初中數(shù)學競賽輔導(圓)1

1、平面幾何根底知識教程圓一、 幾個重要定義外心：三角形三邊中垂線恰好交于一點，此點稱為外心內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線恰好交于一點，此點稱為內(nèi)心垂心：三角形三邊上的高所在直線恰好交于一點，此點稱為垂心凸四邊形：四邊形的所有對角線都在四邊形ABCD內(nèi)部的四邊形稱為凸四邊形折四邊形：有一雙對邊相交的四邊形叫做折四邊形如以下圖折四邊形二、 圓內(nèi)重要定理：1 四點共圓定義：假設四邊形ABCD的四點同時共于一圓上，那么稱A，B，C，D四點共圓根本性質(zhì)：假設凸四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，那么其對角互補證明：略判定方法：1定義法：假設存在一點O使OA=OB=OC=OD，那么A，B，C，D四點共圓2定理1：假設凸

2、四邊形ABCD的對角互補，那么此凸四邊形ABCD有一外接圓證明：略特別地，當凸四邊形ABCD中有一雙對角都是90度時，此四邊形有一外接圓3視角定理：假設折四邊形ABCD中，那么A，B，C，D四點共圓證明：如上圖，連CD，AB，設AC與BD交于點P因為，所以特別地，當=90時，四邊形ABCD有一外接圓2圓冪定理：圓冪定理是圓的相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理的統(tǒng)一形式。相交弦定理：P是圓內(nèi)任一點，過P作圓的兩弦AB，CD，那么證明：切割線定理：P是圓外任意一點，過P任作圓的兩割切線PAB，PCD，那么證明方法與相交弦定理完全一樣，可仿前。特別地，當C，D兩點重合成為一點C時，割線PC

3、D變成為切線PC而由割線定理，此時割線定理成為切割線定理而當B，A兩點亦重合為一點A時，由切割線定理因此有PC=PA，此時切割線定理成為切線長定理現(xiàn)考慮割線與切線同時存在的情況，即切割線定理的情況：如圖，PCD是圓的割線，PE是圓的切線設圓心為O，連PO，OE，那么由切割線定理有：而注意到黃色是RT，由勾股定理有：，結合切割線定理，我們得到，這個結果說明，如果圓心O與P是確定的，那么PC與PD之積也是唯一確定的。以上是P在圓外的討論現(xiàn)在再重新考慮P在圓內(nèi)的情形，如以下圖，PCD是圓內(nèi)的現(xiàn)，PAB是以P為中點的弦那么由相交弦定理有連OP，OA，由垂徑定理，OPA是RT由勾股定理有，結合相交弦定理

4、，便得到這個結果同樣說明，當O與P是固定的時候PC與PD之積是定值以上是P在圓內(nèi)的討論當P在圓上時，過P任作一弦交圓于A即弦AP，此時也是定值綜上，我們可以把相交弦定理，切割線定理，割線定理，切線長定理統(tǒng)一起來，得到圓冪定理。圓冪定理：P是圓O所在平面上任意一點可以在圓內(nèi)，圓上，圓外，過點P任作一直線交圓O于A，B兩點A，B兩點可以重合，也可以之一和P重合，圓O半徑為r那么我們有：由上面我們可以看到，當P點在圓內(nèi)的時候，此時圓冪定理為相交弦定理當P在圓上的時候，當P在圓外的時候，此時圓冪定理為切割線定理，割線定理，或切線長定理以下有很重要的概念和定理：根軸先來定義冪的概念：從一點A作一圓周上的

5、任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點對于這圓周的冪對于兩圓有等冪的點的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。根軸的定義：兩圓等冪點的軌跡是一條直線，這條直線稱為兩圓的根軸性質(zhì)1 假設兩圓相交，其根軸就是公共弦所在直線由于兩圓交點對于兩圓的冪都是0，所以它們位于根軸上，而根軸是直線，所以根軸是兩交點的連線性質(zhì)2 假設兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點的公切線即性質(zhì)1的極限情況性質(zhì)3 假設三圓兩兩不同心，那么其兩兩的根軸交于一點，或互相平行所交的這點稱為根心證明：假設三圓心共線，那么兩兩圓的根軸均垂直于連心線，因此此時兩兩的根軸互相平行假設三圓心不共線，那么必成一三角形，因此兩兩的根軸必垂直

