第10章 單一指數(shù)模型

1、單一指數(shù)模型基礎(chǔ)單一指數(shù)模型基礎(chǔ)1 1資產(chǎn)和資產(chǎn)組合的期望收益與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和資產(chǎn)組合的期望收益與風(fēng)險(xiǎn)2 2第第十十章章 單一單一指數(shù)模型指數(shù)模型單一指數(shù)模型的應(yīng)用單一指數(shù)模型的應(yīng)用3 3一、市場(chǎng)價(jià)格運(yùn)動(dòng)對(duì)建立模型的啟發(fā)造成資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的信息是多種多樣的,每種個(gè)別資產(chǎn)價(jià)格會(huì)因信息出現(xiàn)的時(shí)間、性質(zhì)的不同,而導(dǎo)致價(jià)格波動(dòng)的幅度、方向和時(shí)間各不相同。不過,從宏觀上看,當(dāng)整個(gè)市場(chǎng)處于低迷狀態(tài)的時(shí)候,市場(chǎng)中的個(gè)別資產(chǎn)價(jià)格也大多處于下降趨勢(shì);而當(dāng)整個(gè)市場(chǎng)處于牛市狀態(tài)的時(shí)候,市場(chǎng)中的個(gè)別資產(chǎn)價(jià)格也大多呈上升狀態(tài)。由此可見,在個(gè)別資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)與市場(chǎng)總體價(jià)格波動(dòng)之間存在著一定的關(guān)系。正是基于對(duì)市場(chǎng)價(jià)格運(yùn)動(dòng)規(guī)律的這種

2、觀察結(jié)果,夏普提出了簡化馬柯維茨模型的方法,建立和發(fā)展了單一指數(shù)模型。1.單一指數(shù)模型的基本假設(shè)單一指數(shù)模型的基本假設(shè)就是,影響資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的主要共同因素是市場(chǎng)總體價(jià)格水平(通常以某一市場(chǎng)指數(shù)代表,例如上海證券交易所上市股票的價(jià)格波動(dòng)時(shí),一般以上證綜合指數(shù)代表市場(chǎng)總體價(jià)格水平),資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)之間的相互關(guān)系可以通過各資產(chǎn)與這一共同因素之間的相互關(guān)系反映出來。這種間接的反映雖然不如直接計(jì)算各資產(chǎn)間的協(xié)方差那么準(zhǔn)確,但結(jié)果還是可靠的,關(guān)鍵是計(jì)算量因此而大大降低了,從而使之現(xiàn)實(shí)可用。圖101反映了在一段時(shí)間內(nèi)某資產(chǎn)A的收益率與市場(chǎng)收益率之間的關(guān)系,單一指數(shù)模型假設(shè)二者之間存在線性關(guān)系。處在各點(diǎn)之間的直

3、線被稱為特征線,是利用回歸分析方法估算出來的,反映市場(chǎng)收益率與資產(chǎn)A收益率之間的因果關(guān)系。如果我們以表示直線的截距,反映資產(chǎn)收益中獨(dú)立于市場(chǎng)波動(dòng)的部分;以表示直線的斜率,反映資產(chǎn)A的收益率對(duì)市場(chǎng)收益率變動(dòng)的敏感度,則這條反映資產(chǎn)A的收益率和市場(chǎng)收益率關(guān)系的特征線的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:二、單一指數(shù)模型的假設(shè) 圖101 資產(chǎn)A的收益率與市場(chǎng)收益率之間的關(guān)系但是, 是資產(chǎn)A收益率的估計(jì)值而不是實(shí)際值,主要反映了市場(chǎng)收益率變動(dòng)的結(jié)果,而沒有反映其他因素變動(dòng)的影響,這使得 與資產(chǎn)A的實(shí)際收益率rA之間必然會(huì)有偏差。為了全面反映影響資產(chǎn)收益率波動(dòng)的原因,又不至于改變建立模型假設(shè)的初衷,我們可以用誤差項(xiàng)A代表所

4、有沒有被我們?cè)谔卣骶€方程中考慮進(jìn)去的影響資產(chǎn)A收益率的各種因素以及我們假設(shè)rA與rm存在線性關(guān)系為錯(cuò)誤時(shí)產(chǎn)生的誤差。這樣,我們便可以把特征線的方程式修正為:rA=A+Arm+A2.對(duì)影響收益波動(dòng)因素的假設(shè)單一指數(shù)模型影響資產(chǎn)收益率波動(dòng)的因素有兩類:宏觀因素和微觀因素。宏觀因素影響市場(chǎng)全局,如利率的調(diào)整、通貨膨脹率的變動(dòng)等,會(huì)引起市場(chǎng)價(jià)格水平總體的漲落,進(jìn)而帶動(dòng)絕大部分資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng),屬于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。個(gè)別資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)相對(duì)于市場(chǎng)價(jià)格總體水平波動(dòng)的程度取決于個(gè)別資產(chǎn)價(jià)格相對(duì)于市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)的敏感度,即該資產(chǎn)的值。值越大,敏感度越高。值大于1表示資產(chǎn)波動(dòng)幅度大于市場(chǎng)波動(dòng)幅度,資產(chǎn)價(jià)格對(duì)市場(chǎng)變動(dòng)的敏感度強(qiáng);

