二次函數(shù)與三角形的存在性問題的解法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)與三角形的存在性問題一、預備知識1、坐標系中或拋物線上有兩個點為P（x1，y），Q（x2，y）(1)線段對稱軸是直線 (2)AB兩點之間距離公式：中點公式：已知兩點，則線段PQ的中點M為。 2、兩直線的解析式為與 如果這兩天兩直線互相垂直，則有3、平面內(nèi)兩直線之間的位置關系：兩直線分別為：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）當k1=k2，b1b2 ，L1L2（2）當k1k2， ，L1與L2相交（3）K1k2= -1時， L1與L2垂直二、三角形的存在性問題探究：三角形的存在性問題主要涉及到的是等腰三角形，等邊三角形，直角三角形（一）三角形的性質(zhì)

2、和判定：1、等腰三角形性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）。判定：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性質(zhì)：滿足勾股定理的三邊關系，斜邊上的中線等于斜邊的一半。判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性質(zhì)：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)，兩底角相等且等于45。判定：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)的三角形是等腰直角三角形4、等邊三角形性質(zhì)：三邊相等，三個角相等且等于60，三線合一，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。判定：三邊相等，拋物線或坐標軸或?qū)ΨQ軸上三個角相等，有一個角是60的等腰三角形是等

3、邊三角形。總結：（1）已知A、B兩點，通過“兩圓一線”可以找到所有滿足條件的等腰三角形，要求的點（不與A、B點重合）即在兩圓上以及兩圓的公共弦上 （2）已知A、B兩點，通過“兩線一圓”可以找到所有滿足條件的直角三角形，要求的點（不與A、B點重合）即在圓上以及在兩條與直徑AB垂直的直線上。 （二）關于等腰三角形找點（作點）和求點的不同， 1、等腰三角形找點（作點）方法：以已知邊為邊長，作等腰三角形，運用兩園一線法，在圖上找出存在點的個數(shù)，只找不求。 2、等腰三角形求點方法：以已知邊為邊長，在拋物線或坐標軸或?qū)ΨQ軸上找點，與已知點構成等腰三角形，先設所求點的坐標，然后根據(jù)兩點間的距離公式求出三點間

4、的線段長度，然后分頂點進行討論，如：已知兩點A、B，在拋物線上求一點C，使得三角形ABC 為等腰三角形 解法：這是求點法：先運用兩點間的距離公式分別求出線段AB BC AC的長度， 第二步，作假設，（1）以點A為頂點的兩條腰相等，即AB=AC （2）以點B為頂點的兩條腰相等，即BA=BC （3）以點C為頂點的兩條腰相等，即CA=CB 第三步，根據(jù)以上等量關系，求出所求點的坐標第四步進行檢驗，這一步是非常重要的，因為求出的有些點是不符合要求的。如：已知兩點A、B，在拋物線上求一點C，使得三角形ABC 為等腰三角形 解法：這是求點法：先運用兩點間的距離公式分別求出線段AB BC AC的長度，第二步

5、，作假設，（1）以點A為頂點的兩條腰相等，即AB=AC （2）以點B為頂點的兩條腰相等，即BA=BC（3）以點C為頂點的兩條腰相等，即CA=CB 第三步，根據(jù)以上等量關系，求出所求點的坐標第四步，進行檢驗，這一步是非常重要的，因為求出的有些點是不符合要求的。（三）關于直角三角形找點和求點的方法 1、 直角三角形找點（作點）方法：以已知邊為邊長，作直角三角形，運用兩線一園法，在圖上找出存在點的個數(shù)，只找不求。所謂的兩線就是指以已知邊為直角邊，過已知邊的兩個端點分別作垂線與拋物線或坐標軸或?qū)ΨQ軸的交點，就是所求的點；一圓就是以已知邊為直徑，以已知邊的中點作圓，與拋物線或坐標軸或?qū)ΨQ軸的交點即為所求

6、的點。2、具體方法 （1）；（2）三角形全等（注意尋找特殊角，如30、60、45、90）（3）三角形相似；經(jīng)常利用一線三等角模型（4）勾股定理；當題目中出現(xiàn)了特殊角時，優(yōu)先考慮全等法 三、二次函數(shù)的應用： 1、應用類型一、利用二次函數(shù)求實際問題中的最大（?。┲担哼@類問題常見有面積、利潤銷售量的最大（?。┲担话氵@類問題的解題方法是：先表示出二次函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題來求解即可。2、應用類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題:3、應用類型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、網(wǎng)球等實際問題；四、等腰三角形的例題解析例題1、（揚州）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，

7、0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由 解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得到拋物線的解析式：y=-x2+2x+3（2）點A、B關于直線l對稱，連接BC，直線BC與直線l的交點為P；p點即為所求的點。設直線BC的解析式為y=kx+b（k0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：直線BC的函數(shù)關系式y(tǒng)=-x+3；當x=1