6、于兩兩的連心線。如圖，設CD與EF交于點O，連AO交圓分O2圓O3于B,B，那么其中前兩式是點O對圓O2的冪，后二式是點O對圓O3的冪，中間是圓O對圓O1的冪進行轉(zhuǎn)化由此B與B重合，事實上它們就是點B圓O2與圓O3的非A的交點，由此兩兩的根軸共點圓冪定理是對于圓適用的定理，今使用圓冪定理對圓內(nèi)接四邊形判定方法的補充：圓內(nèi)接四邊形判定方法4相交弦定理逆定理：如果四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點P，且滿足，那么四邊形ABCD有一外接圓5切割線定理逆定理：如果凸四邊形ABCD一雙對邊AB與DC交于點P且滿足，那么四邊形ABCD有一外接圓這樣我們就補充了兩種判定方法例射影定理：RTABC中，BC

7、是斜邊，AD是斜邊上的高那么證明：123例2：垂心ABC中，三邊所在的高的所在的直線交于一點證明：3Miquel定理之前1，2的重要定理都是討論關于點共圓的情況。那么反過來，圓共點的情況又如何？從最簡單的開始了解，在本文之后討論圓共點問題中，甚至其他類型的問題，Miquel定理都給予莫大的便利，我們將要不止一次地用到它。先看一個事實：如圖，ABC中，AD，BE，CF分別是三邊上的高，那么分別以AEF，BDF，CDE作圓這三個圓共于一點，而且可以通過觀察，這個點就是垂心剛好是AD，BE，CF的交點在介紹Miquel定理之后，我們將會給這題與垂心一個闡釋Miquel定理：ABC中，X，Y，Z分別是

8、直線AB，BC，AC上的點，那么這樣的點O稱為X，Y，Z對于ABC的Miquel點證明：事實上這個證明隱含著對一般證圓共點的方法在開掘Miquel定理的證明方法時可以得到一種更一般的證題方法注意這個證明只在X，Y，Z在AB，BC，AC邊上時可以當在直線AB，BC，AC上時需要改一下，這里略去了。現(xiàn)在回到之前關于垂心的問題。為什么D，E，F(xiàn)關于ABC的Miquel點就是ABC的垂心 證明：有了Miquel定理，我們可以對垂心有一個新的看法用同樣的方法可以對內(nèi)心，外心以同樣的解釋：由此可見，共點圓與三角形的特殊點有很大的關系，上述3種只是最簡單的最容易發(fā)現(xiàn)的提起外心就會聯(lián)想到外接圓，這里不得不提一

9、個常用定理：正弦定理正弦定理：ABC中，外接圓半徑R，那么證明：作直徑AOD，連BD其余同理想到三角函數(shù)里面的函數(shù)名，那么自然會想到余弦定理余弦定理：證明：接著便就是著名的費馬點，它也與共點圓有關系費馬點，即ABC內(nèi)一點，使其到三頂點距離之和最小的點當ABC任一內(nèi)角都<120時，費馬點存在于內(nèi)部，當有一內(nèi)角>=120時費馬點與此角頂點重合設ABC中任一內(nèi)角均<120，那么費馬點F可以通過如下方法作出來：分別以AB，AC，BC向外作正，連接對著的頂點，那么得事實上，點F是這3個正的外接圓所共的點而FA+FB+FC其實就是頂點到對著的正頂點的連線的長而且之后將會有一種方法計算FA

10、+FB+FC的長度而這將會在之后進行討論4Simson定理Simson定理是常用而且著名的定理，多用于證明點共線，其逆定理也成立Simson定理：P是ABC外接圓上一點，過點P作PD垂直BC，PE垂直于AB，同理PF那么D，E，F(xiàn)是共線的三點直線DEF稱為點P關于ABC的Simson線引理完全四邊形的Miquel定理：四條直線兩兩交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點那么共點其中所共的點叫做完全四邊形的Miquel點證明：這里運用Miquel定理作為證明今逆定理證略從這個證明我們看到Miquel定理的威力不僅在于圓共點，而且對于共點圓也同樣適用在有了Simson定理之后，我們可以運用Simson定理來

