蔡氏電路及混沌現(xiàn)象研究

1、蔡氏電路及混沌現(xiàn)象研究 一、引言 在非線性電路中蔡氏電路是迄今為止產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的最為有效和較為簡單的電路之一?；煦?chaos)現(xiàn)象的研究是非線性系統(tǒng)理論研究中的前沿課題之一，混沌現(xiàn)象普遍存在物理、化學(xué)、生物學(xué)，以及社會(huì)科學(xué)等等各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，是在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無規(guī)則、類似隨機(jī)的現(xiàn)象，是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特有的一種運(yùn)川。 動(dòng)形式。蔡氏電路是一個(gè)能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的最簡單三階自治電路1983 年，美籍華裔科學(xué)家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏電路(chuas circuit)。它是歷史上第一例用電子電路來證實(shí)混沌現(xiàn)象的電路，也 是迄今為止在非線性電路中產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的最為有效和較為

2、簡單的電路之一。通過改變蔡氏電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或電路參數(shù)，可以產(chǎn) 生倍周期分叉、單渦卷、周期3、雙渦卷吸引子、多渦卷吸引子等十分豐富的混沌現(xiàn)象。因此，蔡氏電路開啟了混沌電子學(xué)的大門，人 們已圍繞它開展了混沌機(jī)理的探索、混沌在保密通信中的應(yīng)用研究，并取得了一系列豐碩的成果。 圖1(a)是蔡氏電路的電路拓?fù)鋱D， 它是一個(gè)三階電路， 有兩個(gè)電容、 一個(gè)電感、一個(gè)線性電阻， 并含有一個(gè)非線性電阻元件N,它R的伏一安特性曲線如圖1(b)所示，是一個(gè)分段線性函數(shù)，中間一段呈現(xiàn)負(fù)電阻的特征，它可以用開關(guān)電源等電子電路來實(shí)現(xiàn)。考慮圖1(a)的電路，非線性電阻的伏安特性曲線由圖1(b)給出。蔡 氏電路的動(dòng)力學(xué)特性由

3、下列各式描述： 其中v,v和i分別是C,C兩端的電壓以及流過的電流，2ICILC2g(vc1) 是圖(6)所示的分段線性化函數(shù)，G=1/R 該電路描述可以寫成無量綱的形式(即下面的正規(guī)化狀態(tài)方程)：. 其中，0c和是非線性函數(shù)，滿足如下方程：)K(是參數(shù), 21. 其中m和m是參數(shù)。給定適當(dāng)?shù)膮?shù)，該系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌行為。10 方程(2)是非線性的微分方程組，一般需要用四階龍格一庫塔算法這樣的數(shù)值方法求解。其算法思想如下：基于Tavlor級(jí)數(shù)展開的方法，利用f在某些點(diǎn)處函數(shù)值的線性組合構(gòu)造差分方程，從而避免高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。 用MATLAM以對方程求解并進(jìn)行仿真，各參數(shù)的取值為(%=9,1% =-

4、100/7,m=-1/7,m=2/7)。得出單變量x,v,z隨時(shí)間皿。變 化的序列圖分別如圖3,圖4,圖5所示: 8) 11 蔡氏電路的拓?fù)鋱D和伏-安特性曲線(b) dci dt dt % G(Vc2-VC)-g(VC) G(Cei-v(：2)+ dt ；Bl =一G2 (y一(*) y=x-y+z tnx+-m1），假如x、1 假如I與I1（ ,r花i#一（皿。一m】），假如4w1 從仿真結(jié)果圖可以，蔡氏電路的正規(guī)化狀態(tài)方程描述了一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)在所給參數(shù)和初值的條件下可以產(chǎn)生雙渦卷的相平面圖分別zyx及zy,zx,yx吸引子的混沌現(xiàn)象。. 0：所示9876如圖，圖，圖，圖AT（X