8、時，y=2，即P的坐標（1，2） （3）拋物線的對稱軸為：x=1，設M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則： MA2=m2+4， MC2=（m -3）2+1=m2-6m+10， AC2=10；（1）MA=MC，則MA2=MC2，得： m2+4=m2-6m+10，得：m=1；若MA=AC，則MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=6；若MC=AC，則MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；設直線AC的解析式為y=k1x+b1（k0），將A（-1，0），C（0，3）代入上式，得Y=3x+3，與 直線x=1的交點坐標為（1,6），所以：當m=6時，M、A、

9、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1，1），（1，-6 ），（1，6），（1，0）易錯點及方法總結：當以C為頂點的兩條腰相等時，求出的點M有可能與AC共線，所以要進行檢驗，這一點非常關鍵。以其它兩點為頂點的兩條腰相等時，不可能存在共線問題，所以不用檢驗。五、直角三角形存在性問題匯總例1、如圖：A(0，1) B(4，3)是直線y=1/2x+1上的兩點，點p是x軸上一點，若ABP是直角三角形，則點p的坐標是多少？解：（1）當BAP為90時，因為LAB: y=1/2x+1 LAP1: y= -2x+1 所以p1（1/2，0）（2）當PBA=90時，因

10、為LAB: y=1/2x+1 LAP2: y= -2x+11 所以p2（11/2，0）（3）當APB=90時，如圖過點B作BDX軸于D例2、（攀枝花）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；（3）設拋物線的頂點為D，DEx軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由 解：（1）由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y=a（x+3

11、）（x-1），將C點坐標（0，-3）代入，得： a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，則y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3，所以拋物線的解析式為：y=x2+2x-3；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得直線AC的解析式為：y= -x-3設P點坐標為（x，x2+2x-3），則點N的坐標為（x，-x-3），PN=（-x-3）-（x2+2x-3）=-x2-3xSPAC=SPAN+SPCN， 當x=-2/3 時，S有最大值27/8，此時點P的坐標為（- 3/2，- 15/4）；（3）在y軸上是存在點M，能夠使得ADM是直角三角形理由如下：y=x

12、2+2x-3=y=（x+1）2-4， 頂點D的坐標為（-1，-4），A（-3，0），AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：(1)A為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=3/2， 所以點M的坐標為（0，3/2）；當D為直角頂點時，如圖3， 由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，解得t=- 7/2， 所以點M的坐標為（0，- 7/2）；當M為直角頂點時，如圖3， 由勾股定理，得AM2+DM2

13、=AD2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=-1或-3， 所以點M的坐標為（0，-1）或（0，-3）；綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0，3/2）或（0，- 7/2）或（0，-1）或（0，-3） 例3、如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，）在拋物線上求點Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形 分析：定解法：有45可以考慮幾何法。代數(shù)法雖然可以，但求解太麻煩，還有四次方。 解法1：（1）：BCQ=90；作QFy軸 因為：OC=OB=3, OBC為等腰直角三角形。 所以：OCB=45；FCQ=45。

14、則QF=CF. 設Q（x, x2-2x-3），則 -（x2-2x-3）-3=x，解得： 所以 Q(1, -4) （2）：CBQ=90；作QFx軸 易得：QBF=45；則QFB為等腰直角三角形 設Q（m，m2-2m-3）, m2-2m-3=3-m，解得：m1=3(舍去） m2=-2 Q(-2,5) 綜上所述： Q1（-2，5）、Q2（1，-4）解法：后面利用勾股定理建立方程（過程略）解法：如圖，過點B作BQ1BC，交拋物線于點Q1、交y軸于點E，連接Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 點E的坐標為（0，3） 直線BE的解析式為12分由 解得 點Q1的坐標為（-2，5）13分如圖1

15、4（4），過點C作CFCB，交拋物線于點Q2、交x軸于點F，連接BQ2 CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 點F的坐標為（-3，0） 直線CF的解析式為14分由 解得 點Q2的坐標為（1，-4）綜上，在拋物線上存在點Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形點睛：（）解法1在設點的坐標時，要考慮長度轉(zhuǎn)化為坐標時，坐標所處的象限。（）解法：關鍵抓住點是直線和拋物線的交點，所以可以聯(lián)立兩個解析式求交點坐標。（值得學習的一種求交點的方法。）例4、（東營）在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（

16、1，0），如圖所示，拋物線y=ax2-ax-2經(jīng)過點B（1）求點B的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）過點B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90，AC0+OAC=90，BCD=CAO，又BDC=COA=90，CB=AC， BDCCOA，BD=OC=1，CD=OA=2，點B的坐標為（3，1）；（2）拋物線y=ax2-ax-2過點B（3，1），1=9a-3a-2，解得：a=1，拋物線的解析式為y=x2-x-2；（3）假設存在點P，使得ACP是等腰直角三角形，若以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1Mx軸，如圖（1），CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P1（-1，-1），經(jīng)檢驗點P1在拋物線 y=x2-x-2上；若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2CA，且使得AP2=AC，得