一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

1、一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性) 1 ()(xFx 一階非線性（自治）方程一階非線性（自治）方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)000 xxxxx設(shè)設(shè)x(t)是方程的解，若從是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，某鄰域的任一初值出發(fā)，都有都有,)(lim0 xtxt稱稱x0是方程是方程(1)的的穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求不求x(t), 判斷判斷x0穩(wěn)定性的方法穩(wěn)定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxFx(1)的近似線性方程的近似線性方程)1 (),2(0)(00對(duì)穩(wěn)定xxF)1 (),2(0)(00對(duì)不穩(wěn)定xxF6.1 捕魚業(yè)的

2、持續(xù)收獲捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）非再生資源（礦業(yè)等） 再生資源應(yīng)適度開發(fā)再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題問題及及 分析分析 在在捕撈量穩(wěn)定捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，如果使捕撈量等于自然增長量，漁漁場(chǎng)魚量將保持不變場(chǎng)魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。，則捕撈量穩(wěn)定。背景背景ExNxrxxFtx)1 ()()( )1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF記

3、產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型假設(shè)假設(shè) 無捕撈時(shí)魚的自然增長服從無捕撈時(shí)魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比建模建模 捕撈情況下捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足漁場(chǎng)魚量滿足 不需要求解不需要求解x(t), 只需知道只需知道x(t)穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件r固有增長率固有增長率, N最大魚量最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強(qiáng)度捕撈強(qiáng)度x(t) 漁場(chǎng)魚量漁場(chǎng)魚量0)(xF0),1 (10 xrENxErxFrExF)(,)(10產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型ExNxrxxFtx)1 ()()( 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷0)(, 0)(10 xFxFrE0)(, 0

4、)(10 xFxFrEx0 穩(wěn)定穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1 穩(wěn)定穩(wěn)定, 漁場(chǎng)干枯漁場(chǎng)干枯E捕撈強(qiáng)度捕撈強(qiáng)度r固有增長率固有增長率不穩(wěn)定穩(wěn)定10,xx穩(wěn)定不穩(wěn)定10,xx產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大圖解法圖解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo) x0平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)2/*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo) h產(chǎn)量產(chǎn)量)4/, 2/(*0*rNhNxPm產(chǎn)量最大產(chǎn)量最大f 與與h交點(diǎn)交點(diǎn)P穩(wěn)定0 xrEhmx0

5、*=N/2P*y=E*x控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半cErEpNEESETER)1 ()()()()1 (4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型效益模型假設(shè)假設(shè) 魚銷售價(jià)格魚銷售價(jià)格p 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c 單位時(shí)間利潤單位時(shí)間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大強(qiáng)度使效益最大.)/1 (0rENx穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22)1 (rENxRR漁場(chǎng)漁場(chǎng)魚量魚量2*rE收入收入 T = ph(x) = pEx支出支出 S = cEEsS(E)T(E)0rE捕撈捕撈過度過度 封閉式捕撈封閉式捕撈追求利潤追求利潤R(E)最大最大 開放式捕撈開放式捕撈只求利潤只求利潤R(E) 0cErEpNEESETER)1 ()()()(R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度臨界強(qiáng)度)