11、給予完全四邊形的Miquel定理一個新的證明即前面的引理證明：由這個證明，我們可以知道完全四邊形的Miquel定理和Simson定理是等價的能夠運用Simson定理證明的必也可用完全四邊形的密克定理證明，反之亦然這樣，Simson定理便與密克定理產(chǎn)生了莫大的關聯(lián)例.如圖，P為ABC外接圓上一點，作交圓周于A，作交圓周于B，C同理。求證：證明：設PA交BC于D，PB交AC于E，F(xiàn)同理，那么由Simson定理知，DEF三點共線由圖形看來，題斷三條互相平行的線均與Simson線平行，因此可以試證連PB而注意到P，B，D，F(xiàn)四點共圓，因此因此AA與Simson線平行。其余同理事實上，Simson定理可

12、以作推廣，成為Carnot定理Carnot定理：通過ABC外接圓上的一點P，引與三邊BC，CA，AB分別成同向等角即的直線PD，PE，PF與三邊或其所在直線的交點分別為D，E，F(xiàn)那么D，E，F(xiàn)是共線的三點可以仿照前面的證明(這里的證明也可以運用四點共圓的判定定理與性質(zhì)，再證)證明留給讀者，作為習題5Ptolemy定理本文主要介紹一些平面幾何圓中較為重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一個十分重要的定理，及其也有重要的推廣Ptolemy定理：假設四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，那么證明：至此，我們重新把求費馬點至三頂點距離的長度和的問題提出，運用Ptolemy定理解決：如圖，設AB=c,AC=

13、b,BC=a由，有A，F(xiàn)，B,C四點共圓(這里我們用到著名的求積公式: ,證略).至此，本文平面幾何圓的根底知識已經(jīng)全部介紹完畢，這里將以著名的Chapple定理結束(只做了解)這是與圓冪定理的應用有關的定理之一Chapple定理：設R是ABC的外接圓半徑，r是內(nèi)切圓半徑,d是這兩圓的圓心距，那么證明：事實上Chapple定理對旁心也有相應的公式，不過是等號右邊的符號-變+但對本文不提及旁心，因此略去習題：第一局部(四點共圓的應用)1. 如圖，在ABC中，AB=AC.任意延長CA到P，再延長AB到Q使AP=BQ.求證：ABC的外心O與A,P,Q四點共圓.(1994年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽二試第1

14、題)2.如圖，在中，是底邊上一點，是線段上一點，且.求證：.(1992年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽二試第2題)3. 如圖，設AB,CD為O的兩直徑，過B作PB垂直于AB,并與CD延長線相交于點P,過P作直線與O分別交于E,F兩點，連結AE,AF分別與CD交于G,H求證:OG=OH.(2002年我愛數(shù)學初中生夏令營一試第2題).第二局部(圓冪定理的應用)4.如圖，等邊三角形ABC中，邊AB與O相切于點H，邊BC,CA與O交于點D,E,F,G。AG=2,GF=6,FC=1.那么DE=_.(第33屆美國中學生數(shù)學邀請賽試題改編)5. 如圖，O和O都經(jīng)過點A和B，PQ切O于P，交O于Q，M，交AB的延長線于N.求證: .6.如圖,點P是O外一點,PS,PT是O的兩條切線，過點P作O的割線PAB,交O于A.B兩點，并交ST于點C,求證: .(2001年TI杯全國初中數(shù)學競賽B卷第14題)第三局部(Ptolemy定理的應用)7.a,b,x,y是正實數(shù)，且，求證: .8.從銳角ABC的外心O向它的邊BC,CA,AB作垂線,垂足分別為D,E,F.設ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r.求證:OD+OE+OF=R+r.9.設ABC與ABC的三邊分別為a,b,c與a,b,c,且B=B, A+A=.試證:aa=bb+cc.第四局部(Simon定理的應用)10證明Carnot定理11