5、）= y 匕q x-y相平面 _/1 二、國內(nèi)外相關(guān)研究 近幾十年來，國內(nèi)外許多關(guān)于蔡氏電路和混沌現(xiàn)象的研究有許多的新進(jìn)展。 2.1 國外研究現(xiàn)狀 EleonoraBilotta對于N相同的混沌震蕩器進(jìn)行了數(shù)值仿真，網(wǎng)。簡單的混沌信號(hào)是它們都是在同一個(gè)幾何環(huán)內(nèi)耦合了對稱和耗散一個(gè)基于憶阻的蔡氏電路，其中二極管被含有三次非線性的憶阻器代入 兩個(gè)回路的雙向耦合通過電阻得到，并且對于每一對系統(tǒng)是相替同的。他們采用了兩種初始條件：僅一個(gè)初始條件不為0的回路，或者所有電路有均勻隨機(jī)的初始條件。為了研究可能的同步機(jī)制和可能出現(xiàn)的現(xiàn)象，他們通過改變相互作用系統(tǒng)的耦合與數(shù)量，進(jìn)行了幾次計(jì)算機(jī) 仿真。他們發(fā)現(xiàn)了

6、同步機(jī)制和環(huán)內(nèi)新出現(xiàn)的波。特別的是，對于高度耦合（例如阻值較低的Rc）,他們發(fā)現(xiàn)了對于兩種初始條件下的混沌完全同步機(jī)制。不管還是N變大，這種同步在混沌中演化成間歇性的相位同步。脈沖同步的振幅隨著Rc的增大而增大，經(jīng)過一個(gè)*值，電路轉(zhuǎn)化為非混沌的同步機(jī)制，同時(shí)帶有偽正弦的震Rc臨界的*）下一種波長為入=N蕩。在混沌體制（RcRc同步動(dòng)力的良好結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了。 他們把這種波解釋為由于*的情況,RcRc的系統(tǒng)從混沌到非混沌體制所增加的不穩(wěn)定性。對于在環(huán)內(nèi)僅有一個(gè)回兩種宏觀的波能夠在環(huán)內(nèi)出現(xiàn)。取決于初始條件， 路有非零初始條件的情況下，宏觀的偽周期穩(wěn)態(tài)波能夠出現(xiàn)，它以低 振幅震蕩回路出現(xiàn)的結(jié)果出現(xiàn)，并且這

7、些回路是波的結(jié)點(diǎn)。相反地, *均勻隨機(jī)初始條件， 他們發(fā)現(xiàn)了行進(jìn)波順時(shí)針或逆時(shí)針沿對于RcRc環(huán)旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。可能出現(xiàn)的波長取決于環(huán)的尺度：在波長入=N的基 f礎(chǔ)上，通過增加N的值，他們也發(fā)現(xiàn)了波長（入=入/2,入=入/3,入什=入/4）可能逐漸減小的波。行進(jìn)波的周期T在所有仿真的例子中是f相同的，因此不同的波長意味著不同的波速v=入/T。最后， 對于非常低的耦合情況， 他們發(fā)現(xiàn)混沌和非混沌震蕩回路的共存性，這也給了環(huán)內(nèi)穩(wěn)態(tài)和行進(jìn)波同時(shí)出現(xiàn)的曙光。這些結(jié)果證實(shí)了由于耦合混沌 震蕩引起的自治動(dòng)力的豐富性 H.Moqadasi;M.B.Ghaznavi-Ghoushchi.推薦了一個(gè)TRNQ它基于混

8、沌雙渦卷吸引子，利用蔡氏電路建立模型，其中該電路含有一個(gè)S/H,一個(gè)ADC莫塊和一個(gè)用于置亂和增加產(chǎn)生位流隨機(jī)性的LFSR。 另外推薦了一個(gè)LFSR的最佳長度6模塊， 其中位的長度是選擇新的蔡氏電路，它帶有一個(gè)包含12個(gè)晶體管的單片NDR由于集成電路的實(shí)現(xiàn)， 它的NDR匕離散化的安裝形式更好，同時(shí)也優(yōu)于電感器的實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗鼈冇写蟮目驁D，例如運(yùn)算放大器，同時(shí)消耗更多的電能，占用更多區(qū)域。另一方面，這種NDRffl有現(xiàn)有的資源，例如它們對環(huán)境參數(shù)（如氣溫）的敏感性可以被用作混沌生成的控制參數(shù)。在他們推薦的TRN中，他們利用這種推薦的蔡氏電路作為混沌生成的核心。產(chǎn)生的隨機(jī)位流由國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)機(jī)構(gòu)的FI

