高等數(shù)學A-第2章-11-11(弧微分曲率與習題課)

1、中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設(shè)組中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設(shè)組高等數(shù)學高等數(shù)學A A2.3 2.3 導數(shù)的應(yīng)用導數(shù)的應(yīng)用 2.3.8 2.3.8 弧微分弧微分曲率曲率2.3.9 2.3.9 曲率圓曲率圓曲率半徑曲率半徑 2.3 2.3 導數(shù)的應(yīng)用導數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)課堂思考與練習課堂思考與練習習題課習題課結(jié)構(gòu)框圖結(jié)構(gòu)框圖內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)典型習例典型習例 .弧微分弧微分一一1. 弧長函數(shù)弧長函數(shù)NRTA0 xMxxx .),()(內(nèi)內(nèi)具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfxyo),(:00yxA基基點點( , ),M x y 為曲線上任意一點規(guī)定規(guī)定:;

2、)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲線線的的正正向向與與x,)2(sAM .,取負號取負號相反時相反時取正號取正號一致時一致時的方向與曲線正向的方向與曲線正向當當ssAM.)( 是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增函函數(shù)數(shù)則則弧弧長長函函數(shù)數(shù)xss 2. 弧長函數(shù)的導數(shù)與微分弧長函數(shù)的導數(shù)與微分 用導數(shù)定義求得用導數(shù)定義求得, 如圖所示如圖所示.M RT0M0 xMxxx xyo.,MMxxx 曲曲線線由由時時當當由由MMMMMMs 00則則 22222xMMMMMMxMMxs 2222xyxMMMM 221xyMMMM 221xyMMMMxs, 1limlim0 MMMMMMMMMMxyxyx 0lim

3、22001limlimxyMMMMxsxx21 dxdy又又s=s(x)是單增函數(shù)是單增函數(shù), 21 dxdydxds21y 2)(1xf dxyds21 從從而而弧微分公式弧微分公式例例1. .),( )()(dsttytx求求為參數(shù)為參數(shù)設(shè)有曲線設(shè)有曲線 例例2. .),(dsrr求求設(shè)有曲線設(shè)有曲線 例例1. .),( )()(dsttytx求求為參數(shù)為參數(shù)設(shè)有曲線設(shè)有曲線 解解:,)( dttdx dttdy)( dxdxdyds2)(1 .)()(22dtttds dtttt)()()(12 例例2.解解:,sin)(cos)( ryrx,sin)(cos)( rrddx ,cos)

4、(sin)( rrddy .)()(22 drrds .),(dsrr求求設(shè)有曲線設(shè)有曲線 .曲曲率率及及其其計計算算公公式式二二1. 曲率定義曲率定義曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量. 弧長相同時弧長相同時,弧段彎曲程弧段彎曲程度越度越大大轉(zhuǎn)角越轉(zhuǎn)角越大大轉(zhuǎn)角相同時轉(zhuǎn)角相同時,弧段越弧段越短短彎曲程度越彎曲程度越大大1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )1 )曲線的切線轉(zhuǎn)過的角度稱為曲線的切線轉(zhuǎn)過的角度稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角. 定義定義: , 的的切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為到到由由設(shè)設(shè)MMsMM) S S) .M .MC0Myxo; )1(稱稱為

5、為平平均均曲曲率率sK .,lim )2(0處處的的曲曲率率稱稱此此極極限限值值為為點點存存在在若若Mss .lim 0sdsdKs 記記為為注意注意: (1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點處的曲率等于半徑圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù)的倒數(shù),且半徑越小曲率越大且半徑越小曲率越大.2. 曲率的計算公式曲率的計算公式 為為則則其其上上任任一一點點處處的的曲曲率率二二階階可可導導設(shè)設(shè), )(xfy .)1(232yyK 證明證明:,dsdK .1 2dxyds 且且,tan y又又dxdy 2secdxdy )1(2.12dxyyd .)1( 232yydsdK 若曲線方