5、值小于1則相反,如值等于0.7,表示市場(chǎng)收益率每漲落1個(gè)單位,該資產(chǎn)收益率漲落0.7個(gè)單位,該資產(chǎn)收益率的漲落幅度小于市場(chǎng)收益率的漲落幅度。微觀因素被假定只對(duì)個(gè)別企業(yè)有影響,對(duì)其他企業(yè)一般沒有影響,是個(gè)別企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn),或稱為非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。由企業(yè)微觀因素造成的使企業(yè)資產(chǎn)價(jià)格高于或低于市場(chǎng)價(jià)格水平的價(jià)格波動(dòng),在方程式中是用收益誤差項(xiàng)表示的,在rA與rm坐標(biāo)圖上反映為資產(chǎn)收益率的實(shí)際值與特征線之間的差距A。3.對(duì)誤差項(xiàng)A的假設(shè)(1)E(A)=0。從特征線所在的坐標(biāo)圖上不難看出,A是隨機(jī)變量rA與rm的實(shí)際值與預(yù)期值之間的離差,隨機(jī)變量離差的數(shù)學(xué)期望是零。(2)cov(A,rA)=0,即假設(shè)誤差項(xiàng)與市

6、場(chǎng)收益率無關(guān)。由于A與rm分別受宏觀因素和微觀因素的影響,兩者互不相關(guān),無論市場(chǎng)收益率發(fā)生多大的變動(dòng),都不會(huì)對(duì)A產(chǎn)生影響。(3)cov(A,B)=0,即不同資產(chǎn)的誤差項(xiàng)互不相關(guān)。單一指數(shù)模型的最基本假設(shè)就是各種資產(chǎn)的收益率變動(dòng)都只受市場(chǎng)共同因素的影響,誤差項(xiàng)反映的是一個(gè)企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn),與其他企業(yè)無關(guān)。1.資產(chǎn)的期望收益按照單一指數(shù)模型對(duì)資產(chǎn)期望收益決定因素的假設(shè),資產(chǎn)A的期望收益可表述為:E(rA)=E(A+Arm+A)=E(A)+E(Arm)+E(A)=A+AE(rm)它表明,個(gè)別資產(chǎn)的期望收益率的變動(dòng)主要受市場(chǎng)期望收益變動(dòng)的影響,所受影響的大小取決于其對(duì)市場(chǎng)收益率波動(dòng)的敏感度,即值的大小。

7、2.資產(chǎn)的方差資產(chǎn)方差的計(jì)算也是通過將單一指數(shù)模型的基本假設(shè)代入計(jì)算方差的標(biāo)準(zhǔn)公式推導(dǎo)出來的。公式為:E(rA)=ErA-E(rA)2=E(A+Arm+A)-A+AE(rm)2一、單個(gè)資產(chǎn)收益和風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算經(jīng)展開推導(dǎo),結(jié)果為:這一計(jì)算公式表明,資產(chǎn)A的風(fēng)險(xiǎn)是由兩部分組成的: 是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn),或稱系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn); 是企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn),或稱非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)所有資產(chǎn)都會(huì)產(chǎn)生影響,無法靠多樣化投資來回避;非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)則是企業(yè)特有的,與其他企業(yè)無關(guān),可以靠多樣化投資來分散。3.資產(chǎn)間的協(xié)方差同上,我們還可以推導(dǎo)出單一指數(shù)模型計(jì)算資產(chǎn)A和B之間的協(xié)方差的公式:可見,在單一指數(shù)模型中,資產(chǎn)之間的相互關(guān)系是通過它們各自

8、與市場(chǎng)之間的相互關(guān)系綜合反映出來的。計(jì)算兩個(gè)資產(chǎn)的協(xié)方差,只要計(jì)算市場(chǎng)方差和各個(gè)資產(chǎn)的值就可以了。資產(chǎn)組合每增加一項(xiàng)資產(chǎn),只需增加計(jì)算該種資產(chǎn)的值就可以計(jì)算出協(xié)方差。1.資產(chǎn)組合的期望收益計(jì)算資產(chǎn)組合期望收益就是將資產(chǎn)期望收益的計(jì)算公式代入計(jì)算資產(chǎn)組合期望收益的標(biāo)準(zhǔn)公式后進(jìn)行展開推導(dǎo)。公式為: 二、資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)的確定 如果定義 xii=Ap, xii=p,就可以把資產(chǎn)組合的期望收益表示為:E(rp)=Ap+pE(rm)2.資產(chǎn)組合的方差在單一指數(shù)模型中,資產(chǎn)組合方差的計(jì)算公式和單個(gè)資產(chǎn)方差的計(jì)算公式類似:已知p= xii,根據(jù)馬柯維茨模型中方差的計(jì)算公式,資產(chǎn)組合誤差項(xiàng)的方差可計(jì)算如下

