黑環(huán)評(píng)-數(shù)學(xué)模型-20140311

1、3 數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)模型概述3.1 數(shù)學(xué)模型的定義和分類3.2 數(shù)學(xué)模型的建立3.2.1建立數(shù)學(xué)模型的過程3.2.2 對(duì)模型的基本要求3.2.3 數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證和誤差分析3.3 Excel 在建立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用3.3.1 污水處理的線性回歸分析3.3.2 結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合3.3.3 用Excel進(jìn)行參數(shù)估計(jì) 3 數(shù)學(xué)模型概述 3.1 數(shù)學(xué)模型的定義和分類 圖3-1 列出了抽象模型和具體模型的一些例子。模型 圖圖3.1 模型的形式 抽象模型 具體模型 數(shù)學(xué)模型:方程式,函數(shù),邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計(jì)算機(jī)程序:計(jì)算程序,模擬程序 相似模型:(實(shí)物放大縮小)建筑模型，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍?/p>

2、擬模型:電模擬模型 滿足模型條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式和算法叫做滿足模型條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式和算法叫做數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型. .其它定義：其它定義：1）數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model），是根據(jù)對(duì)研究），是根據(jù)對(duì)研究對(duì)象所觀察到的現(xiàn)象及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成的一套反映對(duì)象所觀察到的現(xiàn)象及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素?cái)?shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、其內(nèi)部因素?cái)?shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯邏輯準(zhǔn)則和具體算準(zhǔn)則和具體算法。用以描述和研究法。用以描述和研究客觀現(xiàn)象客觀現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 2）數(shù)學(xué)模型是針對(duì)參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依數(shù)學(xué)模型是針對(duì)參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概

3、括地或近似地表述出的一存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學(xué)符號(hào)刻劃出種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學(xué)符號(hào)刻劃出來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu)。來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu)。 3）從廣義理解，數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)中的各種從廣義理解，數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)中的各種概念概念，各，各種公式和各種理論。因?yàn)樗鼈兌际怯涩F(xiàn)實(shí)世界的原型種公式和各種理論。因?yàn)樗鼈兌际怯涩F(xiàn)實(shí)世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個(gè)數(shù)學(xué)也可以說是一抽象出來的，從這意義上講，整個(gè)數(shù)學(xué)也可以說是一門關(guān)于數(shù)學(xué)模型的科學(xué)。從狹義理解，數(shù)學(xué)模型只指門關(guān)于數(shù)學(xué)模型的科學(xué)。從狹義理解，數(shù)學(xué)模型只指那些反映了特定問題

4、或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)那些反映了特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，這個(gè)意義上也可理解為聯(lián)系一個(gè)系統(tǒng)中各變系結(jié)構(gòu)，這個(gè)意義上也可理解為聯(lián)系一個(gè)系統(tǒng)中各變量間內(nèi)的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。量間內(nèi)的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。 數(shù)學(xué)模型在環(huán)境影響評(píng)價(jià)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型在環(huán)境影響評(píng)價(jià)中的應(yīng)用環(huán)境影響評(píng)價(jià)中的數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法環(huán)境影響評(píng)價(jià)中的數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學(xué)、生物化學(xué)、生來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學(xué)、生物化學(xué)、生物生態(tài)以及社會(huì)等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)物生態(tài)以及社會(huì)等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。方程。它是建立在對(duì)環(huán)境系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)的觀察研究，

5、通過它是建立在對(duì)環(huán)境系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)的觀察研究，通過實(shí)驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)取得了大量的有關(guān)信息和數(shù)據(jù)，進(jìn)而實(shí)驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)取得了大量的有關(guān)信息和數(shù)據(jù)，進(jìn)而對(duì)所研究的系統(tǒng)行為動(dòng)態(tài)、過程本質(zhì)和變化規(guī)律有了對(duì)所研究的系統(tǒng)行為動(dòng)態(tài)、過程本質(zhì)和變化規(guī)律有了較深刻認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過簡(jiǎn)化和數(shù)學(xué)演繹而得出的較深刻認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過簡(jiǎn)化和數(shù)學(xué)演繹而得出的一些數(shù)學(xué)表達(dá)式，這些表達(dá)式描述了環(huán)境系統(tǒng)中各變一些數(shù)學(xué)表達(dá)式，這些表達(dá)式描述了環(huán)境系統(tǒng)中各變量及其參數(shù)間的關(guān)系。量及其參數(shù)間的關(guān)系。表表3-13-1 數(shù)學(xué)模型的分類劃分依據(jù)模型類型變量與時(shí)間關(guān)系穩(wěn)態(tài)模型 動(dòng)態(tài)模型變量間關(guān)系線性模型 非線性模型變量性質(zhì)確定性模型 隨機(jī)性模型參量

