數(shù)列的綜合應用練習題

1、數(shù)列的綜合應用1 . （2019 深圳模擬）設函數(shù)f（x）=xm+ ax的導函數(shù) f' （x）=2x+1,則數(shù)列1f一（nCN）的前n項和是（）A.nn+ 1B.n 2n+ 1C.nn- 1D.n+ 18解析：選 A(x) = mxm a = 2x+1, ：a=1, mn= 2,. f(x) = x(x+ 1),貝f11=-n n n+111一 _ , /n n+1，1 1用裂項法求和得 &=12+1. 11 n一十十一一=3n n+1 n+12.已知函數(shù)f（n） =n2, n為奇數(shù)，n2, n為偶數(shù),且 an = f ( n) + f (n+1),則 a1 + a2+a3+

2、a2 018 =(B. -2 018D. 2 018A. - 2 017C. 2 017解析：選D當n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，則an= n2( n+1) 2= 2n1,所以a1 + a3+&+a2 017 = (3 + 7+11 + 4 035).當 n 為偶數(shù)時，n+1 為奇數(shù),則 an =n+(n+1) =2n+1,所以 32+a4+a6+a2 018 = 5+9+13+ + 4 037.所以 a1 +a2+a3+ . + a2 018= (5 3) + (9 7) + (13 11)+.+ (4 037 -4 035) =2X 1 009= 2018,故選D.3. （201 7

3、四川樂山模擬）對于數(shù)列an,定義H =n 1a + 2a2+ + 2an為 an的“優(yōu)值”.現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值"H）=2n+1,記數(shù)列an20的前n項和為&,則&的最小值為（）B. 68A. 64C. - 70D. 72d I 0 d I I 0 n1d解析：選 D 由題意可知： H)= 2n+1,n則 a1 +2a2+ 2 an= n - 2 +：當 n>2 時，ad2a2+ 2n-2 an 1= (n 1) 2n,兩式相減得 2nT an=n 2n+1 ( n1) 2n, an = 2(n + 1),當n=1時成立，：an20=2n18,顯然a一20為等差

4、數(shù)列.令 an-20<0,解得 n<9,故當n=8或9時，an20的前n項和&取最小值，一，9X16+0,取小值為 S=S=2=72,故選D.1_4. (2019 湖北襄陽聯(lián)考)已知函數(shù)f x +2為奇函數(shù)，g(x)=f(x)+1,右an=g 2"0，則數(shù)列an的前2 018項和為()A. 2 017B. 2 018C. 2 019D, 2 020一 、， 一一 1 、，解析：選B二函數(shù)f x+2為奇函數(shù)，.其圖象關(guān)于原點對稱，：函數(shù)f(x)的圖 11.一象關(guān)于點2,0對稱，：函數(shù)g(x)=f(x)+ 1的圖象關(guān)于點2,1對稱，：g(x)+g(1n 、，123-x

5、) =2, an=g 2-019-，;數(shù)列的刖 2 018 項N和為 g 20布 +g 20布 +g 2-0192 017十十g 2 019+ g 2018 =2 018.故選 B.15. (2019 林州一中調(diào)研)已知數(shù)列an的前n項和為&,且日=5, a+-一2an+6,若對任意的n N, 1<p(S-4n)<3怛成立，則實數(shù)p的取值范圍為()A (2,3B. 2,3C. (2,4D. 2,41一一斛析：選B由數(shù)列的遞推關(guān)系式可行an + 1 4 = ( an 4),則數(shù)列 an 4 首項.1 11 一為a1 4=1,公比為一2的等比數(shù)列，：an 4 = 1 x2，:a

6、n=+4, ：S= 1 +4n,：不等式 1 < p( S 4n) < 3 怛成立，即 1<px 鼻 1 3 怛 3434成立.當n為偶數(shù)時，可得1<px| 1- 2 n <3,可得2<p<|,當n為奇數(shù)時，可得 3421<px| 1 + 2 n <3,可得3<p<3,故實數(shù)p的取值范圍為2,3.3426. (2019 昆明適應性檢測)已知數(shù)歹U an的前n項和為S,且an=4n,若不等式 &+8入n對任意的nCN*者B成立，則實數(shù) 入的取值范圍為 .2解析：因為an=4n,所以Sn=2n+2n,不等式3+8>入n

7、對任意的nCN怛成立， 222n +2n+82 n +2n+88即 入<，又= 2n+-+ 210(當且僅當 n= 2時取等號)，所以實數(shù)nnn入的取值范圍為(一8, 10.答案：(8, 10 *7. (2019 濟寧模擬)若數(shù)歹U an滿足：只要ap=ap, qC N),必有ap+i=aq+i,那 么就稱數(shù)列an具有性質(zhì)P已知數(shù)列an具有T垢質(zhì)P,且a1=1, a?=2, a3=3, a5 = 2, a6+ a?+ a8= 21, 則 & 020 =.解析：根據(jù)題意，數(shù)列an具有TP,且a2=a5=2,則有 a3= as= 3, a4=a7, a5= a8= 2.由 a6 +

