均值-方差模型下的VaR與CVaR限制比較

1、均值-方差模型下VaR和CVaR限制作用的投資組合選擇的對比研究Gordon J.Alexander Alexandre M.Baptista1引言隨著VaR成為最流行的風(fēng)險度量工具，近些年風(fēng)險控制吸引了很多金融從業(yè)者和管理者的注意力。舉例來說，Jorion,Linsemeier,Pearson,Alexander和Baptista,Hull,Chance指出VaR已經(jīng)被公司財團，交易人，基金經(jīng)理，金融機構(gòu)和管理廣泛應(yīng)用。與之相反，很多研究者言辭激烈的批評了作為風(fēng)險控制工具的VaR。舉例來說，Artzner et al指出因為不滿足次可加性，VaR不是一個連續(xù)的風(fēng)險度量。即，兩個債券的組合的V

2、aR可能會大于各個債券VaR的和。Basak 和Shapiro指出，如果在一個連續(xù)時間序列的開始部分選擇使用VaR, 與不使用VaR相比較，這個機構(gòu)將會承擔(dān)更大的風(fēng)險。因為上述的原因，這些研究者提出使用CVaR而不是VaR。這篇文章中我們主要討論的問題有以下幾個：1、使用VaR作為風(fēng)險控制工具將會有什么樣的結(jié)果？2、這些結(jié)果與使用CVaR有什么不同？3、作為風(fēng)險控制工具，有哪些情況下CVaR可以支配VaR？為了找尋這些答案，我們查看一個周期的均值-方差模型。在一些特定的情況下，相比較不使用VaR，VaR的使用會使slightly risk-averse 選擇帶有更小標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合?？墒?，也存

3、在一些情形，VaR會使得highly risk-averse 選擇有較大標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。因為當(dāng)CVaR的邊界和VaR邊界重疊時，CVaR限制比VaR限制要嚴(yán)格這些組合選擇結(jié)果是真實的。因此，控制slightly risk-averse agent, CVaR限制比VaR更加有效，但是卻對highly risk-averse有著更加perverse的作用?？墒钱?dāng)組合中存在無風(fēng)險債券或者CVaR的邊界大于VaR邊界的時候，這些perverse結(jié)果會被削弱甚至消除。moreover,在后一種情形下，如果CVaR邊界被設(shè)定在一定水平下使得CVaR限制對highly risk-averse有同VaR

4、限制一樣的perverse 作用，那么相比較與VaR，CVaR限制會導(dǎo)致slightly risk-averse選擇帶有更小標(biāo)準(zhǔn)差的組合。如果CVaR邊界被設(shè)定在一個更高的水平使得CVaR限制像VaR限制一樣降低了slightly risk-averse的最優(yōu)投資組合選擇，那么相比較與VaR，CVaR限制將會允許highly risk-averse選擇帶有更小標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。因此，當(dāng)CVaR標(biāo)準(zhǔn)被設(shè)定在這兩個水平之間時，CVaR限制dominates VaR限制作為風(fēng)險控制的工具。這篇文章是如下組織的：第二部分是均值-VaR、均值-CVaR邊界和有效前沿的特征。第三部分是使用VaR限制和CV

5、aR限制下的投資組合選擇。第四部分是分析性的展現(xiàn)了兩種限制下的投資組合選擇標(biāo)準(zhǔn)差的差異和不同。第五部分考慮了存在無風(fēng)險債券的情況。第六部分是結(jié)論。所有的證明在附錄中給出了。2模型假設(shè)不存在無風(fēng)險債券，有的債券。是期望收益率的向量，是回報率的矩陣的協(xié)方差矩陣。為已經(jīng)定義明確的投資組合。最為的任意回報率。，分別為期望回報率和期望方差 。為的累積分布函數(shù)假設(shè)一個投資期限和置信水平，那么概率下VaR為 同理，那么概率下CVaR為 假設(shè)投資組合中的債券回報率滿足獨立的正態(tài)分布。為標(biāo)準(zhǔn)累積正態(tài)分布函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。假設(shè)，有從而同理，其中，2.1均值-VaR 均值-CVaR邊界當(dāng)VaR，CVaR和方差