9、: xixjcov(i,j)由于在單一指數(shù)模型中假設(shè)任何資產(chǎn)的誤差值變動(dòng)互不相關(guān),即cov(A,B)=0,因此,資產(chǎn)組合誤差項(xiàng)的方差便是各資產(chǎn)誤差項(xiàng)的加權(quán)平均值,即單一指數(shù)模型被廣泛用來估計(jì)馬柯維茨模型要計(jì)算的資產(chǎn)組合的方差。但是,由于單一指數(shù)模型為簡化計(jì)算作了一些假設(shè),這必然會(huì)導(dǎo)致由此計(jì)算出的方差值與馬柯維茨模型計(jì)算出的方差值之間存在差異。清楚地認(rèn)識(shí)這種偏差,對(duì)于我們合理運(yùn)用單一指數(shù)模型的方差值是十分重要的。一、單一指數(shù)模型的假設(shè)給方差估計(jì)帶來的偏差可見,用單一指數(shù)模型計(jì)算的資產(chǎn)組合方差的估計(jì)值與真實(shí)值之間的差異取決于 xixjcov(i,j)。單一指數(shù)模型假設(shè)cov(i,j)=0,因此如果

10、實(shí)際情況是各資產(chǎn)誤差項(xiàng)為正相關(guān),單一指數(shù)模型就會(huì)低估資產(chǎn)組合的方差;反之,則會(huì)高估。特有風(fēng)險(xiǎn),而各資產(chǎn)的誤差項(xiàng)是互不相關(guān)的,那么,資產(chǎn)組合誤差項(xiàng)的方差與資產(chǎn)組合數(shù)量之間的關(guān)系是否也像前面論證的資產(chǎn)組合方差與資產(chǎn)數(shù)量的關(guān)系一樣呢?來看一下公式的推導(dǎo)。假設(shè)資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)權(quán)數(shù)相同,即x1=x2=xn= ,則這樣,當(dāng)N時(shí), 將趨于0。這時(shí),資產(chǎn)組合的方差就主要依市場(chǎng)收益率的波動(dòng)而定,兩者聯(lián)動(dòng)性的大小取決于資產(chǎn)組合的值,即二、多樣化對(duì)資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)影響的再考慮也就是說,當(dāng)投資種類非常多的時(shí)候,資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)將主要來自市場(chǎng),非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)非常低。換句話說,單一指數(shù)模型表明,多樣化可以有效降低非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn),但

11、無法規(guī)避系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。這一結(jié)論與馬柯維茨模型的推論是一致的,只是更具體而已(見圖102)。圖102多樣化降低風(fēng)險(xiǎn)的再考慮根據(jù)單一指數(shù)模型,某種給定股票的收益率與兩個(gè)因素有關(guān):指數(shù)的百分比變動(dòng)和與公司特定事件有關(guān)的變動(dòng)。指數(shù)可以使用任一與證券收益率相聯(lián)系的變量,如通貨膨脹率或標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)。單一指數(shù)假定某種資產(chǎn)i的收益率由下式給出:Ri=i+iI+ei式中:Ri為資產(chǎn)i的收益率;I為某種指數(shù)的百分比變動(dòng),這對(duì)所有的股票都是相同的;ei為與公司特定事件相聯(lián)系的資產(chǎn)i的收益率變動(dòng)。在資本資產(chǎn)定價(jià)模型中,系數(shù)是與市場(chǎng)證券組合相聯(lián)系的,因此,I為市場(chǎng)證券組合的百分比變動(dòng)。與資本資產(chǎn)定價(jià)模型中的一樣,單一

12、指數(shù)模型中的系數(shù)是衡量資產(chǎn)i的收益率對(duì)指數(shù)I變動(dòng)的敏感性指標(biāo)。單一指數(shù)模型中的系數(shù)可以用公式表示為:三、關(guān)于值的預(yù)測(cè)能力問題 圖103中的直線截距為i,斜率為i。如果所有的點(diǎn)Ri都恰好落在這條線上,那么所有的偏離度ei都為零。然而,一般地,某些點(diǎn)會(huì)落在直線上方,某些點(diǎn)又會(huì)落在直線下方,因此,偏離度既可能為正值,也可能為負(fù)值。圖103 單一指數(shù)模型的應(yīng)用單一指數(shù)模型中的值是利用收益率的歷史數(shù)據(jù)估算出來的,由于值常常被人們用來作為投資決策的依據(jù),因此,一個(gè)很重要的問題便是,用歷史的值來預(yù)測(cè)未來的可靠性有多大。1971年3月布魯梅專門研究了這個(gè)問題。他采集了19261968年間紐約證券交易所上市公司所有普通股的月收益率值,同時(shí)把19261968年分成6個(gè)時(shí)間段,分別計(jì)算每一時(shí)間段的各種股票的值;然后,隨機(jī)選擇股票逐一計(jì)算1種至100種股票的資產(chǎn)組合的值;最后,計(jì)算兩個(gè)相鄰時(shí)間段各資產(chǎn)組合值的相關(guān)系數(shù)。其中,19541961年和19611968年這兩段時(shí)間各資產(chǎn)組合值的相關(guān)系數(shù)如表101所示。資產(chǎn)組合中的資產(chǎn)數(shù)量相關(guān)系數(shù)