b1，則關(guān)于x的方程x2axb20有實(shí)根的概率是 ()A. B. C. D.解析：由題知該方程有實(shí)根滿足條件作平面區(qū)域如右圖：由圖知陰影面積為1，總的事件對(duì)應(yīng)面積為正方形的面積，故概率為.答案：B3、已知(x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為 ()A. B. C. D.解析：作出兩集合表示的平面區(qū)域如圖所示容易得出所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切蜛OB及其邊界，A表示的區(qū)域?yàn)槿切蜲CD及其邊界容易求得D(4,2)恰為直線x4，x2y0，xy6三線的交點(diǎn)則可得SAOB×6&

14、#215;618，SOCD×4×24.所以點(diǎn)P落在區(qū)域A的概率為.答案：D4、在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在單位圓x2y21內(nèi)的概率為()A. B. C. D.解析：區(qū)域?yàn)锳BC內(nèi)部(含邊界)，則概率為P.答案：D5、在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是_解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與ABC相交出三個(gè)扇形(如圖所示)，當(dāng)P落在陰影部分時(shí)符合要求P.答案：6、在區(qū)間0,1上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為_(kāi)解析：f(x)x2a，故f(x)在x1,1上單調(diào)遞增，

15、又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3axb在1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即有f(1)·f(1)<0成立，即(ab)(ab)<0，則(ab)(ab)>0，可化為或由線性規(guī)劃知識(shí)在平面直角坐標(biāo)系aOb中畫(huà)出這兩個(gè)不等式組所表示的可行域，再由幾何概型可以知道，函數(shù)f(x)x3axb在1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為可行域的面積除以直線a0，a1，b0，b1圍成的正方形的面積，計(jì)算可得面積之比為。答案：7、已知函數(shù)f(x)x22axb2，a，bR.(1)若a從集合0,1,2,3中任取一個(gè)元素，b從集合0,1,2中任取一個(gè)元素，求方程f(x)0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；(2)若a從區(qū)間0,2中

16、任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間0,3中任取一個(gè)數(shù)，求方程f(x)0沒(méi)有實(shí)根的概率解：(1)a取集合0,1,2,3中任一個(gè)元素，b取集合0,1,2中任一個(gè)元素，a，b的取值的情況有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值，即基本事件總數(shù)為12.設(shè)“方程f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，當(dāng)a0，b0時(shí)，方程f(x)0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為ab.當(dāng)ab時(shí)，a，b取值的情況有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含

17、的基本事件數(shù)為6，方程f(x)0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率P(A).(2)a從區(qū)間0,2中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間0,3中任取一個(gè)數(shù)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域(a，b)|0a2,0b3，這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積S2×36.設(shè)“方程f(x)0沒(méi)有實(shí)根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸(a，b)|0a2,0b3，ab，即圖中陰影部分的梯形，其面積SM6×2×24. 由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f(x)0沒(méi)有實(shí)根的概率P(B).（三）、與角度有關(guān)的幾何概型例1、在圓心角為90°的扇形中，以圓心為起點(diǎn)做射線，求使得和都不小于30°的概率？分析：此題關(guān)鍵是

18、搞清過(guò)作射線可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的發(fā)生是等可能的.解：記事件是“做射線，使得和都不小于30°”，則符合條件的射線應(yīng)落在扇形中，所以例2、如圖所示，在等腰直角中，過(guò)直角頂點(diǎn)在內(nèi)部做一條射線，與線段交于點(diǎn)，求CABMD的概率。 分析：當(dāng)時(shí)，有，故欲使，應(yīng)有，即所作的射線應(yīng)落在時(shí)的內(nèi)部。解析：在上取,連接，則，記“在內(nèi)部作一條射線，與線段交于點(diǎn)，”為事件A，則，所以，所求概率為。點(diǎn)評(píng)：本題所求事件的本質(zhì)是在內(nèi)部做一條射線，所構(gòu)成的區(qū)域是一個(gè)“角”域，故應(yīng)屬于幾何概型中的角度之比類(lèi)型；本題極易易犯的錯(cuò)誤是，用長(zhǎng)度的比得出這一錯(cuò)誤結(jié)果。例3、在等腰RtABC中，C