6、作為風(fēng)險度量標(biāo)準(zhǔn)時，風(fēng)險-回報邊界如下定義：對于任意的定義1：當(dāng)且僅當(dāng)對于某些，滿足，在置信水平下，投資組合屬于均值-VaR邊界定義2：當(dāng)且僅當(dāng)對于某些，滿足，在置信水平下，投資組合屬于均值-CVaR邊界定義3：當(dāng)且僅當(dāng)對于某些，滿足，在置信水平下，投資組合屬于均值-方差邊界在方差-VaR邊界的投資組合并不依賴，因此我們可以得出以下結(jié)論：因為，當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于方差-均值邊界，它屬于均值-VaR邊界。因為，當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于方差-均值邊界，它屬于均值-CVaR邊界。又Merton在1972年證明當(dāng)且僅當(dāng)滿足，投資組合屬于均值-方差模型邊界。其中，為n維單位向量。那么滿足的投資組合同

7、時屬于均值-VaR邊界和均值-CVaR邊界。2,.2均值-VaR，均值-CVaR的有效前沿定義4： 當(dāng)且僅當(dāng)沒有使得 （至少其中一個不等式是嚴(yán)格的），在的置信水平下，投資組合屬于均值-VaR有效前沿。定義5： 當(dāng)且僅當(dāng)沒有使得 （至少其中一個不等式是嚴(yán)格的），在的置信水平下，投資組合屬于均值-CVaR有效前沿。定義6： 當(dāng)且僅當(dāng)沒有使得 （至少其中一個不等式是嚴(yán)格的），在的置信水平下，投資組合屬于均值-方差有效前沿。2.2.1最小VaR 投資組合和最小CVaR組合如果在置信水平下最小VaR的投資組合存在，那么他在均值-方差有效前沿（證明：假設(shè)是最小VaR的投資組合點，但是不在均值-方差有效前沿

8、。由定義6，存在投資組合點，使得 ，其中至少一個不等式是嚴(yán)格的。從而有，與假設(shè)矛盾。如果在置信水平下最小VaR的投資組合存在，那么他在均值-方差有效前沿。）同理，如果在置信水平下最小CVaR的投資組合存在，那么他在均值-方差有效前沿。： 在置信水平下最小VaR的投資組合 ：在置信水平下方差最小的投資組合g,h是n維向量命題1當(dāng)且僅當(dāng)，在置信水平下最小VaR的投資組合存在。如果，那么在選擇置信水平時要慎重，因為這關(guān)系到全局最小VaR是否有解。如果，那么最小VaR不存在。表示置信水平下最小CVaR的投資組合。當(dāng)且僅當(dāng)，在置信水平下最小CVaR的投資組合存在。如果，那么因為，所以，當(dāng)最小VaR投資組

9、合點存在時，最小CVaR投資組合點也存在。但是也有可能只有最小CVaR投資組合點存在。corollary1在置信水平下最小VaR的投資組合存在時，。在置信水平下最小CVaR的投資組合存在時，。2.2.2 均值-VaR 均值-CVaR的特點命題2（1）如果，那么在置信水平下不存在均值-VaR有效的投資組合；如果，當(dāng)且僅當(dāng)投資組合屬于均值-VaR邊界并且時，投資組合在置信水平下是均值-VaR有效的（2）如果，那么在置信水平下不存在均值-CVaR有效的投資組合；如果，當(dāng)且僅當(dāng)投資組合屬于均值-CVaR邊界并且時，投資組合在置信水平下是均值-CVaR有效的corollary2最小方差的投資組合在任何置

10、信水平下都不是均值-VaR有效和均值-CVaR有效corollary3如果最小VaR的投資組合在置信水平下存在，那么它在置信水平下也是均值-CVaR有效的corollary4如果，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集；如果，那么均值-VaR有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿是均值-方差有效前沿的一個非空真子集；如果，當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于均值-CVaR有效前沿并且，那么屬于均值-VaR有效前沿，i.e. 均值-VaR有效前沿是均值-VaR有效前沿的一個非空真子集總而言之，如果，置信水平low；如果，置信水平moderate；如果，置信水平high3 VaR CVaR限制下的

11、投資組合選擇3.1 VaR限制考慮VaR限制，其中 CVaR邊界。CVaR限制依賴于兩個參數(shù)：置信水平和CVaR邊界L。從而有，在均值-標(biāo)準(zhǔn)差二維空間中，滿足CVaR限制的投資組合集合位于斜率為，截距為的直線上或者上方。如果邊界降低，那么截距變大；如果置信水平升高，斜率變大。3.2 CVaR限制考慮CVaR限制，其中 VaR邊界。VaR限制依賴于兩個參數(shù)：置信水平和VaR邊界V。從而有，為VaR限制和 CVaR限制設(shè)定一個共同的置信水平，假設(shè)VaR和CVaR邊界重合（）。因為，我們可以得到VaR限制與CVaR限制相似，但是CVaR限制斜率更大，限制性更強。因為為了使兩種限制等價，他們必須使用相

