《微分幾何》教學(xué)大綱09

1、微分幾何課程教學(xué)大綱課程名稱微分幾何Differential geometry課程編碼10011500210課程類型專業(yè)選修課課程性質(zhì)專業(yè)主干課適用范圍數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（教師教育）專業(yè)學(xué)分?jǐn)?shù)3先修課程數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、空間解析幾何、常微分方程學(xué)時(shí)數(shù)54實(shí)驗(yàn)/實(shí)踐學(xué)時(shí)無課外學(xué)時(shí)無考核方式考試一、教學(xué)大綱說明（一）課程的地位、作用和任務(wù)微分幾何是本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（教師教育）專業(yè)的專業(yè)選修課程之一。通過本課程的學(xué)習(xí)，要求掌握三維空間的曲線和曲面的局部理論以及向量分析研究曲線與曲面的基本方法,培養(yǎng)學(xué)生的幾何素養(yǎng)，為今后探索現(xiàn)代微分幾何打下基礎(chǔ)。本課程要求掌握微分幾何的基本內(nèi)容和研究方法。（二）課程教

2、學(xué)的目的和要求：微分幾何是本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課程之一。學(xué)習(xí)及考試重點(diǎn)是空間曲線的基本三菱形、曲率、撓率和伏雷內(nèi)（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他們所表示的曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)、外蘊(yùn)性質(zhì)以及可展曲面和測(cè)地線。本課程的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的幾何素養(yǎng)，為今后探索現(xiàn)代微分幾何打好基礎(chǔ)，使之具備一定的科學(xué)研究能力，并獨(dú)立攥寫小論文。要求學(xué)生掌握：曲線的概念，空間曲線，一般螺線，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式 ，直紋曲面和可展曲面 ，曲面論的基本定理。 理解：貝特朗曲線，曲面上的測(cè)地線了解：常高斯曲率的曲面。（三）課程教學(xué)方法與手段采用理論與習(xí)題相結(jié)合的教學(xué)方法

3、。（四）課程與其它課程的聯(lián)系本課程是后續(xù)專業(yè)課，它需要具備解析幾何、數(shù)學(xué)分析、微分方程等課程的基本知識(shí)、基本理論，和與本課程平行開設(shè)拓?fù)鋵W(xué)有一定聯(lián)系。本課程是學(xué)生將來進(jìn)行專業(yè)學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)習(xí)整體微分幾何、微分流形等課程的基礎(chǔ)；又是現(xiàn)代實(shí)、復(fù)分析的重要基礎(chǔ)。（五）教材與教學(xué)參考書教材：梅向明、黃敬之，  微分幾何 (第三版)， 高等教育出版社，2003年12月參考書： 1、 梅向明、黃敬之，微分幾何，人民教育出版社2、吳大任，微分幾何講義3、陳維桓等，微分幾何講義2006年6月二、 課程教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)本課程主要講授三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的局部理論。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

4、：本課程的重點(diǎn)是空間曲線和曲面論的基本概念、技巧、方法和理論。難點(diǎn)是抽象性及用微分方程解決幾何問題。第一章 曲線論第一節(jié) 向量函數(shù)1、 教學(xué)內(nèi)容向量函數(shù)的極限、連續(xù)、微分、Taylor展式及積分、向量函數(shù)具有固定長(zhǎng)的充要條件等。2、教學(xué)目的及要求1)、理解向量函數(shù)的基本概念以及向量函數(shù)與實(shí)函數(shù)之間的關(guān)系；幾種具有特殊性質(zhì)的向量函數(shù)的性質(zhì)及幾何意義；幾種具有特殊性質(zhì)的向量函數(shù)的性質(zhì)的證明方法；2)、熟練掌握有關(guān)向量函數(shù)的各種微分、積分運(yùn)算；泰勒公式向量函數(shù)的微積分運(yùn)算，具有特殊條件的向量函數(shù)的性質(zhì)。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)向量函數(shù)的微積分學(xué)，基本運(yùn)算及其性質(zhì)。 第二節(jié) 曲線的概念1、教學(xué)內(nèi)容曲線的基本