6、性質(zhì)集中參數(shù)模型 分布參數(shù)模型對(duì)模型機(jī)理的對(duì)模型機(jī)理的把握程度把握程度白箱模型、灰箱模型以及白箱模型、灰箱模型以及黑箱模型黑箱模型3.2數(shù)學(xué)模型的建立3.2.1 3.2.1 建立數(shù)學(xué)模型的過程 一個(gè)模型要真實(shí)反映客觀實(shí)際，必須經(jīng)過實(shí)踐-抽象-實(shí)踐的多次反復(fù)。數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟2.2.模型的結(jié)構(gòu)選擇模型的結(jié)構(gòu)選擇(1)白箱模型 根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解, ,以客觀事物變以客觀事物變化遵循的物理化學(xué)定律為基礎(chǔ)，經(jīng)邏輯演繹而建立化遵循的物理化學(xué)定律為基礎(chǔ)，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機(jī)理模型。這種建立模型的方法叫演繹

7、起的模型是機(jī)理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。法。 機(jī)理模型具有唯一性。建立機(jī)理模型最主要的方機(jī)理模型具有唯一性。建立機(jī)理模型最主要的方法是質(zhì)量平衡法法是質(zhì)量平衡法, ,在預(yù)知污染物質(zhì)反應(yīng)的方式和速度在預(yù)知污染物質(zhì)反應(yīng)的方式和速度時(shí)時(shí), ,用來預(yù)測(cè)物質(zhì)流的方向和通量。雖然使用演繹法用來預(yù)測(cè)物質(zhì)流的方向和通量。雖然使用演繹法建立白箱模型并不需要經(jīng)過圖建立白箱模型并不需要經(jīng)過圖3.23.2所列的建立數(shù)學(xué)模所列的建立數(shù)學(xué)模型步驟，但事實(shí)上完全的白箱模型是很少遇到，很型步驟，但事實(shí)上完全的白箱模型是很少遇到，很難獲得的。難獲得的。 即半機(jī)理模型。在應(yīng)用質(zhì)量平衡法建立環(huán)境數(shù)即半機(jī)理模型。在應(yīng)用質(zhì)量平衡

8、法建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型的過程中學(xué)模型的過程中, ,幾乎每個(gè)模型都包含一個(gè)或多個(gè)幾乎每個(gè)模型都包含一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù)待定參數(shù), ,這些待定參數(shù)一般無法由過程機(jī)理來確這些待定參數(shù)一般無法由過程機(jī)理來確定。通常采用經(jīng)驗(yàn)系數(shù)來定量說明。經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的定。通常采用經(jīng)驗(yàn)系數(shù)來定量說明。經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的確定則要借助于以往的觀測(cè)數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)結(jié)果。確定則要借助于以往的觀測(cè)數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)結(jié)果。 (2)灰箱模型 (3)黑箱模型w 即輸入即輸入-輸出模型。需要大量的輸入輸出模型。需要大量的輸入,輸出數(shù)據(jù)輸出數(shù)據(jù)以獲得經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。它們可在日常例行觀察中以獲得經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。它們可在日常例行觀察中積累積累,也可由專門實(shí)驗(yàn)獲得。根據(jù)對(duì)系統(tǒng)輸入也可由專

9、門實(shí)驗(yàn)獲得。根據(jù)對(duì)系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測(cè)輸出數(shù)據(jù)的觀測(cè),在數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上建立起經(jīng)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上建立起經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒ㄓ纸袣w納法。驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒ㄓ纸袣w納法。w 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停杀欢喾N不同類型，可被多種不同類型的函數(shù)描述。因此由歸納法建立起的經(jīng)驗(yàn)?zāi)５暮瘮?shù)描述。因此由歸納法建立起的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮谑褂脮r(shí)必須注意其導(dǎo)出過程中的取值范型在使用時(shí)必須注意其導(dǎo)出過程中的取值范圍圍,不可任意進(jìn)行擴(kuò)展。不可任意進(jìn)行擴(kuò)展。例3-1 在x4，由歸納法建立的兩函數(shù)為：試?yán)L制其函數(shù)圖形，并分析其擴(kuò)展性。解：繪制的函數(shù)圖形如圖所示。在x5 的情況下，兩函數(shù)的取值相差很遠(yuǎn)，說明它們不具有擴(kuò)展性。 )1 (4 . 486. 0