6、程為參數(shù)方程若曲線方程為參數(shù)方程: ),(),(tytx ,)()(ttdxdy 則則,)()()()()(322tttttdxyd 代入曲率的計算公式可得代入曲率的計算公式可得: .)()()()()()(2322ttttttK 例例3. 求半徑為求半徑為R 的圓上任意點處的曲率的圓上任意點處的曲率 .例例4. 我國鐵路常用立方拋物線我國鐵路常用立方拋物線361xlRy 作緩和曲線作緩和曲線,處的曲率處的曲率.)6,(, ) 0, 0(2RllBO求此緩和曲線在其兩個端求此緩和曲線在其兩個端點點且且 l R. 其中其中R是圓弧彎道的半徑是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度是緩和曲線的長度

7、, 例例5. 求橢圓求橢圓tbytaxsincos)20(t在何處曲率最大在何處曲率最大?例例3. 求半徑為求半徑為R 的圓上任意點處的曲率的圓上任意點處的曲率.解解: 如圖所示如圖所示 , RssKs 0limR1 可見可見: R 愈小愈小, 則則K 愈大愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大愈大, 則則K 愈小愈小 , 圓弧彎曲得愈小圓弧彎曲得愈小 .sRMM例例4. 我國鐵路常用立方拋物線我國鐵路常用立方拋物線361xlRy 作緩和曲線作緩和曲線,處的曲率處的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停說明說明:鐵路轉(zhuǎn)彎時為保證行鐵

8、路轉(zhuǎn)彎時為保證行車平穩(wěn)安全車平穩(wěn)安全,離心力必離心力必須連續(xù)變化須連續(xù)變化 ,因此鐵道因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化的曲率應(yīng)連續(xù)變化 . 求此緩和曲線在其兩個端點求此緩和曲線在其兩個端點且且 l R. 其中其中R是圓弧彎道的半徑是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度是緩和曲線的長度, 解解:,0時時當當lx Rl2 0 xlRy1 yK xlR1 顯然顯然;00 xKRKlx1 221xlRy RByox361xlRy l例例4. 我國鐵路常用立方拋物線我國鐵路常用立方拋物線361xlRy 作緩和曲線作緩和曲線,處的曲率處的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO求此緩和曲線在其兩個端點求此緩和曲

9、線在其兩個端點且且 l R. 其中其中R是圓弧彎道徑是圓弧彎道徑, l 是緩和曲線的長度是緩和曲線的長度, 例例5. 求橢圓求橢圓 tbytaxsincos)20( t在何處曲率最大在何處曲率最大?解解:故曲率為故曲率為 ba23)cossin(2222tbta ;sintax ;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大最大tbtatf2222cossin)( 最小最小ttbttatfsincos2cossin2)(2 tba2sin)(22 求駐點求駐點: 的導數(shù)的導數(shù)數(shù)數(shù)表示對參表示對參tx ,0)( tf令令,0 t得得,2 ,23 2, 設(shè)設(shè)tba

10、tf2sin)()(22 t)(tf022322b2b2a2b2a從而從而 K 取最大值取最大值 .這說明橢圓在點這說明橢圓在點,0ab 時時則則 2,0 t)0,(a 處曲率處曲率計算駐點處的函數(shù)值計算駐點處的函數(shù)值:yxbaba,)(取最小值取最小值tf最大最大.三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑Tyxo),(DR),(yxMC設(shè)設(shè) M 為曲線為曲線 C 上任一點上任一點 , 在點在點在曲線在曲線KRDM1 把以把以 D 為中心為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點為半徑的圓叫做曲線在點 M 處的處的曲率圓曲率圓 ( 密切圓密切圓 ) , R 叫做叫做曲率半徑曲率半徑, D 叫做叫做

11、曲率中心曲率中心.在點在點M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1) 有公切線有公切線;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同.M 處作曲線的切線和法線處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點的凹向一側(cè)法線上取點 D 使使設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為, )(xfy 且且,0 y求曲線上點求曲線上點M 處的處的曲率半徑及曲率中心曲率半徑及曲率中心),( D設(shè)點設(shè)點M 處的曲率圓方程為處的曲率圓方程為222)()(R 故曲率半徑公式為故曲率半徑公式為KR1 23)1(2y y 滿足方程組滿足方程組 ,222)()(Ryx ),(在在曲曲率率圓圓上上yxM)(MT