5、概念、切線和法面的求法，曲線的弧長(zhǎng)，自然參數(shù)的引進(jìn)。2、教學(xué)目的及要求1)、理解有關(guān)曲線的基本概念；理解弧長(zhǎng)參數(shù)的幾何意義2)、掌握曲線方程的各種表達(dá)形式；曲線的切線和法面的求法；曲線的弧長(zhǎng)的計(jì)算方法。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)基本概念及其幾何意義，切線、法面、弧長(zhǎng)的計(jì)算。第三節(jié) 空間曲線1、 教學(xué)內(nèi)容曲線的密切面、基本三棱形，曲率、撓率、Frenet公式，曲線的局部結(jié)構(gòu)和基本定理。2、教學(xué)目的及要求1）、理解有關(guān)曲線的密切面、單位切向量、主法向量、副法向量的概念、幾何意義以及它們之間的關(guān)系和計(jì)算方法；曲線的基本三棱形；空間曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)的幾何意義及表達(dá)形式；空間曲線的曲率和撓率的概念及幾何意義

6、；空間曲線論基本定理的實(shí)質(zhì)含義和證明方法；2）、熟練掌握有關(guān)曲線的切線、主法線、副法線、密切面、從切面、法面、單位切向量、主法向量、副法向量的表達(dá)形式；熟練掌握空間曲線的曲率和撓率的計(jì)算公式；柱面螺線的幾個(gè)特殊性質(zhì)的證明方法及幾何意義。  熟練掌握空間曲線論的基本公式。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)密切面、曲率、撓率的計(jì)算，F(xiàn)renet公式的運(yùn)用，曲線的局部結(jié)構(gòu)和基本定理的理解。 第二章 曲面論第一節(jié) 曲面的概念1、教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)單曲面的參數(shù)表示，曲面的法線、切面，曲面的曲線（族）網(wǎng)。2、教學(xué)目的及要求1）理解曲面的切平面及法線的概念并掌握其各種表達(dá)形式；曲面的參數(shù)變換及定向；2）掌握曲面方程及曲面

7、上的曲線的各種表達(dá)形式；曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)的概念。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)簡(jiǎn)單曲面及其上面曲線族（網(wǎng)）的特征，曲面的法線、切面的求法等。 第二節(jié) 曲面的第一基本形式1、 教學(xué)內(nèi)容曲面的第一基本形式，曲面上曲線的弧長(zhǎng)、兩相交曲線的交角、曲面域面積的計(jì)算，等距（角）變換等。2、教學(xué)目的及要求1）理解曲面的第一基本量和第一基本形式的概念及表達(dá)形式；曲面上正交曲線網(wǎng)的概念及表達(dá)形式；解曲面間的映射的概念；曲面的內(nèi)蘊(yùn)量及內(nèi)蘊(yùn)性。2）掌握曲面上曲線的弧長(zhǎng)、夾角、曲面域的面積的計(jì)算方法；曲面間等距映射和等角映射的的充要條件及幾何意義。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)曲面第一基本形式及相關(guān)量的計(jì)算，第一基本形式幾何意義的理解

8、等。 第三節(jié) 曲面的第二基本形式1、 教學(xué)內(nèi)容曲面的第二基本形式，曲面上曲線的曲率、曲面的漸進(jìn)（線）方向、共扼方向、主方向和曲率線，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部結(jié)構(gòu)等。2、教學(xué)目的及要求1）理解曲面第二基本形式的概念及幾何意義；法曲率的概念、幾何意義以及和法截線曲率的關(guān)系；杜邦指標(biāo)線的概念及幾何意義；主曲率的幾何意義、主曲率和法曲率之間的關(guān)系；漸近曲線網(wǎng)、共軛曲線網(wǎng)、曲率線網(wǎng)的概念、幾何意義并掌握它們的表達(dá)形式及計(jì)算方法；漸近曲線、曲率線的概念及幾何意義并掌握它們的表達(dá)形式及計(jì)算方法；曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)及其研究方法；高斯映射的幾何意義及表達(dá)形式；2）掌握曲面第二基本形式的各種