12、同的邊界（VaR和CVaR邊界重，合即）和不同的置信水平。對于給定置信水平的VaR限制，CVaR限制總有一個相對應(yīng)的，其中，使得。在的時候CVaR限制等價于VaR限制?，F(xiàn)在我們討論在各種邊界情況下的，在VaR限制和CVaR限制條件下的投資組合選擇。給定：如果，那么邊界為大；如果，那么邊界為適中；如果，那么邊界為小3.3低置信水平3.3.1保守投資者如果是大邊界。因為無限制的最有投資組合位于，無論是施加VaR限制或者CVaR限制都不會改變投資組合選擇。如果是適中邊界。假設(shè)無限制的最優(yōu)投資組合位于和C點之間。那么施加VaR限制不會改變投資組合選擇；但是，如果施加CVaR限制，那么C點將會成為最優(yōu)投

13、資組合。因此，CVaR限制下的最有投資組合標(biāo)準(zhǔn)差大于VaR限制下的最有投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。如果是小邊界。假設(shè)無限制的最優(yōu)投資組合位于和f點之間。如果施加VaR限制，那么f會成為最優(yōu)投資組合；但是，如果施加CVaR限制，那么e點將會成為最優(yōu)投資組合。盡管兩種限制都會增大最優(yōu)組合的標(biāo)準(zhǔn)差，但是CVaR限制下的最有投資組合標(biāo)準(zhǔn)差大于VaR限制下的最有投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。但是如果無限制的最優(yōu)投資組合位于e和f點之間。只有施加CVaR限制才會導(dǎo)致保守投資者選擇e.3.3.2風(fēng)險投資者因為無限制的最有投資組合選擇在1（a）位于之上, 在1（b）位于c之上,在1（c）位于e之上,因此無論施加那種限制都不會改變最有投

14、資組合選擇。3.4中度置信水平假設(shè)置信水平是中度的，那么存在投資組合滿足VaR限制。假設(shè)，那么也存在滿足CVaR限制的投資組合3.4.1保守投資者圖2說明了在中度置信水平下在CVaR或者VaR限制下的投資組合選擇與低置信水平下是類似的?？墒菍τ谝粋€給定的邊界，當(dāng)最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差增加了，這種增加大于在低置信水平下的增加3.4.2風(fēng)險投資者假設(shè)無限制條件下最優(yōu)投資組合在以上，那么施加VaR限制不會改變最有投資組合選擇；但是如果施加CVaR限制，那么將會被選擇成為最優(yōu)投資組合。因此，在CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。3.5高置信水平我們假設(shè)，那么存在滿足CV

15、aR限制的投資組合。因為，那么有。因此也存在滿足VaR限制的投資組合。3.5.1保守投資者圖3說明了在高度置信水平下在CVaR或者VaR限制下的投資組合選擇與中低置信水平下是類似的?？墒菍τ谝粋€給定的邊界，當(dāng)最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差增加了，這種增加大于在中低置信水平下的增加3.5.2風(fēng)險投資者假設(shè)無限制條件下最優(yōu)投資組合在和之間，那么施加VaR限制不會改變最有投資組合選擇；但是如果施加CVaR限制，那么將會被選擇成為最優(yōu)投資組合。因此，只有CVaR限制能夠降低最有投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差，在CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)無限制條件下的最優(yōu)投資組合選擇在以上，如果

16、施加VaR限制，那么會成為最有投資組合選擇；但是如果施加CVaR限制，那么將會被選擇成為最優(yōu)投資組合。因此，在CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。3.6 CVaR邊界大于VaR邊界就像上邊所提到的一樣，當(dāng)時，對于一個給定的置信水平，CVaR限制比VaR限制更加嚴(yán)格。因此，很自然的我們需要考慮時的情況。與相比，當(dāng)時，我們只需將均值-標(biāo)準(zhǔn)差圖像中的CVaR圖線整體向下滑動。3.6.1保守投資者考慮圖像1（a）, 2（a）, 3（a）.當(dāng)CVaR限制線向下滑不會改變投資者感興趣的投資組合的集合。因此，對于大V，對于投資組合選擇沒有什么影響與之相反，考慮圖像1（b）

