泛函分析1H-文檔資料

1、1泛函分析 大家以前多學過一些數學方面的課程，比如分析方面的數學分析、實（復）變函數等等，都是歸并于經典分析，其思想是：如果某個量難以被直接了解，那就將它放到某個變化過程中去考慮，后通過對該過程的考察以獲取所求量的信息，產生了變量、函數、極限、連續(xù)、微分和積分等基本概念。類似的，如果對某個變量（如函數）本身難以被直接了解，那能否轉而研究一族變動的變量（如函數空間），然后通過施以變量一定的運算和極限，獲得有關原變量的知識?參考書：應用泛函分析，薛小平（哈工大）、胡適耕（華中科技大）、程曹宗（北京工大） 以上學校圖書館都有，當然還有外文的，不列舉了泛函分析導論及應用 加歐文克雷斯齊格 2345泛函

2、分析 泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的數學分支，用的統(tǒng)一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化，運用代數學、幾何學等學科的觀點和方法研究分析學的課題，可以看作無限維的分析學。 今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術的學科中，起著重要的作用，已成為近代分析的基礎之一。 泛函分析的最基本的內容：三個空間，四個定理6第一章 預備知識 1.集合 所謂集合，是指具有某種特定性質事物的全體，構成集合的“事物”稱為集合的元素。 集合的表示方法：1.列舉法；2.描述法。 相關的概念和符號：集合相等，子集，真子集，有限集，空集，無窮集合；數集的常用符號NQZRC。

3、注：對于給定的集合A，一元素a是否屬于A是確定的。72.集合的運算 集合的交 、并、 差（A-B）、取余（A是B的子集，B-A）。 集合的運算性質：有限交（并）滿足結合律，交換律和分配律；任意交（并）滿足對偶原理 集合的笛卡爾積 集合列的上下極限83.映射 定義：設A、B是兩個非空集合，若存在由A到B的一個對應關系f，滿足對A中任意一元素x，都有B中唯一元素y（=f(x)）與之對應。 映射的分類：單的，滿的，雙射，逆映射、恒定映射 注：1.當B是數集時，映射f稱為泛函；A、B都是數集時，映射f稱為函數。 2. 即使逆映射不存在，也可以進行取原像運算. 3. 在A、B引入拓撲以后，就可以定義映射

4、的 連續(xù)的概念（開集的原像是開集）94.集合的基數 主要應用于無限集合的分類：可數集和不可數集。 集合AB對等（AB）：存在由A到B的雙射f 對等關系是個等價關系（滿足自反性、對稱性和傳遞性）；證明常用Bernstein定理。 與自然數集對等的集合稱為可數集或可列集，有限集和可數集統(tǒng)稱至多可數集，其余的集合稱為不可數集，例如閉區(qū)間0,1。 可數基數a，連續(xù)基數c。10 主要結論：1.可數集的子集至多可數； 2.有限或可數多個可數集合的并是可數集； 3.有限個可數集的直積是可數集； 4. 無限集必于它的某真子集對等，含可數子集；可數集的例子：整數集，有理數集，n維歐式空間中的有理點集。實數的基本

5、定理：確界存在原理、單調有界原理、閉區(qū)間套引理、聚點定理、有限覆蓋定理等等都當成已知115. Lebesgue積分 N-L積分的可積的函數類不夠廣泛，積分運算很不靈活，1902年，法國的Lebesgue引入新積分（另一方法分劃求和取極限）。 相關概念：L-測度，可測集合（函數） 相關結果：Lusin定理、Egoroff定理、Fubini定理、Riesz定理等等。 L-積分與R-積分的關系。 函數列的收斂：逐點、一致、以測度。 更詳細的知識大家可以查閱有關實變函數的參考書。1213選擇公理 泛函分析的研究必須首先承認一些事情 選擇公理：設C為一個由非空集合所組成的集合,那么，我們可以從每一個在C