8、a? + a8 = 21,可得 a+ & +a =21,則 a4 = 21-3-2=16,進而分析可得 a3= a6= a9= > , , = a3n=3, ad=a7=a10= , = a3n+1=16, a5=a8= , = a3n+2=2(n>1),貝(J a2 020 = 03 X 673+ 1= 16.答案：168. 我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺.莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？ ”意思是：“今有蒲草 第一天長高3尺，莞草第一天長高1尺.以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天 長高前一天的2倍.問第幾天蒲

9、草和莞草的高度相同？ ”根據(jù)上述的已知條件，可求得 第 天時，蒲草和莞草的高度相同（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg 3 =0.477 1 , lg 2 =0.301 0)解析：由題意得，蒲草的高度組成首項為，1 ,、一a = 3,公比為2的等比數(shù)列an,設其前n項和為A；莞草的高度組成首項為 b1=1,公比為2的等比數(shù)列bn,設其前n項和為B.則 A=,13 1-2n11-2n3 1 Tnn2n1人 322n-1B=,令=21'12-11 二c 6*c,化簡得 2n+2m=7(nCN),解得 2n=6,所以n = ?1-=1+41- = 3,即第3天時蒲草和莞草高度相

10、同. lg 2 lg 2答案：39. （2019 安陽模擬）設等差數(shù)列a的前n項和為S,點（n, S）在函數(shù)f（x）=x2+ Bx+ C- 1(B, CC R)的圖象上，且 a1=C 求數(shù)列a的通項公式;(2)記數(shù)列bn=豕32n-l+ 1),求數(shù)列 bn的前0項和不.解：(1)設等差數(shù)列an的公差為d,則 Sn = na1 + n-n-d = ?n2 + a1一2 n. 2222又 Sn = n + Bn+ C 1,dd兩式比較得 2= 1, B= ai 3, C 1=0.又2=&解得 d = 2, C= 1 =自，B= 0, - an = 1 + 2( n 1) = 2n 1.(2

11、)bn=an(a2n-1+ 1) = (2n-1)(2 X2 n1 1+1) =(2n1) X2n,:數(shù)列bn的前 n 項和 F = 2 + 3X 2 2+5X2 3+ (2n1) X2n, 2Tn= 22 + 3X 2 3+3+ (2n 3) X2 n+ (2n1) X2 二Tn= 2 + 2x(2 2+ 23+ 2n) -(2n-1)X2n+14 2n1 1彳彳_ _ f 4'_n+1 n+1 一= 2+2x(2n 1)X2 =(32n)X2 6,2 1故 Tn = (2 n3)X2 +1 + 6.10. 2017年12月4日0時起某市實施機動車單雙號限行，新能源汽車不在限行范圍內(nèi)

12、，某人為了出行方便，準備購買某新能源汽車.假設購車費用為14.4萬元，每年應交付保險費、充電費等其他費用共 0.9萬元，汽車的保養(yǎng)維修費為：第一年0.2萬元, 第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，依等差數(shù)列逐年遞增.(1)設使用n年該車的總費用(包括購車費用)為何2,試寫出f(n)的表達式；(2)問這種新能源汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年平均費用最少 )，年平均費用的最小值是多少？解：(1)由題意得 f (n) = 14.4 + (0.2 + 0.4 + 0.6 + + 0.2 n) + 0.9 n = 14.4 +0.2 n n+ 122+ 0.9 n= 0.1 n +n + 1

13、4.4.(2)設該車的年平均費用為S萬元，則有S= nf(n) =n(0.1 n2 + n + 14.4)n 14.4= 77+10 n+ 1>2>/1.44 +1 =3.4.一 .n 14.4 一,一 一，、 一一 一一 .、一當且僅當-=-,即n=12時，等號成立，即S取最小值3.4萬兀.所以這種新能源汽車使用12年報廢最合算，年平均費用的最小值是3.4萬元.1 1 ,11. （2018 淮南一模）若數(shù)列an的前n項和為$,點（an, S）在y=,x的圖象6 3*上（nW N）.（1）求數(shù)列an的通項公式；1.，-i，1 3一<-Cn 4（2）若c=0,且對任意正整數(shù) n都有Cn+1CnMlog/a.求證：對任意正整數(shù) n>2,“111總有-< + + +3 c2 c3 C41 1斛：.s=63鼻,3n Sn S 1 3an- 1 -1 一 Wan,31 an = """an 1.4111又.S' = a1 , - a1 = ,6 38,_11 n_1_ 1 2n+1,an-84-21(2)證明：由 Cn +1 Cn log 2an 2n + 1 ,行當 n> 2 時，Cn C1 + (