《微分幾何》教學(xué)大綱09

1、微分幾何課程教學(xué)大綱課程名稱(chēng)微分幾何Differential geometry課程編碼10011500210課程類(lèi)型專(zhuān)業(yè)選修課課程性質(zhì)專(zhuān)業(yè)主干課適用范圍數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（教師教育）專(zhuān)業(yè)學(xué)分?jǐn)?shù)3先修課程數(shù)學(xué)分析、線(xiàn)性代數(shù)、空間解析幾何、常微分方程學(xué)時(shí)數(shù)54實(shí)驗(yàn)/實(shí)踐學(xué)時(shí)無(wú)課外學(xué)時(shí)無(wú)考核方式考試一、教學(xué)大綱說(shuō)明（一）課程的地位、作用和任務(wù)微分幾何是本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（教師教育）專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)選修課程之一。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要求掌握三維空間的曲線(xiàn)和曲面的局部理論以及向量分析研究曲線(xiàn)與曲面的基本方法,培養(yǎng)學(xué)生的幾何素養(yǎng)，為今后探索現(xiàn)代微分幾何打下基礎(chǔ)。本課程要求掌握微分幾何的基本內(nèi)容和研究方法。（二）課程教

2、學(xué)的目的和要求：微分幾何是本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)必修課程之一。學(xué)習(xí)及考試重點(diǎn)是空間曲線(xiàn)的基本三菱形、曲率、撓率和伏雷內(nèi)（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他們所表示的曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)、外蘊(yùn)性質(zhì)以及可展曲面和測(cè)地線(xiàn)。本課程的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的幾何素養(yǎng)，為今后探索現(xiàn)代微分幾何打好基礎(chǔ)，使之具備一定的科學(xué)研究能力，并獨(dú)立攥寫(xiě)小論文。要求學(xué)生掌握：曲線(xiàn)的概念，空間曲線(xiàn)，一般螺線(xiàn)，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式 ，直紋曲面和可展曲面 ，曲面論的基本定理。 理解：貝特朗曲線(xiàn)，曲面上的測(cè)地線(xiàn)了解：常高斯曲率的曲面。（三）課程教學(xué)方法與手段采用理論與習(xí)題相結(jié)合的教學(xué)方法

3、。（四）課程與其它課程的聯(lián)系本課程是后續(xù)專(zhuān)業(yè)課，它需要具備解析幾何、數(shù)學(xué)分析、微分方程等課程的基本知識(shí)、基本理論，和與本課程平行開(kāi)設(shè)拓?fù)鋵W(xué)有一定聯(lián)系。本課程是學(xué)生將來(lái)進(jìn)行專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)習(xí)整體微分幾何、微分流形等課程的基礎(chǔ)；又是現(xiàn)代實(shí)、復(fù)分析的重要基礎(chǔ)。（五）教材與教學(xué)參考書(shū)教材：梅向明、黃敬之，  微分幾何 (第三版)， 高等教育出版社，2003年12月參考書(shū)： 1、 梅向明、黃敬之，微分幾何，人民教育出版社2、吳大任，微分幾何講義3、陳維桓等，微分幾何講義2006年6月二、 課程教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)本課程主要講授三維空間中經(jīng)典的曲線(xiàn)和曲面的局部理論。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

4、：本課程的重點(diǎn)是空間曲線(xiàn)和曲面論的基本概念、技巧、方法和理論。難點(diǎn)是抽象性及用微分方程解決幾何問(wèn)題。第一章 曲線(xiàn)論第一節(jié) 向量函數(shù)1、 教學(xué)內(nèi)容向量函數(shù)的極限、連續(xù)、微分、Taylor展式及積分、向量函數(shù)具有固定長(zhǎng)的充要條件等。2、教學(xué)目的及要求1)、理解向量函數(shù)的基本概念以及向量函數(shù)與實(shí)函數(shù)之間的關(guān)系；幾種具有特殊性質(zhì)的向量函數(shù)的性質(zhì)及幾何意義；幾種具有特殊性質(zhì)的向量函數(shù)的性質(zhì)的證明方法；2)、熟練掌握有關(guān)向量函數(shù)的各種微分、積分運(yùn)算；泰勒公式向量函數(shù)的微積分運(yùn)算，具有特殊條件的向量函數(shù)的性質(zhì)。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)向量函數(shù)的微積分學(xué)，基本運(yùn)算及其性質(zhì)。 第二節(jié) 曲線(xiàn)的概念1、教學(xué)內(nèi)容曲線(xiàn)的基本