19、=900，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求的概率（答案：）（四）、與體積有關(guān)的幾何概型例1、在5升水中有一個(gè)病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出1升水，含有病毒的概率是多大？分析：病毒在這5升水中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的1升水可以看作構(gòu)成事件的區(qū)域，5升水可以看作是試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，因此可以用體積比公式計(jì)算其概率.解：“取出1升水，其中含有病毒”這一事件記作事件A，則從而所求的概率為0.2.例2、任取三條不大于a的線段，求這三條線段能夠成一個(gè)三角形的概率。思考方法 題設(shè)的三條線段互不相干，所以可設(shè)置三個(gè)獨(dú)立變量。注意到三條線段構(gòu)成三角形的充要條件，可推得有立場(chǎng)合的約束條件。由此原題可以解出。解 設(shè)

20、三條線段的長(zhǎng)分別為x、y、z，則樣本空間是（1）有三條線段構(gòu)成三角形的條件可知，其中的任意兩條之和比大于第三條線段，于是，有利場(chǎng)合的可能情形是（2） 把條件（1）、（2）所限制的區(qū)域，在空間直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)，有如圖2-3所示。其中（1）所對(duì)應(yīng)的區(qū)域G是正方體OA4，(2)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域GA是六面體OA1A2A3A4，且有例3、在區(qū)間0,l上任取三個(gè)實(shí)數(shù)x.y.z,事件A=(x,y,z)| x2+y2+z21, x0,y0,z0 (1)構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形； （2)利用該圖形求事件A的概率.思路點(diǎn)撥: 在空間直角坐標(biāo)系下，要明確x2+y2+z21表示的幾何圖形是以原點(diǎn)為球心，半徑r=

21、1的球的內(nèi)部事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形所在位置是隨機(jī)的，所以事件A的概率只與事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形的體積有關(guān)，這符合幾何概型的條件解：（1）A=(x,y,z)| x2+y2+z21, x0,y0,z0表示空間直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部部分中x0,y0,z0的部分，如圖所示 (2)由于x,y,z屬于區(qū)間0,1，當(dāng)x=y=z=1時(shí)，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，事件A為球在正方體內(nèi)的部分 .方法技巧：本例是利用幾何圖形的體積比來(lái)求解的幾何概型，關(guān)鍵要明白點(diǎn)P(x,y,z)的集合所表示的圖形從本例可以看出求試驗(yàn)為幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可解，另外要

22、適當(dāng)選擇觀察角度.（五）、會(huì)面問(wèn)題中的概率例1、 某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會(huì)在某天9點(diǎn)到10點(diǎn)之間的某一時(shí)刻到達(dá)該碼頭的同一個(gè)泊位，早到的外輪要在該泊位?？?0分鐘辦理完手續(xù)后才離開(kāi)，求兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待的概率。解析：設(shè)事件表示兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待，兩艘外輪到的時(shí)間分別為9點(diǎn)到10點(diǎn)之間的x分、y分，則|x-y|20,0x,y60，即，以9點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示：所以，其概率P(A)=陰影面積/ABCD面積=5/9。小結(jié)：“會(huì)面”類(lèi)型常見(jiàn)的載體是兩人相約見(jiàn)面、輪船?？坎次坏?，其關(guān)鍵是構(gòu)建相遇的不等式

23、（組），借助于線性規(guī)劃知識(shí)，將其面積之比求出，使得問(wèn)題得以解決。例2、兩人約定在20：00到21：00之間相見(jiàn)，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00到21：00各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率思路點(diǎn)撥 兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者40分鐘，即小時(shí)設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)-x-y，因此轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題，利用幾何概型求解解 設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)-x-y.兩人到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊

24、界）的點(diǎn)來(lái)表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)的所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來(lái)表示因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為.方法技巧 會(huì)面的問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題的幾何概型難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x,y兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y),從而把時(shí)間是一段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型問(wèn)題（六）、與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型例1、小明家的晚報(bào)在下午5：306：30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家在下午6：007：00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開(kāi)始晚餐.那么晚報(bào)在晚餐開(kāi)

25、始之前被送到的概率是多少？分析：該題題意明確，但如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型需要從實(shí)際問(wèn)題中分析出存在的兩個(gè)變量.由于晚報(bào)送到和晚飯開(kāi)始都是隨機(jī)的，設(shè)晚報(bào)送到和晚飯開(kāi)始的時(shí)間分別為，然后把這兩個(gè)變量所滿足的條件寫(xiě)成集合的形式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解. 解：設(shè)晚報(bào)送到和晚飯開(kāi)始的時(shí)間分別為.用表示每次試驗(yàn)的結(jié)果，則所有可能結(jié)果為：，即為圖3中正方形的面積；記晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到為事件，則事件的結(jié)果為：，即為圖2中陰影部分區(qū)域. ，.所以所求概率為：.故晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到的概率是.反思：此類(lèi)問(wèn)題常會(huì)涉及兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系，其求解的步驟為：（1）找設(shè)變量.從問(wèn)題中找出兩個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為

