第8-9講 矩形單元和6節(jié)點(diǎn)三角形單元

1、第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元第第4 4章章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.2矩形單元4.36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介矩形單元討論矩形單元討論單元位移模式單元位移模式單元應(yīng)力、應(yīng)變單元應(yīng)力、應(yīng)變單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧?jiǎn)介單元簡(jiǎn)介面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)4.1提高有限元求解精度的途徑簡(jiǎn)單三角形單元缺點(diǎn)簡(jiǎn)單三角形單元缺點(diǎn)提高有限元求解精度的途徑提高有限元求解精度的途徑高精度單元的原理高精度單元的原理單元位移模式單元位移模式第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.1 4.1 提高有限元求解精度的途徑提高有限元求解精度的途徑三節(jié)點(diǎn)三角形單元精度低，收斂慢，在單元內(nèi)不

2、能反映應(yīng)力應(yīng)變的變化。這是因?yàn)樵搯卧挥?個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元自由度少，單元位移模式只能是線性函數(shù)，描述單元內(nèi)位移變化的能力差。一、簡(jiǎn)單三角形單元的缺點(diǎn)二、提高有限元求解精度的途徑第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元三、建立高精度單元的原理和途徑4.1 4.1 提高有限元求解精度的途徑提高有限元求解精度的途徑第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.2 4.2 矩形單元矩形單元一、矩形單元及其位移模式矩形單元邊長(zhǎng)分別為2a、2b。取4個(gè)頂點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。不失一般性地假設(shè)矩形的2個(gè)對(duì)稱軸分別為x，y軸。每節(jié)點(diǎn)2個(gè)位移分量，因此單元共8個(gè)自由度。單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)為 k，l，m，n單元節(jié)點(diǎn)位

3、移列陣為： Tnnmmllkkevuvuvuvu第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元單元內(nèi)位移多項(xiàng)式設(shè)4項(xiàng)，為雙線性多項(xiàng)式：xyayaxaavxyayaxaau87654321iinnmmllkkuNuNuNuNuNuiinnmmllkkvNvNvNvNvNv寫成矩陣形式為： eNvu其中 為形函數(shù)矩陣 N4.2 4.2 矩形單元矩形單元通過節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移代入，把廣義坐標(biāo)（多項(xiàng)式系數(shù)） 代換為節(jié)點(diǎn)位移分量后得到插值形式的位移函數(shù)：81 aa第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元 nmlknmlkNNNNNNNNN00000000各形函數(shù)為：)1)(1 (41)1)

4、(1 (41)1)(1 (41)1)(1 (41byaxNbyaxNbyaxNbyaxNnmlk形函數(shù)矩陣4.2 4.2 矩形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元由于邊界平行于坐標(biāo)軸，矩形單元位移模式沿單元邊界（x，y方向）都是線性變化，沿其他方向則按2次函數(shù)變化。稱為“雙線性”位移函數(shù)。由于單元位移在單元邊界上線性變化，而單元之間的公共邊界上有2個(gè)公共節(jié)點(diǎn)，所以單元邊界間的位移是連續(xù)的，單元滿足協(xié)調(diào)性條件。和簡(jiǎn)單三角形單元一樣，矩形單元位移模式中包含了完全一次多項(xiàng)式，所以滿足完備性條件。因此矩形單元的收斂性得到保證。顯然，上述形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)。4.2 4.2 矩

5、形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元二、單元應(yīng)變和應(yīng)力 eexyyxBNxyyx00 ybxaybxaybxaybxaxaxaxaxaybybybybabB0000000041l 形函數(shù)矩陣經(jīng)過微分算子矩陣作用后得到38應(yīng)變矩陣：l 單元位移模式代入平面問題幾何方程：4.2 4.2 矩形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元由平面問題物理方程（應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系）得到： eeSBD對(duì)于矩形單元，其單元上應(yīng)力、應(yīng)變不再是常數(shù)，而是一定程度上呈線性變化，即：x方向正應(yīng)變、正應(yīng)力隨y坐標(biāo)線性變化；y方向正應(yīng)變和正應(yīng)力隨x坐標(biāo)線性變化。因此，在一定條件下，

6、精度會(huì)高一階。4.2 4.2 矩形單元矩形單元 )(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)()()()()()()()()()()()()()()()()1 (42ybxaybxaybxaybxaxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybabES第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元三、矩形單元?jiǎng)偠染仃嚲匦螁卧獎(jiǎng)偠染仃噷?dǎo)出的原理和方法同簡(jiǎn)單三角形單元。計(jì)算式如下： hdxdyBDBkaaTbbe 可以通過積分計(jì)算出精確的剛度矩陣元素，見P51。4.2 4.2 矩形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.2 4.

7、2 矩形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介 6節(jié)點(diǎn)三角形單元 2122111098726254321yxxyyxvyxxyyxu第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介6161iiiiiivNvuNu第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介三角形單元上的面積坐標(biāo)AALAALAALjmjjiiAAAAAmji：為三角形面積，顯然有第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介)(21ycxbaALiiii）（mji,第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元yxcbacbacbaALLLmmmjjjiiimji1214.3 64.3 6節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介mmjjiimmjjiiLyLyLyyLxLxLxxmjimjimjiLLLyyyxxxyx1111第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介iiiLLN) 12(）（3 , 2 , 1i136325214444LLNLLNLLN第四章第四章 平