高中不等式的常用證明方法歸納總結(jié)

1、不等式的證明方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，證明方法多種多樣，近幾年高考出現(xiàn)較為形式較為活躍，證明中經(jīng)常需與函數(shù)、數(shù)列的知識(shí)綜合應(yīng)用，靈活的掌握運(yùn)用各種方法是學(xué)好這部分知識(shí)的一個(gè)前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。注意的變式應(yīng)用。常用 (其中)來解決有關(guān)根式不等式的問題。一、比較法比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。1、已知a,b,c均為正數(shù)，求證： 證明：a,b均為正數(shù)， 同理，三式相加，可得二、綜合法綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運(yùn)用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。2、a、b、，求證：證：3、設(shè)、是互不相等的正數(shù)，求證：

2、證： 同理： 4、 知a,b,c，求證: 證明： 即，兩邊開平方得同理可得三式相加，得5、且，證：。證：6、已知策略:由于證明：。三、分析法分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。7、已知、為正數(shù)，求證：證：要證：只需證：即： 成立 原不等式成立8、且，求證。證：即： 即原命題成立四、換元法換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對(duì)所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。9、，求證：。證明：令 左 10、，求證：證：由設(shè)， 11、已知a>b>c,求證：證明：ab>0, bc>0, ac>0 可設(shè)

3、ab=x, bc=y (x, y>0) 則ac= x + y, 原不等式轉(zhuǎn)化為證明即證，即證 原不等式成立（當(dāng)僅x=y當(dāng)“=”成立）12、已知1xy2，求證：xxyy3證明：1xy2，可設(shè)x = rcos，y = rsin，其中1r2，0xxyy= rrsin= r(1sin)，1sin，rr(1sin)r，而r，r3 xxyy313、已知x2xyy2，求證：| xy |證明：x2xyy= (xy)y，可設(shè)xy = rcos，y = rsin，其中0r，0| xy | =| xy2y | = | rcos2rsin| = r|sin(ractan)|14、解不等式解：因?yàn)?6，故可令 =

4、 sin， cos，0，則原不等式化為 sin cos 所以 sin + cos由0，知+ cos0，將上式兩邊平方并整理，得48 cos2+4 cos230解得0cos所以x6cos21，且x1，故原不等式的解集是x|-1x . 15、1x證明：1x0，1x1，故可設(shè)x = cos，其中0則x =cos= sincos=sin()，1sin()，即1x五、增量代換法在對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如abc)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡16、已知a，bR，且ab = 1，求證：(

5、a2)(b2)證明：a，bR，且ab = 1，設(shè)a =t，b=t， (tR)則(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t(a2)(b2)六、利用“1”的代換型17、策略：做“1”的代換。證明： .七、反證法反證法的思路是“假設(shè)矛盾肯定”，采用反證法時(shí)，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。18、若p0，q0，pq= 2，求證：pq2證明：反證法假設(shè)pq2，則(pq)8，即pq3pq (pq)8，pq= 2，pq (pq)2故pq (pq)2 = pq= (pq)( ppqq)，又p0，q0 pq0，pqppqq，即(pq) 0，矛盾故假設(shè)pq2不

6、成立，pq219、已知、（0，1），求證：，不能均大于。證明：假設(shè)，均大于 ，均為正 同理 不正確 假設(shè)不成立 原命題正確20、已知a,b,c（0，1），求證：（1a）b, （1b）c, （1c）a 不能同時(shí)大于。證明：假設(shè)三式同時(shí)大于0a1 1a0 21、，求證：、均為正數(shù)。證明：反證法：假設(shè)、不均為正數(shù) 又 、兩負(fù)一正不妨設(shè)， 又 同乘以 即，與已知矛盾 假設(shè)不成立 、均為正數(shù)八、放縮法放縮時(shí)常用的方法有：1去或加上一些項(xiàng)2分子或分母放大（或縮?。?用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮22、已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：12證明：，將上述四個(gè)同向不等式兩邊分別相加，得：1223、，求證：

7、。證明：   判別式法24、A、B、C為的內(nèi)角，、為任意實(shí)數(shù)，求證：。證明：構(gòu)造函數(shù)，判別式法令 為開口向上的拋物線 無論、為何值， 命題真九、構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法證明不等式24 設(shè)0a、b、c2，求證：4abcabc2ab2bc2ca證明：視a為自變量，構(gòu)造一次函數(shù)= 4abcabc2ab2bc2ca = (bc2b2c4)a(bc2bc)，由0a2，知表示一條線段又= bc2bc = (bc)0，= bc4b4c8 = (b2)(c2)0，可見上述線段在橫軸及其上方，0，即4abcabc2ab2bc2ca構(gòu)造向量法證明不等式 根據(jù)已知條件與欲證不等式結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用

8、向量數(shù)量積及不等式關(guān)系·|·|，就能避免復(fù)雜的湊配技巧，使解題過程簡化應(yīng)用這一方法證明一些具有和積結(jié)構(gòu)的代數(shù)不等式，思路清晰，易于掌握25、 設(shè)a、bR，且ab =1，求證：(a2)(b2)證明：構(gòu)造向量= (a2，b2)，= (1，1)設(shè)和的夾角為，其中0| =，| =，·= |·|cos=··cos；yxxy = 02ABDCO另一方面，·= (a2)·1(b2)·1 = ab4 = 5，而0|cos|1，所以·5，從而(a2)(b2) 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種