12、DM y yx的坐標公式的坐標公式 .TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式y(tǒng)yyx )1(2 yyy 21 (注意y與y 異號 )當點 M (x , y) 沿曲線 )(xfy 移動時,的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線漸屈線 ,相應(yīng)的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成漸屈線的參數(shù)方程曲率中心公式可看成漸屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為參數(shù)為x).曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線漸伸線 .例例6.?2徑徑并并求求出出該該點點處處的的曲曲率率半半上上哪哪一一點點處處的的曲曲率率最最大大cbxaxy 例例7. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓設(shè)一工件內(nèi)表

13、面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適問選擇多大的砂輪比較合適?例例8. 求擺線求擺線 )cos1()sin(tayttax的漸屈線方程的漸屈線方程 . 例例6.?2徑徑并并求求出出該該點點處處的的曲曲率率半半上上哪哪一一點點處處的的曲曲率率最最大大cbxaxy 解解:,2,2aybaxy .)2(12232baxaK ;,2, 02最最大大時時即即只只有有當當Kabxbax .442abacy 此時此時).44,2(2abacab 所所求求點點為為.211aK 且且該該點點處處的的曲曲率率半半徑徑為為例例7. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢

14、圓設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適問選擇多大的砂輪比較合適?解解: 設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為 tbytaxsincos),20(abx 由例由例3可知可知, 橢圓在橢圓在)0,( a oyx處曲率最大處曲率最大 ,即曲率半徑最小即曲率半徑最小, 且為且為 R23)cossin(2222tbta ba0 tab2 顯然顯然, 砂輪半徑不超過砂輪半徑不超過ab2時時, 才不會產(chǎn)生過量磨損才不會產(chǎn)生過量磨損 ,或有的地方磨不到的問題或有的地方磨不到的問題.ab( 仍為擺線仍為擺線 )sin( a)cos1( a例例8. .)c

15、os1()sin(的的漸漸屈屈線線方方程程求求擺擺線線 tayttax解解:txtyydddd ,cos1sintt txtyydddd)( 2)cos1(1ta 代入曲率中心公式代入曲率中心公式 ,)sin(tta )1(cos ta 得得, t令令 aa2 yoxMo半徑為半徑為 a 的圓周沿直線無滑動地滾動時的圓周沿直線無滑動地滾動時 ,Moyxta其上定點其上定點 M 的軌跡即為擺線的軌跡即為擺線 . )cos1()sin(tayttax擺擺線線參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線擺線的漸屈線內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 弧長微分弧長微分xysd1d2或或22)(d)(ddyxs2. 曲率

16、公式曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圓曲率圓曲率半徑曲率半徑KR1yy 23)1 (2曲率中心曲率中心yyyx )1 (2yyy 21課堂練習：課堂練習：習題習題2.32.3 第第3333題到第題到第3434題題練習參考答案練習參考答案洛必達法則洛必達法則Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 單調(diào)性單調(diào)性,

17、 ,極值與最值極值與最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐點拐點, ,函數(shù)函數(shù)圖形的描繪圖形的描繪; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .導數(shù)的應(yīng)用導數(shù)的應(yīng)用習題課習題課一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)1. 中值定理中值定理 Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理Taylor中值定理中值定理2. LHospital法則法則3. 導數(shù)的應(yīng)用導數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)極值與判別法函數(shù)極值與判別法函數(shù)圖形凹凸性判別法函數(shù)圖形凹凸性判別法函數(shù)圖形拐點的求法函數(shù)圖形拐點的求法函數(shù)圖形漸近線的求法函數(shù)圖形漸近線的求法4. 弧微分與曲率的計算弧微分與曲率的計算