17、, 2（b）, 3（b）.與相比，當(dāng)，CVaR限制可能會變得不再那么嚴(yán)格。如果，CVaR限制的最優(yōu)投資這組合標(biāo)準(zhǔn)差可能大于VaR限制的，但是小于當(dāng)時的CVaR限制標(biāo)準(zhǔn)差。如果，那么CVaR限制的人最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差與VaR限制的一樣，就好像兩個都沒有限制作用有時候CVaR限制作用可能比VaR弱一點。假設(shè)無限制條件下的最優(yōu)投資組合在和之間（見圖1（c）。如果CVaR邊界大于的CVaR，那么CVaR限制下的最有投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差?？偠灾?，如果，那么CVaR限制對于保守投資者的反常作用可以得到一定程度的削弱。3.6.2風(fēng)險投資者當(dāng)處于低置信水平的時候，CVaR限制

18、的向下平移不會改變投資者的最優(yōu)投資組合選擇。當(dāng)處于中度置信水平的時候，則會出現(xiàn)其他的狀況。當(dāng)時的CVaR限制作用弱于當(dāng)。但是CVaR限制仍然比VaR限制更有作用，所以即使當(dāng)時，CVaR限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差仍然小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)處于高置信水平的時候，我們可以從圖3（a）如果CVaR邊界大于的CVaR，那么CVaR的限制作用弱于VaR；如果CVaR邊界小于的CVaR，那么CVaR的限制作用強于VaR。因此，CVaR限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差可能小于，等于，大于VaR限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差?？傊?dāng)時，CVaR的限制作用有所削弱，甚至可以弱于VaR的限制作用。

19、3.8 總結(jié)總而言之，如果施加CVaR限制或者VaR限制，那么帶有較小標(biāo)準(zhǔn)差或者較大標(biāo)準(zhǔn)差的有效投資組合都有可能被排除掉。因此，與施加限制之前的最優(yōu)投資組合相比，限制后的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差可能會變大，變下或者不變。另外，沒有一種限制，無論是CVaR還是VaR，能夠使得所有的投資者（包括風(fēng)險厭惡程度不同的保守投資者，風(fēng)險投資者，穩(wěn)健投資者）選擇比無風(fēng)險限制條件下最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差更小的投資組合。當(dāng)時，給定一個置信水平，CVaR限制強于VaR限制。作為保守投資工具，CVaR比VaR更加有效。可是，有時候CVaR起到反作用：它使得保守投資者選擇帶有更大標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。盡管作為風(fēng)險控制工具，VaR

20、有時也會發(fā)生這種情況，但是CVaR的反作用更大，CVaR起到反作用的情況也更多見。因此使用CVaR作為風(fēng)險控制工具并不是萬無一失的，也是有代價的。當(dāng)時，上面提到的反作用會得到一定的削弱。另外，4（b）中的例子說明，相比較于VaR限制下投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差，CVaR有時可以同時使得保守投資者和風(fēng)險投資者選擇帶有更小標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。4限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差分析性的表述在不同的限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差的差異。在這一章，我們不需要假設(shè)。4.1低置信水平當(dāng)處于低置信水平時，圖1中均值-方差邊界上和VaR限制有唯一的交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是均值-方差邊界上和CVaR限制有唯一的交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是假設(shè)作為

21、焦點，對于保守投資者，那么限制下的最有投資組合的相對差異為4.2中度置信水平當(dāng)處于中度置信水平時，圖2中均值-方差邊界上和VaR限制有唯一的交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是但是，均值-方差邊界上和CVaR限制有兩個交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是假設(shè)作為焦點，對于保守投資者，那么限制下的最有投資組合的相對差異為4.3高置信水平當(dāng)處于高置信水平時，圖3中均值-方差邊界上和VaR限制有兩個交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是均值-方差邊界上和CVaR限制有兩個交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是假設(shè)作為焦點，對于風(fēng)險投資者，那么限制下的最有投資組合的相對差異為；假設(shè)作為焦點，對于風(fēng)險投資者，那么限制下的最有投資組合的相對差異為4.4CVaR限制的使用現(xiàn)在我們來

22、探究如何設(shè)定CVaR邊界使得CVaR限制能夠支配VaR限制。4.4.1最小CVaR邊界首先，設(shè)定CVaR邊界使得對于保守投資者來說，CVaR限制作用如同VaR限制。舉個例子來說，當(dāng)處于高置信水平時，需要找到合適的CVaR邊界值使得CVaR相交于VaR與最小期望回報率的投資組合即VaR限制與有效邊界的交點。這個邊界可以如下給出：圖4（c）給出了邊界為的CVaR限制作用下的投資組合選擇。首先，假設(shè)保守投資者在無限制下的最優(yōu)投資組合在和之間。無論施加那種限制，都是最優(yōu)的投資組合選擇。然后，假設(shè)風(fēng)險投資者在無限制條件下的最優(yōu)投資組合在和之間。如果施加VaR限制，那么最優(yōu)投資組合不會改變，但是，如果施加