9、PS140-1進(jìn)行測試，同樣地他TRNG勺LFSR并且成功通過。他們可以利用這種帶或不帶. 們推薦最小的AD0辨率，這樣產(chǎn)生的位流是真隨機(jī)的，試驗(yàn)證實(shí)利 10。，測試也通過得更好用LFSRLt他們擁有更小的ADCE.R.Viana 等人利用了一個(gè)基于LABVIEW勺周期性檢測程序計(jì)算了一系列直流電壓源為源項(xiàng)的蔡氏電路，目標(biāo)為建立一個(gè)周期性參1”利用這種程序，他們能夠使時(shí)間序列的周期性測量過程自數(shù)空間動(dòng)化，建立一個(gè) 周期性的參數(shù)空間。得到的參數(shù)空間允許他們能夠觀察自組織的周期性窗口。有周期性的參數(shù)空間，與利用框圖得到的相比，這樣的周期性窗口能夠提前顯示信息，。利用這樣的方法，他們也可以觀察自相似

10、的周期性結(jié)構(gòu)，累積邊界的新序列，和周期性增加的分岔。 有這種方法，使它們的行為介于混沌和周期之間的描述將會(huì)被完善。 他們希望周期性檢測能夠?qū)τ趯?shí)驗(yàn)混沌的研究人員有所幫助，能15。 夠成為數(shù)據(jù)分析的一種新工具 Buscarino,Arturo1推導(dǎo)了兩種反射形式的蔡氏電路動(dòng)力，推同。總體來說，給定一個(gè)非線性電路，等價(jià)薦了相應(yīng)的空間代表狀態(tài)的反射形式是不確定存在的；他們已經(jīng)說明了蔡氏電路在x或z變量被利用時(shí)能夠表達(dá)為反射形式，而不是變量y被利用。實(shí)施兩個(gè)代表量中一個(gè)的電子線路已經(jīng)在他們的實(shí)驗(yàn)室利用現(xiàn)成的離散元件實(shí)現(xiàn)。 蔡氏動(dòng)力的反射形式的實(shí)現(xiàn)緊接著最近的研究方向， 它描繪與2011年，Sprott

11、:在一個(gè)簡單的混沌實(shí)現(xiàn)中，蔡氏混沌電路的豐富特性可以包含其中。值得一提的是，基于蔡氏二極管的應(yīng)用形式實(shí)現(xiàn)的電. UM路，允許了更簡單的實(shí)現(xiàn)形式，其中必須使用立方的非線性 2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀 湖南大學(xué)的徐浩介紹了混沌系統(tǒng)分析方法和混沌電路設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，分析 了各種混沌系統(tǒng)和電路的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，總結(jié)了混沌電路的發(fā)展過 程。在文獻(xiàn)閱讀和理論分析的基礎(chǔ)上，他在混沌電路的動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性和混沌振蕩的頻率兩個(gè)方面分別提出了一種可擴(kuò)展的具有多方向多渦卷吸引子的高階蔡氏電路和一種基于MO甯的Colpitts振 蕩電路的設(shè)計(jì)和同步方法。他提出了一種具有多方向多渦卷混沌吸引子的高階蔡氏電路。在典型蔡氏電路獨(dú)特的R

12、CL網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上， 耦合一個(gè)RC吉構(gòu)和一個(gè)非線性電源，便可以得到高階的蔡氏電路。重復(fù)采用這種方法，就可以得到能產(chǎn)生更多方向的多渦卷混沌吸引子的高階蔡氏電路。用硬件實(shí)現(xiàn)了六階蔡氏電路，生成的混沌吸引子與預(yù)期相符合，證實(shí)了這種方法的可行性。最后用五階蔡氏電路對圖片進(jìn)行加密仿真，說明多方向的混沌信號(hào)能在加密速度和加密效果上有更大的優(yōu)勢。他還提出了一種基于MO管的Colpitts混沌振蕩電路。由于MO潸比三極管有更好的集成性和更低的功耗，所以用MO甯代替三極管設(shè)計(jì)Colpitts混沌電路是一個(gè)很好的選擇。由于MO甯的非線性部分更加復(fù)雜，文中給出了詳細(xì)分析方法。電路仿真結(jié)果表明，在低電壓的供電下，混