6、中的集合中，都選擇一個元素和其所在的集合配成有序對來組成一個新的集合。 Zorn引理：設（P,）是偏序集，若P的每一個全序子集在P中都有上界，則P必有極大元 良序原理：所有集合能被良序化。換句話說，對每一個集合來說，都存在一種排序方法，使得它的所有子集都有極小元素 Zorn引理是集論的一個重要工具，與選擇公理，良序原理都是彼此等價的,主要應用于數學上存在性定理的證明，而不具體描述尋求的方法。 14第一章 距離空間 1.1 距離空間的定義和例子 1.2 距離空間的拓撲 1.3 距離空間的稠密性 1.4 距離空間的可分性 1.5 距離空間的完備性 1.6距離空間的緊性 1.7 不動點定理及其應用1

7、51617181920212223常用的幾個公式 赫爾德不等式：p,q1,1/p+1/q=1,則 等號相等當且僅當它們線性相關1111111() () ,0| ( ) ( )|(| ( )|) (| ( )|)pqpqiiiiiiiiipqpqEEEababa bx t y tdtx tdty tdt級數形式：積分形式：24常用的幾個公式 Minkowski不等式：設p不小于1,則 等號相等當且僅當它們線性相關111111111() )(| )(| )(| ( )( )|)(| ( )|)(| ( )|)ppppppiiiiiiippppppEEEababx ty tdtx tdty tdt級

8、數形式：積分形式：25例子 以出租車距離定義的平面距離空間; 序列空間 函數空間Ca,b; 離散距離空間; R上函數|x-y|2；|x-y|1/2是距離嗎？ Hamming距離：X為所有0和1構成的三元序組所構成的集合（總數為8）,元素x，y的距離是x，y中不同的對應分量的個數。 在開關和自動化理論以及編碼理論中都有重要的應用。,1pllp26 距離空間的拓撲 空間引入距離，才有了空間上映射的連續(xù)性概念（開集的原像是開集） 稱X的子集B(x,r)=y;p(x,y)1）在上面定義的距離意義下都是完備的、可分的 不可分距離空間，例如有界序列空間 （利用0，1中點是不可數多個） Ca,b按L1距離就

9、不是完備的,它的完備化空間是L1（存在連續(xù)函數序列，L1收斂到不連續(xù)的可積函數） 有理數點構成的距離空間也不完備l35距離空間的完備化 我們知道有理直線Q是不完備的，但可以擴展為完備的實直線R。 空間不完備時，考慮問題就要特別小心，將不完備空間完備化是個有意義的工作處理方程解的存在性問題時，在不完備的距離空間中解方程，即使近似解的序列是基本列，也不能保證該序列有極限，從而不能保證方程在該空間內有解。 我們還希望完備化后得到的空間能是唯一的最好，相差不多也好。 等距映射、距離空間X，Y是等距的 等距映射一定是同胚的；等距的距離空間，由距離導出的性質全一樣，故當僅限于考慮與距離有關的性質時，彼此可

10、以不加區(qū)分。363738距離空間的緊性 設A的距離空間X的子集，稱A是緊的，如果A的任意一個開覆蓋都存在有限子覆蓋（如果A中任意一個序列都存在一個子列收斂于A中某點）；稱A是列緊的，如果A中任意一個序列都存在一個子列收斂于X中某點。 若空間X本身是緊（列緊）集，則稱X是緊（列緊）空間。 例：實直線R是完備的距離空間，但不是緊的，也不是列緊的；R中任意有界閉集M按R的距離是緊空間，有界開集N是列緊的。 在歐式空間中，有界性和列緊性是一致的。39距離空間的緊性 直接從定義判定一個集合的緊性比較困難。 稱距離空間X的子集A是全有界的，對任意r0，都有A中有限個點，滿足以其為心，r為半徑的開球的并覆蓋

11、了A。 相關結論：1.全有界集是有界的，可分的； 2.列緊集是全有界的；（反證法） 3.若X是完備距離空間，列緊等價于全有界。 Ca,b的子集A是列緊的充要條件是A是一致有界且等度連續(xù)的。40距離空間的緊性 設X是距離空間，則下述結論成立 1. X是緊的當且僅當X是列緊的 2. 緊空間X的閉子集M是緊的。 3. X的列緊的子集是有界集。 緊集的連續(xù)象是緊集 緊集上的連續(xù)函數是一致連續(xù)的，能取到最大值和最小值。 空間X是有限維的當且僅當X的閉單位球是緊集。 非緊的空間，可以通過一點緊致化，進而利用緊空間的性質來研究41小結 我們討論距離空間的基本性質 距離空間就是賦予距離的集合，是三維立體空間概