26、；（2）集合表示.用表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則可用相應(yīng)的集合分別表示出全部結(jié)果和事件所包含的試驗(yàn)結(jié)果.一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)集合都是幾個(gè)二元一次不等式的交集.（3）作出區(qū)域.把上面的集合所表示的平面區(qū)域作出，并求出集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積.（4）計(jì)算求解.由幾何概型公式求出概率.（七）、與定積分有關(guān)的幾何概型例1、在區(qū)間上任取兩數(shù)，求二次方程的兩根都是實(shí)根的概率.分析：可用表示試驗(yàn)結(jié)果.求出所有可能結(jié)果的面積和方程有實(shí)根的結(jié)果的面積，再利用幾何概型來(lái)解答.解：用表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則所有可能結(jié)果為：，即為圖3中正方形的面積；由方程有實(shí)根得：，則方程有實(shí)根的可能結(jié)果為，即為圖4中陰影部分區(qū)域.陰影部分面積可用定積分

27、來(lái)計(jì)算.所以，所以所求概率為：.（八）、與隨機(jī)模擬有關(guān)的幾何概型例1、如圖5，面積為的正方形中有一個(gè)不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計(jì)的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，若個(gè)點(diǎn)中有個(gè)點(diǎn)落入中，則的面積的估計(jì)值為，假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，的面積為1，并向正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，以表示落入中的點(diǎn)的數(shù)目（I）求的均值；（II）求用以上方法估計(jì)的面積時(shí)，的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率附表：分析：本題從表面來(lái)看似乎與幾何概型無(wú)關(guān)，其實(shí)它是一個(gè)幾何概型的逆向問(wèn)題與n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的綜合題，而且本題有別于常規(guī)的面積型概率計(jì)算，設(shè)計(jì)新穎，通過(guò)隨機(jī)模擬來(lái)求不規(guī)則圖形的面積。解：每個(gè)點(diǎn)落入中的概率均為依題意知（）（

28、）依題意所求概率為，例2、利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖中陰影部分(由曲線y= 2x與x軸、x=±1圍成的部分）面積思路點(diǎn)撥 不規(guī)則圖形的面積可用隨機(jī)模擬法計(jì)算解 (1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0,1上的隨機(jī)數(shù),a1=rand（ ），b1=rand( ) (2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一組0,2上的均勻隨機(jī)數(shù) (3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1. (4)計(jì)算頻率，則即為落在陰影部分的概率的近似值 (5)利用幾何概型公式得出點(diǎn)落在陰影部分的概率 (6)因?yàn)?,所以S=即為陰影部分的面積.方法技巧 根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，概率等于面積之比，如果概率用頻率

29、近似在不規(guī)則圖形外套上一個(gè)規(guī)則圖形，則不規(guī)則圖形的面積近似等于規(guī)則圖形面積乘以頻率而頻率可以通過(guò)隨機(jī)模擬的方法得到，從而求得不規(guī)則圖形面積的近似值 （九）、生活中的幾何概型例1、 某人欲從某車(chē)站乘車(chē)出差，已知該站發(fā)往各站的客車(chē)均每小時(shí)一班，求此人等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘的概率分析：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車(chē)站等車(chē)是等可能的,但在0到60分鐘之間有無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻,不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率.可以通過(guò)幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙?chē)每小時(shí)一班,他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車(chē)是等可能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車(chē)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間

30、段的位置無(wú)關(guān),這符合幾何概型的條件.解:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車(chē)的時(shí)刻位于50,60這一時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘的概率為例2、某公共汽車(chē)站每隔15分鐘有一輛汽車(chē)到達(dá)，乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車(chē)站后候車(chē)時(shí)間大于10 分鐘的概率？分析：把時(shí)刻抽象為點(diǎn)，時(shí)間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。解：設(shè)上輛車(chē)于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車(chē)于時(shí)刻T2到達(dá)，線段T1T2的長(zhǎng)度為15，設(shè)T是T1T2上的點(diǎn)，且T1T=5，T2T=10，如圖所示:T1T2T記候車(chē)時(shí)間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車(chē)站