9、方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景，通過構(gòu)造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學(xué)模型的直觀性，將不等式表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決 26、設(shè)a0，b0，ab = 1，求證：2證明：所證不等式變形為：2這可認(rèn)為是點(diǎn)A()到直線 xy = 0的距離但因()()= 4，故點(diǎn)A在圓xy= 4 (x0，y0)上如圖所示，ADBC，半徑AOAD，即有：2，所以21實(shí)數(shù)絕對(duì)值的定義: |a|=這是去掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)，是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基礎(chǔ)。 2最簡單的含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解。 若a>0時(shí)，則 |x|<a -a<x<a；|x|>a x<

10、;-a或x>a。 注:這里利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x)到原點(diǎn)的距離。 3常用的同解變形 |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；|f(x)|<|g(x)| f2(x)<g2(x)。 4三角形不等式: |a|-|b|a±b|a|+|b|。 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座關(guān)于不等式證明的常用方法高考要求 不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合 高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是

11、高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力 重難點(diǎn)歸納 1 不等式證明常用的方法有 比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法 (1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述 如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證 (2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野 2 不等式證明還有一些常用的方法 換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等 換

12、元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性 放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查 有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn) 典型題例示范講解 例1證明不等式(nN*)命題意圖 本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力 知識(shí)依托 本題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用

13、數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等 錯(cuò)解分析 此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤 這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)生的 技巧與方法 本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法 證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo) 而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心，發(fā)人深省 證法一 (1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假設(shè)n=k(k1)時(shí)，不等式成立，即1+2，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立 綜合(1)、(2)得 當(dāng)nN*時(shí)，都有1+2 另從k到k+1時(shí)的證明還有下列證法 證法二 對(duì)任意kN*，都有 證法三 設(shè)f(n)=

14、 那么對(duì)任意kN* 都有 f(k+1)f(k)因此，對(duì)任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=10，例2求使a(x0，y0)恒成立的a的最小值 命題意圖 本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力 知識(shí)依托 該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值錯(cuò)解分析 本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cos、sin來對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元，即令=cos，=sin(0)，這樣也得asin+cos，但是這種換元是錯(cuò)誤的 其原因是

15、 (1)縮小了x、y的范圍 (2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對(duì)的 技巧與方法 除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，af(x)，則amin=f(x)max 若 af(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題 還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化 解法一 由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得 x+y+2a2(x+y)，即2(a21)(x+y)，x，y0，x+y2， 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，中有等號(hào)成立 比較、得a的最小值滿足a21=1，a2=2，

16、a= (因a0)，a的最小值是 解法二 設(shè) x0，y0，x+y2 (當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)，1，的最大值是1 從而可知，u的最大值為，又由已知，得au，a的最小值為 解法三 y0，原不等式可化為+1a，設(shè)=tan，(0，) tan+1a 即tan+1asecasin+cos=sin(+)，又sin(+)的最大值為1(此時(shí)=) 由式可知a的最小值為 例3已知a0，b0，且a+b=1 求證 (a+)(b+) 證法一 (分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即證4(ab)233(ab)+80，即證ab或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，a

17、b，從而得證 證法二 (均值代換法)設(shè)a=+t1，b=+t2 a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=時(shí)，等號(hào)成立 證法三 (比較法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab證法四 (綜合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab 證法五 (三角代換法） a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0，)2不等式的證明高考要求 1通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；2掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法

18、證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍 3搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟4 通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題知識(shí)點(diǎn)歸納 不等式的證明方法（1）比較法：作差比較：作差比較的步驟：作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大?。?）綜合法：由因?qū)Ч?）分析法：執(zhí)果索因基本

19、步驟：要證只需證，只需證“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)（4）反證法：正難則反（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的放縮法的方法有：添加或舍去一些項(xiàng)，如：；將分子或分母放大（或縮小）利用基本不等式，如：；利用常用結(jié)論：、；、 ； （程度大）、 ； （程度?。?）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：已知，可設(shè)；已知，可設(shè)()；已知，可設(shè)；已知，可設(shè)；（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)

20、造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究題型講解 例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會(huì)變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之 分析：本例反映的事實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知 解：由題意得證法一：（比較法） ， 證法二：（放縮法），證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtAD

21、F中，AB=a，AC=b，BD=m，作CEBD ， 例2 已知a，bR，且a+b=1 求證： 證法一：（比較法） 即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）證法二：（分析法） 因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立 點(diǎn)評(píng)：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）證法四：（反證法）假設(shè)，則 由a+b=1，得，于是有所以，這與矛盾所以證法五：（放縮法） 左邊右邊 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式證法六：（均值換元法），所以可設(shè)，左邊右邊當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立 點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元

22、證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因?yàn)?，所以，即故?設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0<a<1求證：證明：（分析法）要證，只要證：，又，只需證：只需證，即證，此式顯然成立原不等式成立例4 設(shè)m等于，和1中最大的一個(gè)，當(dāng)時(shí)，求證： 分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個(gè)”翻譯為符號(hào)語言“，”，從而知證明：（綜合法）， 例5 已知的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：（3）若求證：解: （1） 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形 , 得 ,（2）而 點(diǎn)評(píng)：函 數(shù) 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識(shí) 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓(xùn) 練 價(jià) 值 小結(jié)： 1掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合