13、沌振蕩電路的工作頻率能夠到達(dá)特高頻頻段。最后，用電路實(shí)現(xiàn)了Colpitts混沌電路的誤差反饋混沌電路的混Colpitts同步，用數(shù)值仿真實(shí)現(xiàn)了蔡氏多渦卷電路和 21。沌對偶同步湯琳圍繞混沌通信這一主題，以非線性系統(tǒng)理論和現(xiàn)代通信理論為基礎(chǔ)，將混沌優(yōu)良的特性應(yīng)用于通信系統(tǒng)中，重點(diǎn)研究混沌通信中混沌同步及安全hash算法等關(guān)鍵問題。由于混沌通信系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，因此，采用非線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析。他的主要工作內(nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn)如下：1、混沌同步是混沌通信的基礎(chǔ)和前提，是通信成敗的關(guān)鍵，分析了混沌同步方法中的耦合同步法，為后面的混沌加密系統(tǒng)研究提供混沌理論及相關(guān)技術(shù)基礎(chǔ)。同時(shí)，討論了蔡氏電路的電路模型和混沌

14、特性，以及改進(jìn)后的蔡氏電路的電路模型和混沌特性。 2、他還介紹了現(xiàn)代加密系統(tǒng)的基本理論，分析了hash函數(shù)的起源與 現(xiàn)狀。3、止匕外，他分析了混沌加密的基本方法，由于改進(jìn)后的蔡氏電路擁有復(fù)雜豐富的混沌特性，生成的混沌信號(hào)同傳統(tǒng)保密通信方法相比在抗破譯性能方面得到較大的提高，因此，他設(shè)計(jì)了一種運(yùn)用混 沌掩蓋加密方法在改進(jìn)的蔡氏電路基礎(chǔ)上建立混沌保密通信系統(tǒng)，基 于hash變換的思想，引入安全hash函數(shù)，作為接收端檢驗(yàn)密文是否在傳輸過程中被非法篡改的方法， 使信息能完整接收， 保障了信息的保密性和完整性。為了驗(yàn)證該方法的正確性，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真，分別對在傳輸信道中的信息有無篡改這兩種方式進(jìn)行仿真

15、，仿真結(jié)果和理論 分析是一22。致的張宏鵬論述了混沌的發(fā)展和國內(nèi)外混沌電路的研究現(xiàn)狀，詳細(xì)介紹了混沌的一些重要應(yīng)用。論述了混沌系統(tǒng)的基本理論及其特性和識(shí)利并且提出了一種研究混沌初值敏感性方法。別混沌 的信號(hào)的方法， 用功率譜法研究了一元多項(xiàng)非線性變換對信號(hào)頻率的影響，同時(shí)根據(jù) 23為非線性變換式。利用xx+k硬件電路的復(fù)雜程度，選取 p(x)=k32Lyapunov指數(shù)研究了該非線性變換式系數(shù)的最佳范圍，針對23進(jìn)行了硬件電路設(shè)計(jì)，并基于蔡氏混沌信號(hào)對該電路進(jìn)xx+kp(x)=k32行了大量的數(shù)值仿和物理實(shí)驗(yàn)，從多角度對變換前后的混沌信號(hào)進(jìn)行 了對比實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了非線性變換電路的有效