31、的時(shí)刻落在線段T1T上時(shí)，事件發(fā)生，區(qū)域D的測(cè)度為15，區(qū)域d的測(cè)度為5。 所以答：侯車(chē)時(shí)間大于10 分鐘的概率是1/3.例3、假設(shè)題設(shè)條件不變，求候車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率.分析：T1T2T例4、某公共汽車(chē)站每隔15分鐘有一輛汽車(chē)到達(dá)，并且出發(fā)前在車(chē)站?？?分鐘。乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車(chē)站后候車(chē)時(shí)間大于10 分鐘的概率？分析：設(shè)上輛車(chē)于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車(chē)于時(shí)刻T0到達(dá)，T2時(shí)刻出發(fā)。線段T1T2的長(zhǎng)度為15，設(shè)T是T1T2上的點(diǎn)，且T0T2=3，TT0=10，如圖所示:T1T2TT0記候車(chē)時(shí)間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻落在線段T1T上時(shí)，事件A發(fā)

32、生，區(qū)域D的測(cè)度為15，區(qū)域d的測(cè)度為15-3-10=2。 所以 例5、平面上畫(huà)有一組平行線，其間隔交替為1.5cm和10cm，任意地往平面上投一半徑為2cm的圓，求此圓不與平行線相交的概率。思考方法 本題的難處，在于題中沒(méi)有直接指明等可能值參數(shù)，為此，需發(fā)掘“任意的往平面上投一直徑為2cm的圓”之真實(shí)含義，找出具有某種等可能的隨機(jī)點(diǎn)。注意到定半徑的圓的位置決定于圓心，可以取圓心作隨機(jī)點(diǎn)，由于平行線可以向兩端無(wú)限延伸，而往平面上投圓又是任意的，所以只要取這組平行線的某一條垂線就可以了；考慮到題設(shè)平行線的間隔交替的為1.5cm和10cm，則研究相鄰三條平行線之間情況就可以反映問(wèn)題的全貌。經(jīng)上面的

33、分析，我們可以取圓心為隨機(jī)點(diǎn)，它等可能地分布在相鄰三條平行線的某一垂線上（如圖1-3）由此原題不難解出。解 設(shè)L1、L2、L3是三條相鄰的平行線，EPF是它們之間的垂線（圖1-3），則樣本空間所對(duì)的區(qū)域是線段EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)注意到L1與L2相鄰1.5cm，所以圓心如果落在線段EP上，那么圓與平行線必定相交。設(shè)半徑為2cm的O、O1分別切L2、L3于P、F，則事件的有利場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域應(yīng)是線段OO1有L(GA)=OO1=PF-OP-O1F=10-2-2=6cm。評(píng)注 從本題可以看出，如果題中沒(méi)有直接指明等可能值參數(shù)，則解題的關(guān)鍵，在于斟酌題設(shè)條件，發(fā)掘等可能

34、值參數(shù)的含義，找出隨機(jī)點(diǎn)的分布情況。例6、廣告法對(duì)插播廣告的時(shí)間有一定的規(guī)定，某人對(duì)某臺(tái)的電視節(jié)目做了長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)后得出結(jié)論，他任意時(shí)間打開(kāi)電視機(jī)看該臺(tái)節(jié)目，看不到廣告的概率為，那么該臺(tái)每小時(shí)約有_分鐘的廣告解析：60×(1)6分鐘答案：6例7、甲、乙兩人約定在下午4:005:00間在某地相見(jiàn)他們約好當(dāng)其中一人先到后一定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到則可以離去，試求這人能相見(jiàn)的概率。解：設(shè)x為甲到達(dá)時(shí)間，為乙到達(dá)時(shí)間.建立坐標(biāo)系，如圖時(shí)可相見(jiàn)，即陰影部分例8、兩對(duì)講機(jī)持有者張三、李四，為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們對(duì)講機(jī)的接收范圍是25km，下午3：00張三在基地正東30km內(nèi)部處，向基地行駛，李四在基地正北40km內(nèi)部處，向基地行駛，試問(wèn)下午3：00，他們可以交談的概率。解：設(shè)為張三、李四與基地的距離，以基地為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.他們構(gòu)成實(shí)數(shù)對(duì)，表示區(qū)域總面積為1200，可以交談即故例9、某勘探隊(duì)勘測(cè)到，在1萬(wàn)平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是多少？分析：石油在1萬(wàn)平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機(jī)的而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積，由幾何概型公式可以求得概率。解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= =0