10、xey2433. 0733. 2xxy0123450246)1 ( 4 . 486. 0 xey2433. 0733. 2xxy3.3.估計(jì)模型的參數(shù)估計(jì)模型的參數(shù)4.4.模型的檢驗(yàn)和修正模型的檢驗(yàn)和修正)( )(1),(yjxjYXnYXCOV) 1()(22nnXXnVAR XXn1yxxyYXCOVR.),(定義式 函數(shù)說明(2-1)AVEDEV 一組數(shù)據(jù)點(diǎn)到其平均值的絕對(duì)偏差的平均值 (2-2)CORREL 兩組數(shù)據(jù)集合的相關(guān)系數(shù) (2-3)COVAR 每對(duì)偏差乘積的平均值 (2-4)DEVSQ 返回偏差平方和 (2-5)STDEV 估計(jì)樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差 (2-6)VAR 估計(jì)樣本的方差

11、yxxyYXCOVR.),(2)(XXDEVSQ)1()(22nnXXnSTDEV 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) R，反映了兩個(gè)數(shù)據(jù)集合之間的線，反映了兩個(gè)數(shù)據(jù)集合之間的線性相關(guān)程度。在模型的驗(yàn)證和誤差分析中模型性相關(guān)程度。在模型的驗(yàn)證和誤差分析中模型計(jì)算值和觀測(cè)值就可以看成是這樣的兩個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算值和觀測(cè)值就可以看成是這樣的兩個(gè)數(shù)據(jù)集合。如果集合。如果X(X1, X2, X3) 和和 Y( Y1, Y 2, Y3) 分別表示一組觀測(cè)值和計(jì)算值，相關(guān)系數(shù)計(jì)算分別表示一組觀測(cè)值和計(jì)算值，相關(guān)系數(shù)計(jì)算: 22)()()( )(1.),(yjxjyjxjyxYXYXnYXCOVR（3-7）iiiiXYXe（3-8）

12、顯著性檢驗(yàn)方法之一：顯著性檢驗(yàn)方法之一：1）按下式求得）按下式求得t值：值：2）令）令n=n-2,查查t表值；表值；3）若）若tt0.01(n)，R有非常顯著性意義；有非常顯著性意義； 若若tt0.01(n)，R無顯著性意義；無顯著性意義； 221ntRR表表3-4 某污水處理廠某污水處理廠3、4月份的日常監(jiān)測(cè)臺(tái)帳月份的日常監(jiān)測(cè)臺(tái)帳 序號(hào) 3月份記錄(mg/L) 4月份記錄(mg/L)入水COD出水COD入水出水計(jì)算值出水COD1678123695138.481522631118654132.861563942216777149.7119041022173856160.532025940184

13、824156.1520269481501054187.662267802197885164.511968992156932170.9420891010197833157.3815810728128885164.5116511800136933171.0813812826154788151.2211913691156973176.561521454398715141.22134157711861028184.116216690175871162.5913817743108807153.8212018712102900166.5615819584134771148.8912320841118755

14、146.713921870182855160.4127221120186682136.6912123654144757146.9717524695152743145.05138表3-5 出水COD對(duì)應(yīng)入水COD回歸統(tǒng)計(jì)結(jié)果Multiple R0.630237Intercept43.25682X Variable 10.136996標(biāo)準(zhǔn)誤差26.22009觀測(cè)值24 圖3-6 4月份出入水COD觀測(cè)值與估算值比較050100150200250050010001500計(jì)算值進(jìn)水CODmg/L出水CODmg/Lbmxybxcy ln55221.xcxcxcbybcxy bxceynAAAFntttt11.名稱名稱 趨勢(shì)線計(jì)算方程趨勢(shì)線計(jì)算方程 備備 注注線性(2-11)m 代表斜率 b 代表截距對(duì)數(shù)(2-12)c 和 b 代表常數(shù)，函數(shù) ln 代表自然對(duì)數(shù)多項(xiàng)式(2-13)可選擇多項(xiàng)式階數(shù)，b 和Ci 代表常數(shù)乘冪(2-14)其中 c 的 b 為常數(shù)指數(shù)(2-15)c 和 b 為常數(shù)，e 代表自然對(duì)數(shù)的底數(shù)移 動(dòng) 平均(2-16)n是“周期”選項(xiàng), 設(shè)置移動(dòng)平均使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目，用來消除數(shù)據(jù)的波動(dòng)圖圖3-7 Excel 圖表菜單下，添加趨勢(shì)線命令對(duì)話框時(shí)間(h)