9、表達(dá)形式、第二基本量的計(jì)算方法；法曲率的幾種表達(dá)形式；漸近方向、共軛方向、 主方向的各種表達(dá)形式及計(jì)算方法，并理解它們的幾何意義及相互關(guān)系；主曲率、高斯曲率、平均曲率的計(jì)算方法及它們之間的相互關(guān)系；第三基本形式的表達(dá)方法以及它與第一基本形式、第二基本形式的關(guān)系。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)理解曲面第二基本形式，曲面上曲線的曲率、曲面的漸進(jìn)（線）方向、共扼方向、主方向和曲率線，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意義，會(huì)進(jìn)行它們的計(jì)算。 第四節(jié) 直紋面與可展曲面1、 教學(xué)內(nèi)容直紋面、可展曲面。2、教學(xué)目的及要求。1）掌握直紋面的方程及性質(zhì)；可展曲面的分類；有關(guān)可展曲面的幾個(gè)重要定理；2）理解可展曲面可作為單

10、平面組參數(shù)的包絡(luò)面的幾何意義。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)直紋面和可展曲面的定義與基本特征及判定定理，包絡(luò)線（面）的求法。 第五節(jié) 曲面論的基本定理1、 教學(xué)內(nèi)容曲面論的基本定理及相關(guān)概念。2、教學(xué)目的及要求1）理解本節(jié)中所采用的幾種符號(hào)的表示方法；Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的實(shí)質(zhì)意義及推倒過程；2）掌握Gauss公式和Weingarten公式兩組基本公式；Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的獨(dú)立形式；3）了解高斯曲率的另外兩種表達(dá)形式，記住當(dāng)F=0時(shí)，高斯曲率的計(jì)算公式及高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的性質(zhì)；基本定理的意義及證明。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)曲面的第一、二類基本量滿

11、足的方程，曲率張量等符號(hào)的記法與特點(diǎn)，曲面論的基本定理的內(nèi)容等。 第六節(jié) 曲面上的測(cè)地線1、教學(xué)內(nèi)容曲面上曲線的測(cè)地曲率與測(cè)地線，測(cè)地線的特征，半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)，Gauss-Bonnet公式，極小曲面等。2、教學(xué)目的及要求1）理解曲面上曲線的測(cè)地曲率的概念和幾何意義；曲面上測(cè)地線的概念、幾何意義及短程性；半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)及幾種特殊形式；曲面上向量場(chǎng)的概念和向量場(chǎng)絕對(duì)微分的概念及絕對(duì)微分的表達(dá)形式；平行移動(dòng)的概念及其與普通平移的關(guān)系；2）掌握曲面上曲線的測(cè)地曲率的計(jì)算公式，記住F=0時(shí)的Liouville公式測(cè)地線的微分方程；Gauss-Bonnet公式及特殊情況平行向量場(chǎng)的充要條件和存在唯一性定理，并

12、理解其幾何意義；3）了解極小曲面的概念、性質(zhì)及幾何特征。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)地曲率和測(cè)地線、半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)的定義及其幾何意義， Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移動(dòng)，極小曲面的特征等。 第七節(jié) 常Gauss曲率的曲面1、 教學(xué)內(nèi)容常Gauss曲率曲面，偽球面，羅巴切夫斯基幾何簡(jiǎn)介。2、教學(xué)目的及要求1）了解幾種常高斯曲率曲面的概念及其性質(zhì)；2）了解偽球面的概念及其性質(zhì)。三、 建議學(xué)時(shí)分配：教學(xué)內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配采用何種多媒體教學(xué)手段章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計(jì)第一章§1向量函數(shù)3   3§2曲線的概念6   6§3空間曲線7 2 9第二章§1曲面的