18、1.證明等式或討論根的存在性證明等式或討論根的存在性2.證明不等式證明不等式3. LHospital法則的應(yīng)用法則的應(yīng)用4. 單調(diào)性與凹凸性的判定，極值與拐點的求法單調(diào)性與凹凸性的判定，極值與拐點的求法6. 應(yīng)用問題的最值應(yīng)用問題的最值7. 作圖作圖二、常見題型二、常見題型5. 求待定參數(shù)求待定參數(shù)典型習題典型習題).0,( ,lim 12121111 nnxnxaaanaaaxxx計計算算極極限限例例).23(lim 2434323xxxxx 計算極限計算極限例例.sin)(cos1211lim 322202xexxxxx 計計算算極極限限例例.50 sin)cos()(, 4階無窮小階無窮

19、小的的時關(guān)于時關(guān)于為當為當使使和和試確定常數(shù)試確定常數(shù)例例xxxxbaxxfba .)(,)2( ;)()1( 0 , 00 ,)()( , 0)0(,)0(,)( 5具有一階連續(xù)導數(shù)具有一階連續(xù)導數(shù)證明證明對以上所確定的對以上所確定的處處連續(xù)處處連續(xù)使使確定確定且且存在存在具有一階連續(xù)導數(shù)具有一階連續(xù)導數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例例xgaxgaxxxxfxgffxf ).()()( ,0:, 0)0(, 0)( 6bfafbafbafxf 時時當當證證明明設(shè)設(shè)例例.),(0)(, 0)( ,)()(,)( 7內(nèi)內(nèi)有有且且僅僅有有一一根根在在證證明明方方程程且且滿滿足足上上連連續(xù)續(xù)可可導導在在設(shè)設(shè)例例ba

20、xfafbaafxfbaxf ).(2)()1(),2 , 0( ),0(5)2(,)2 , 0(,2 , 0)( 82 ffffxf 使使得得證證明明存存在在且且內(nèi)內(nèi)可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)例例.)1(ln)1( ,0 922 xxxx時時試證當試證當例例.23)(0: . 0)(6)(5)(0 , 0)0(, 1)0(,)( 1032xxeexfxxfxfxfxffxf 有有對對任任意意證證明明有有且且對對任任意意滿滿足足二二階階可可導導設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例. .100 ,50 ;,1000 ,50 11少可獲得最大收入少可獲得最大收入試問房租定為多試問房租定為多元的維修費元的維修費公

21、寓每月花費公寓每月花費而租出去的而租出去的去去就會多一套公寓租不出就會多一套公寓租不出元時元時當月租金每增加當月租金每增加公寓會全部租出去公寓會全部租出去元時元時當月租金為當月租金為套公寓要出租套公寓要出租一房地產(chǎn)公司有一房地產(chǎn)公司有例例).0,( ,lim 12121111 nnxnxaaanaaaxxx計計算算極極限限例例解解nxnnaaayxxx 11121設(shè)設(shè)ln)ln(ln11121naaanxyxxxn ln)ln(limlnlim11121naaanxyxxxnxx tnaaantntttxtln)ln(lim2101 tnttntntttaaaaaaaaan 2122110ln

22、lnlnlimnaaa21ln naaa21 原原式式).23(lim 2434323xxxxx 計算極限計算極限例例解解)23(lim434323xxxxx )2131(lim43xxxx tttttx43012131lim )21(21)31(lim43320 ttt.23 .sin)(cos1211lim 322202xexxxxx 計計算算極極限限例例解解12220sin)(cos1211lim2xexxxxx )(cos1211lim22220 xxexxxx )2sin()(cos21lim22220 xxxxexxexxxxx )2sin()(cos211lim2220 xxxx

23、exxexx )2(sin)(cos22lim2220 xxxxexxexx )42(cos)2(sin)2(sin2lim222220 xxxxxexexxxexxexx )42(cos6sin3lim22220 xxxxexexxxexx )42(cos6sin31lim22220 xxxxexexexx .121 解解2)()121(21! 21211)1(14422122xoxxxx ),(81211442xoxx ),(211cos22xoxx ),(1222xoxex ),0( sin22時時xxx),(8112114422xoxxx ),(23sin)(cos4422xoxxex