23、CVaR限制，那么將會成為最優(yōu)投資組合。因此CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。最后，假設(shè)風(fēng)險投資者在無限制條件下的最優(yōu)投資組合之上。如果施加VaR限制，那么將會成為最優(yōu)投資組合，但是，如果施加CVaR限制，那么將會成為最優(yōu)投資組合。因此CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。4.4.2最大CVaR邊界首先，設(shè)定CVaR邊界使得對于風(fēng)險投資者來說，CVaR限制作用如同VaR限制。需要找到合適的CVaR邊界值使得CVaR相交于VaR與最大期望回報率的投資組合即VaR限制與有效邊界的交點。這個邊界可以如下給出：圖4（a）給出了邊界

24、為的CVaR限制作用下的投資組合選擇。首先，假設(shè)保守投資者在無限制的條件下的最優(yōu)投資這組合位于和之間。如果施加VaR限制，那么將會成為最優(yōu)投資組合；如果施加CVaR限制，那么最優(yōu)投資組合不變。因此CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。然后，考慮風(fēng)險投資者在無條件限制的情況下最優(yōu)投資組合在之上，無論哪種限制都會選擇作為最優(yōu)投資組合選擇。4.4.3總結(jié)當(dāng)CVaR邊界適當(dāng)?shù)拇笠恍┦沟?，那么在部分的情況下，CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)在意識到以下的平衡點時施加VaR限制：1設(shè)定的小VaR邊界能夠有效地控制保守投資但是對于

25、風(fēng)險投資有反作用；2設(shè)定的大VaR邊界不能夠有效地控制保守投資但是對于風(fēng)險投資有反作用也不明顯；因此假設(shè)設(shè)定VaR邊界為一個中間值，我們已經(jīng)看到CVaR限制能夠支配VaR限制使得對于保守投資者和風(fēng)險投資者都有CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。因此，只有CVaR邊界適當(dāng)?shù)谋萔aR邊界大一些，作為風(fēng)險控制工具，CVaR可以比VaR更加有效。5增加無風(fēng)險債券假設(shè)現(xiàn)有一回報率為的無風(fēng)險債券。投資組合定義為，其中表示資產(chǎn)投資于無風(fēng)險債券的比例。5.1均值-VaR和均值-CVaR的邊界和有效前沿假設(shè)或者說在沒有無風(fēng)險債券的情況下臨界投資組合位于最小方差投資組合之上。M

26、erton證明了當(dāng)且僅當(dāng)滿足時，屬于均值-方差邊界。其中是一個正常值。因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于均值-方差邊界時，它才屬于均值-VaR邊界。因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于均值-方差邊界時，它才屬于均值-CVaR邊界。以下是均值-VaR有效性的特征：proposition3:1如果，那么在的置信水平下不存在均值-VaR有效地投資組合；2 ，那么在的置信水平下當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于均值-方差有效前沿時它才屬于均值-VaR有效前沿同理1如果，那么在的置信水平下不存在均值-CVaR有效地投資組合；2 ，那么在的置信水平下當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于均值-方差有效前沿時它才屬于均值-CVaR有

27、效前沿corollary5：1如果，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集；2如果，那么均值-VaR的有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿與均值-方差有效前沿重合；3如果,那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿與均值-方差有效前沿重合；在存在無風(fēng)險債券的情況下：如果，那么置信水平是低的；如果，那么置信水平是適中的；如果，那么置信水平是高的5.2在VaR CVaR限制下的投資組合選擇假設(shè)一個投資機構(gòu)面對VaR和CVaR限制，然后我們比較無限制條件下的最優(yōu)投資組合選擇和VaR CVaR限制下的最優(yōu)投資組合選擇。假設(shè)5.2.1低置信水平因為無限制條件下的最優(yōu)投資組合在之上，那么那種限制都不會改變最優(yōu)投資組合選擇。5.2.2中度置信水平假設(shè)保守投資者的無限制條件的最優(yōu)投資組合位于和之間，那么那種限制都不會改變最優(yōu)投資組合選擇。假設(shè)風(fēng)險投資者的無限制條件的最優(yōu)投資組合位于之上。如果施加VaR限制，那么不會改變最優(yōu)投資組合選擇；但是如果施加CVaR限制，那么將會成為最優(yōu)投資組合；因此，CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。5.2.3高置信水平假設(shè)保守投資者的無限制條件的最優(yōu)投資組合位于和之間，那么那