16、性。該電路 可以適用于對任何混沌信號(hào)的變換，通過對非線性變換電路系數(shù)的改 變，可得到不同的混沌波形，可以產(chǎn)生多種性能更好的混沌信號(hào)。最后對混沌通信原理進(jìn)行了介紹，并對原蔡氏混沌信號(hào)和經(jīng)過非線性變換后的混沌信號(hào)進(jìn)行了加密實(shí)驗(yàn)和比較研究。結(jié)果證實(shí)了變換后的混 沌信號(hào)更適合對信號(hào)進(jìn)行加密隱藏。對混沌進(jìn)行非線性變換不僅可以產(chǎn)生大量的混沌信號(hào)，而且可以改善混沌特性，為保密通信提供更多眼。的混沌信號(hào)源吳迪則研究了憶阻器建模和蔡氏混沌電路的關(guān)系。憶阻器的出現(xiàn)和蔡氏電路的研究有望改善整個(gè)電子電路的理論和應(yīng)用。憶器是一種具有記憶功能的新型非線性無源電路元件，蔡氏電路 是混沌電路中一種典型的電路，雖然其結(jié)構(gòu)簡單，

17、但有復(fù)雜的混沌特征。在憶阻器雜質(zhì)與非雜質(zhì)分界面非線性漂移的基礎(chǔ)上，通過對分界 面漂移速度施加窗函數(shù)用Simulink和Pspice分別建立非線性雜質(zhì)漂移憶阻器模型，Simulink的憶阻器模型是從數(shù)學(xué)的角度實(shí)現(xiàn)的，理論上是精確的，而Pspice的憶阻器模型是從電路的角度實(shí)現(xiàn)的， 是要放到電路中實(shí)建立出來的模型會(huì)存在電流采樣電阻，該電阻的存Pspice現(xiàn)的，用. 在與否及其阻值大小都會(huì)對憶阻器的非線性帶來影響。這也是理論與 實(shí)際存在差別。通過兩個(gè)軟件仿真出來的波形就可以看出憶阻器模型是否符合要求。蔡氏電路是典型的混沌電路，它結(jié)構(gòu)簡單并且能呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為。 他用Multisim軟件搭建蔡氏

18、電路并對其進(jìn)行仿真研究， 以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了一個(gè)改進(jìn)的蔡氏電路。得到和蔡氏電路 致的相圖，并且能看到蔡氏電路中看不到的混沌波形，從而證實(shí)了 該電路的混沌特性。由于很多混沌電路都是用Multisim搭建的，所 以認(rèn)為具有準(zhǔn)確性和可信度。隨后用已經(jīng)模擬出來的憶阻器模型替代蔡氏電路中的非線性電路部分，用Pspice軟件建模仿真，觀察其混沌現(xiàn)象并和用Multisim搭建蔡氏電路的相圖進(jìn)行對比，再改變其參數(shù)，觀察波形變化。所得到的憶阻器模型測量與惠普實(shí)驗(yàn)室生產(chǎn)真正的憶阻器測量相似，且電流采樣電阻在其中也起到了關(guān)鍵作用，將模 型放到蔡氏電路中得到的混沌波形與標(biāo)準(zhǔn)的混沌波形類似。證實(shí)憶阻 器模型的可用性。他采

19、用多種軟件來仿真，發(fā)揮了各自軟件的優(yōu)勢，加。其結(jié)果相互比較，使仿真結(jié)果更準(zhǔn)確劉恒利用Pspiec仿真軟件 對實(shí)際電感蔡氏電路進(jìn)行仿真，給出可調(diào)參量在不同取值范圍時(shí)，蔡氏電路所展示的動(dòng)力學(xué)行為同時(shí)，對蔡氏電路中非線性電阻的伏安特性進(jìn)行了分析，然后，他引入一個(gè)模擬電感電路，分析了該模擬電感電路的等效原理，并將該模擬電感代替蔡氏電路中實(shí)際的電感，通過電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方案可行，進(jìn)一步證實(shí)了該模擬電感在振蕩電路中性能更加優(yōu)越。在蔡氏電路的基礎(chǔ)上,理論推導(dǎo)了其產(chǎn)生規(guī)律，他對多渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生也進(jìn)行了研究. 同時(shí)對其平衡點(diǎn)也進(jìn)行了分析， 通過數(shù)值仿真能產(chǎn)生10個(gè)渦卷的混沌吸引子，同樣用一個(gè)模擬電感代替多