12、念的推廣，二者既有相同又不完全相同。 研究的空間的目的，在于把由實際問題歸納出來的某些集合抽象為具有某種屬性的空間，從而利用數學上已有的結論去分析他們的性質。 如：關于點的收斂性就與自控控制系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性、控制算法的收斂性等密切相關。 下面我們介紹的這個結論，不僅在數學上，在其它的學科也能看到廣泛的應用。424300*xCauchyx*,(,)(,)(,)0Banach1.nnnTXTx xTx TxTx xTT定理證明：隨便給定一點 ，壓縮算子 逐次作用，得到了一個列，由空間 的完備性，極限點存在且唯一 不動點就得到了.。該定理（壓縮映射原理）就是某一類映射的不動點存在性和唯一性的問題

13、，不動點可以通過迭代序列求出。實際應用中 未必是，是壓縮時，命題仍然成立。注： 該原理是求解代數方程、微分方程但、積分方002.x0( *,)(,)1nnaxxTx xa程、以及數值分析迭代算法的收斂性的理論依據，是數學和工程計算中最經常使用的方法之一。迭代序列中可以任意取，可以對近似不動點給予誤差估計44動態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)軌線的存在性和唯一性 控制論中，確定性動態(tài)控制系統(tǒng)可以用如下常微分方程來描述 x(t)表示時間段T上系統(tǒng)的狀態(tài)軌線（函數），是n維的向量函數，u(t)是控制輸入函數，都視為距離空間中的點。 上式等價于如下形式的積分方程：00( ), ( )( , ( ), ( ),T ,.f

14、x tx x tF t x t u ttt t0( )( , ( ), ( ),T.ttx txFxudt45 定理：對由上式所描述的系統(tǒng)，假設T是有界區(qū)間， 是連續(xù)的，即 注：只要常微分方程滿足定理條件，就可以利用數值積分和迭代算法來求方程的近似解（Picard逐次逼近法）:F TXUX映射121211|( ,( ), ( )( ,( ), ( )|( )|( )( )|( )0,( ),( )XXF t x t u tF t x t u tM ux tx tM ux tx tX其中0(1)( )0( )( ,( ), ( ),( ),T, nN.tnntxtxFxudx txt 46定理定

15、理3（Picard）設 是矩形 上的二元連續(xù)函數，設 ，又 在D上關于x滿足Lipschitz條件，即存在常數K，使對任意的 ，有 ，那么方程 在區(qū)間 上有唯一的滿足初值條件 的連續(xù)函數解，其中 min . 壓縮映射原理不僅證明了方程 解的存在性和唯一性，而且也提供了求解的方法逐次逼近法，即只要任取 ，令 ，則解 。如果在（3）中，令 ，則有 （4）（4）式給出了用逼近解x的誤差估計式。,f t x00=,Dt xtta xxb,f t xMt xD,f t x , ,t xt vD,f t xf t vK xv,dxf t xdt00=,Jtt 00 x tx1,baMK Txx0 xX0n

16、nxT xlimnnxxn 01,1mmd xxd x x47以及隱函數存在定理48 例：線性代數Ax=b均可寫成x=Cx+D，如果矩陣C滿足條件|C|1,則該方程有唯一解，且可以由迭代求得 練習：利用壓縮映像原理證明方程x=a sinx只有唯一解x=0，其 中0a1。 隱函數定理：設函數 f(x,y)在帶狀區(qū)域D中處處連續(xù)，且處處有關于y的偏導數。如果存在常數mM,滿足 則方程f(x,y)=0在區(qū)間a,b上必有唯一的連續(xù)函數y=g(x)作為解。其中0( , ).ymfx yMD( , ):,.x yaxby 49 121211221 , ,1()( )( )( , ( ), , .( , )( ) , , , ,11|()( )()( )| |( )( ,( )( )( ,( )|( )C a bTTxxf x