24、x )(23)(81limsin)(cos1211lim4444022202xoxxoxxexxxxxx .121 .50 sin)cos()(, 4階無窮小階無窮小的的時關(guān)于時關(guān)于為當為當使使和和試確定常數(shù)試確定常數(shù)例例xxxxbaxxfba 解解:利用泰勒公式得利用泰勒公式得xxbaxxfsin)cos()( )(! 5! 3)(! 4! 21(553442xoxxxxoxxbax )()! 3! 5()! 2! 3()1(553xoxbbaxbbaxba , 1)(lim50 xxfx由由于于 0! 2! 301bbaba因因此此.31,34 ba.)(,)2( ;)()1( 0 , 0

25、0 ,)()( , 0)0(,)0(,)( 5具有一階連續(xù)導數(shù)具有一階連續(xù)導數(shù)證明證明對以上所確定的對以上所確定的處處連續(xù)處處連續(xù)使使確定確定且且存在存在具有一階連續(xù)導數(shù)具有一階連續(xù)導數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例例xgaxgaxxxxfxgffxf 解解,)0()1(ag xxfxgxx)(lim)(lim00 xfxfx)0()(lim0 )0(f .)(,)0(處處處處連連續(xù)續(xù)時時當當xgfa ,0)2(時時當當 x2)()()()(xxfxfxxxfxg xgxggxx)0()(lim)0(,00 時時當當xfxxfx)0()(lim0 20)0()(limxfxxfx xfxfx2)0()(lim

26、0 2)0(f 0 ,2)0(0 ,)()()(2xfxxxfxfxxg200)()(lim)(limxxfxfxxgxx 且且20)()0()0()(limxxffxfxxfxx 200)0()(lim)0()(limxfxxfxfxfxx xfxffx2)0()(lim)0(0 )0(21)0(ff )0(21f ),0()(lim0gxgx 即即.)(具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)即即xg).()()( ,0:, 0)0(, 0)( 6bfafbafbafxf 時時當當證證明明設(shè)設(shè)例例證證,Lagrange, 0中中值值定定理理得得上上應(yīng)應(yīng)用用在在aaffaf)()0()(1 )0(1

27、a ,Lagrange,中中值值定定理理得得上上應(yīng)應(yīng)用用在在bab afbfbaf)()()(2 )(2bab , 0)( xf,)(單單調(diào)調(diào)遞遞減減xf ).()( 21 ff 故故0)()()()()(21 affbfbafaf ).()()( bfafbaf 即即.),(0)(, 0)( ,)()(,)( 7內(nèi)內(nèi)有有且且僅僅有有一一根根在在證證明明方方程程且且滿滿足足上上連連續(xù)續(xù)可可導導在在設(shè)設(shè)例例baxfafbaafxfbaxf 證證)()()( fabafbf ,)(baaf , 0)( bf, 0)( af又又,由零點定理可知由零點定理可知;),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個

28、根根在在方方程程baxf , 0)()()( abafbaafxf而而,)(單調(diào)遞增單調(diào)遞增xf;),(0)(內(nèi)內(nèi)至至多多存存在在一一個個根根在在方方程程baxf .),(0)(內(nèi)內(nèi)有有且且僅僅有有一一個個根根在在方方程程baxf ).(2)()1(),2 , 0( ),0(5)2(,)2 , 0(,2 , 0)( 82 ffffxf 使使得得證證明明存存在在且且內(nèi)內(nèi)可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)例例證證,1)()(2xxfxF 設(shè)設(shè),)2 , 0(,2 , 0)(內(nèi)內(nèi)可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在則則xF),0()0(fF 且且5)2()2(fF )0()0(Ff 0)()2 , 0(, FRolle使使得得至至少少存存在在一一點點定定理理由由0)1()(2)()1()(222 xxxxfxfxF即即, 0)(2)()1(2 ff).(2)()1(2 ff .)1(ln)1( ,0 922 xxxx時時試證當