20、渦卷混沌電路中實(shí)際的電感， 在電路實(shí)驗(yàn)中最多產(chǎn)生了8個(gè)渦卷的混沌吸引子。他還對蔡氏電路的一個(gè)變形電路（用三次方模塊代替分段線性函數(shù)）進(jìn)行了研究，他根據(jù)變形蔡氏系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)電子電路，并通過Pspiee仿真驗(yàn)證了該設(shè) 計(jì)電路可行。在此基礎(chǔ)上，通過正比于系統(tǒng)變量的周期脈沖擾動(dòng)法對 其混沌進(jìn)行控制，根據(jù)脈沖強(qiáng)度丫0和丫0分別設(shè)計(jì)了兩個(gè)不同的控制器，都得到了較好的控制結(jié)果。 最后，利用限幅控制法對蔡氏電路中的混沌進(jìn)行控制，通過PsPiee仿 真驗(yàn)證了該方案的可行性，在此基礎(chǔ)上，通過電路實(shí)驗(yàn)對基于模擬電 感的雙渦卷、5渦卷和6渦卷混沌吸引子，利用限幅控制法陽?？煽刂频礁鞣N周期軌道對其混沌進(jìn)行控制，參考

21、文獻(xiàn) 1鮑林云，周尚波,虞繼敏，趙麗.蔡氏電路的混沌仿真研究J.山東工 業(yè)技術(shù),2015,01:254256. 2馮久超，陳宏濱.蔡氏電路的仿真研究J.華北航天工業(yè)學(xué)院學(xué) 報(bào).2005(s1). EleonoraBilotta(1);FrancescoChiaravalloti(1);PietroPantano .SynchronizationandWavesinaRingofDiffusivelyCoupled Memristor-BasedChuasCircuitsJ.ActaApplicandaeMathematicae.2014(No.1). Bilotta,E.,Pantano,P.

22、,Vena,S.:Arti?cialmicroworldspartII: cellularautomatagrowthdynamics.Int.J.Bifurc.Chaos21, 619645(2011)11. Bilotta,E.,Pantano,P.,Vena,S.:Arti?cialmicroworlds.PartIII: Ataxonomyofself-reproducing2DCAspecies.Int.J.Bifurc. 1263(2011)-Chaos21,1233 Bilotta,E.,Pantano,P.,Vena,S.:Arti?cialmicroworldspartI:a

23、newapproachforstudyinglife-likephenomena.Int.J.Bifurc. Chaos21,373-398(2011) Gambino,G.,Lombardo,M.C.,Sammartino,M.:TuringpatternformationintheBrusselatorsystemwithnonlineardiffusion.Phys.Rev.E88,042925(2013) H.Moqadasi;M.B.Ghaznavi-Ghoushchi.AnewChuascircuitwithmonolithicChuasdiodeanditsuseforeffic

24、ienttruerandomnumbergenerationinCMOS180nmJ.AnalogIntegratedCircuitsandSignalProcessing.2015(No.3). Kilic?,R.(2010).ApracticalguideforstudyingChuascircuits.Hackensack:WorldScienti?c. Nejati,H.,Beirami,A.,&Ali,W.H.(2012).Discrete-timechaotic-maptrulyrandomnumbergenerators:design,implementation,and

25、variabilityanalysisofthezigzagmap.AnalogIntegratedCircuitsandSignalProcessing,73,363374. Leonov,G.,Vagaitsev,V&Kuznetsov,N.(2010).AlgorithmforlocalizingChuaattractorsbasedontheharmoniclinearizationmethod.DokladyMathematics,82,663666.51. ChuaCircuits.http:/www.C E.R.Viana;R.M.Rubinger;H.A.Albuque

26、rque(3);F. O.Dias(1);A.G.deOliveira(1);G.M.Ribeiro(l).PeriodicitydetectionontheparameterspaceofaforcedChuascircuitJ.NonlinearDynamics.2012(No.1). Rocha,R.,Andrucioli,G.L.D.,Medrano-T,R.O.: Experimentalcharacterizationofnonlinearsystems:are-HimeevaluationoftheanalogousChuascircuitbehavior.NonlinearDyn.62,237-251(2010) Albuquerque,H.A.,Rubinger