5、概念、切線(xiàn)和法面的求法，曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)，自然參數(shù)的引進(jìn)。2、教學(xué)目的及要求1)、理解有關(guān)曲線(xiàn)的基本概念；理解弧長(zhǎng)參數(shù)的幾何意義2)、掌握曲線(xiàn)方程的各種表達(dá)形式；曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法面的求法；曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)的計(jì)算方法。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)基本概念及其幾何意義，切線(xiàn)、法面、弧長(zhǎng)的計(jì)算。第三節(jié) 空間曲線(xiàn)1、 教學(xué)內(nèi)容曲線(xiàn)的密切面、基本三棱形，曲率、撓率、Frenet公式，曲線(xiàn)的局部結(jié)構(gòu)和基本定理。2、教學(xué)目的及要求1）、理解有關(guān)曲線(xiàn)的密切面、單位切向量、主法向量、副法向量的概念、幾何意義以及它們之間的關(guān)系和計(jì)算方法；曲線(xiàn)的基本三棱形；空間曲線(xiàn)在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)的幾何意義及表達(dá)形式；空間曲線(xiàn)的曲率和撓率的概念及幾何意義

6、；空間曲線(xiàn)論基本定理的實(shí)質(zhì)含義和證明方法；2）、熟練掌握有關(guān)曲線(xiàn)的切線(xiàn)、主法線(xiàn)、副法線(xiàn)、密切面、從切面、法面、單位切向量、主法向量、副法向量的表達(dá)形式；熟練掌握空間曲線(xiàn)的曲率和撓率的計(jì)算公式；柱面螺線(xiàn)的幾個(gè)特殊性質(zhì)的證明方法及幾何意義。  熟練掌握空間曲線(xiàn)論的基本公式。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)密切面、曲率、撓率的計(jì)算，F(xiàn)renet公式的運(yùn)用，曲線(xiàn)的局部結(jié)構(gòu)和基本定理的理解。 第二章 曲面論第一節(jié) 曲面的概念1、教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)單曲面的參數(shù)表示，曲面的法線(xiàn)、切面，曲面的曲線(xiàn)（族）網(wǎng)。2、教學(xué)目的及要求1）理解曲面的切平面及法線(xiàn)的概念并掌握其各種表達(dá)形式；曲面的參數(shù)變換及定向；2）掌握曲面方程及曲面

7、上的曲線(xiàn)的各種表達(dá)形式；曲面上的曲線(xiàn)族和曲線(xiàn)網(wǎng)的概念。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)簡(jiǎn)單曲面及其上面曲線(xiàn)族（網(wǎng)）的特征，曲面的法線(xiàn)、切面的求法等。 第二節(jié) 曲面的第一基本形式1、 教學(xué)內(nèi)容曲面的第一基本形式，曲面上曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、兩相交曲線(xiàn)的交角、曲面域面積的計(jì)算，等距（角）變換等。2、教學(xué)目的及要求1）理解曲面的第一基本量和第一基本形式的概念及表達(dá)形式；曲面上正交曲線(xiàn)網(wǎng)的概念及表達(dá)形式；解曲面間的映射的概念；曲面的內(nèi)蘊(yùn)量及內(nèi)蘊(yùn)性。2）掌握曲面上曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、夾角、曲面域的面積的計(jì)算方法；曲面間等距映射和等角映射的的充要條件及幾何意義。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)曲面第一基本形式及相關(guān)量的計(jì)算，第一基本形式幾何意義的理解

8、等。 第三節(jié) 曲面的第二基本形式1、 教學(xué)內(nèi)容曲面的第二基本形式，曲面上曲線(xiàn)的曲率、曲面的漸進(jìn)（線(xiàn)）方向、共扼方向、主方向和曲率線(xiàn)，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部結(jié)構(gòu)等。2、教學(xué)目的及要求1）理解曲面第二基本形式的概念及幾何意義；法曲率的概念、幾何意義以及和法截線(xiàn)曲率的關(guān)系；杜邦指標(biāo)線(xiàn)的概念及幾何意義；主曲率的幾何意義、主曲率和法曲率之間的關(guān)系；漸近曲線(xiàn)網(wǎng)、共軛曲線(xiàn)網(wǎng)、曲率線(xiàn)網(wǎng)的概念、幾何意義并掌握它們的表達(dá)形式及計(jì)算方法；漸近曲線(xiàn)、曲率線(xiàn)的概念及幾何意義并掌握它們的表達(dá)形式及計(jì)算方法；曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)及其研究方法；高斯映射的幾何意義及表達(dá)形式；2）掌握曲面第二基本形式的各種

9、表達(dá)形式、第二基本量的計(jì)算方法；法曲率的幾種表達(dá)形式；漸近方向、共軛方向、 主方向的各種表達(dá)形式及計(jì)算方法，并理解它們的幾何意義及相互關(guān)系；主曲率、高斯曲率、平均曲率的計(jì)算方法及它們之間的相互關(guān)系；第三基本形式的表達(dá)方法以及它與第一基本形式、第二基本形式的關(guān)系。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)理解曲面第二基本形式，曲面上曲線(xiàn)的曲率、曲面的漸進(jìn)（線(xiàn)）方向、共扼方向、主方向和曲率線(xiàn)，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意義，會(huì)進(jìn)行它們的計(jì)算。 第四節(jié) 直紋面與可展曲面1、 教學(xué)內(nèi)容直紋面、可展曲面。2、教學(xué)目的及要求。1）掌握直紋面的方程及性質(zhì)；可展曲面的分類(lèi)；有關(guān)可展曲面的幾個(gè)重要定理；2）理解可展曲面可作為單

10、平面組參數(shù)的包絡(luò)面的幾何意義。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)直紋面和可展曲面的定義與基本特征及判定定理，包絡(luò)線(xiàn)（面）的求法。 第五節(jié) 曲面論的基本定理1、 教學(xué)內(nèi)容曲面論的基本定理及相關(guān)概念。2、教學(xué)目的及要求1）理解本節(jié)中所采用的幾種符號(hào)的表示方法；Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的實(shí)質(zhì)意義及推倒過(guò)程；2）掌握Gauss公式和Weingarten公式兩組基本公式；Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的獨(dú)立形式；3）了解高斯曲率的另外兩種表達(dá)形式，記住當(dāng)F=0時(shí)，高斯曲率的計(jì)算公式及高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的性質(zhì)；基本定理的意義及證明。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)曲面的第一、二類(lèi)基本量滿(mǎn)

11、足的方程，曲率張量等符號(hào)的記法與特點(diǎn)，曲面論的基本定理的內(nèi)容等。 第六節(jié) 曲面上的測(cè)地線(xiàn)1、教學(xué)內(nèi)容曲面上曲線(xiàn)的測(cè)地曲率與測(cè)地線(xiàn)，測(cè)地線(xiàn)的特征，半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)，Gauss-Bonnet公式，極小曲面等。2、教學(xué)目的及要求1）理解曲面上曲線(xiàn)的測(cè)地曲率的概念和幾何意義；曲面上測(cè)地線(xiàn)的概念、幾何意義及短程性；半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)及幾種特殊形式；曲面上向量場(chǎng)的概念和向量場(chǎng)絕對(duì)微分的概念及絕對(duì)微分的表達(dá)形式；平行移動(dòng)的概念及其與普通平移的關(guān)系；2）掌握曲面上曲線(xiàn)的測(cè)地曲率的計(jì)算公式，記住F=0時(shí)的Liouville公式測(cè)地線(xiàn)的微分方程；Gauss-Bonnet公式及特殊情況平行向量場(chǎng)的充要條件和存在唯一性定理，并

12、理解其幾何意義；3）了解極小曲面的概念、性質(zhì)及幾何特征。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)地曲率和測(cè)地線(xiàn)、半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)的定義及其幾何意義， Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移動(dòng)，極小曲面的特征等。 第七節(jié) 常Gauss曲率的曲面1、 教學(xué)內(nèi)容常Gauss曲率曲面，偽球面，羅巴切夫斯基幾何簡(jiǎn)介。2、教學(xué)目的及要求1）了解幾種常高斯曲率曲面的概念及其性質(zhì)；2）了解偽球面的概念及其性質(zhì)。三、 建議學(xué)時(shí)分配：教學(xué)內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配采用何種多媒體教學(xué)手段章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計(jì)第一章§1向量函數(shù)3   3§2曲線(xiàn)的概念6   6§3空間曲線(xiàn)7 2 9第二章§1曲面的