華理高數(shù)答案

1、第2章之1 第2次作業(yè)教學內(nèi)容： 2.1導數(shù)概念*1.設，試用導數(shù)定義求*2.試用導數(shù)定義計算以下函數(shù)的導數(shù):1 3gt =8-t ,求 g 2 ；C1f X，求 f 1 ； 2X(3)t =3t2 -t，求-1(1)解:g t t -g tt=limtAt4譏3 鋰一鬥=lim Z .:t.Ut3 - t3 3t : t 3t : t2: t3t-lim -3t2 -3t: t - .: t2 - -3t2,g t = -3t2,3(t + At 丫itg 2 12.(t 十 At 3t2 t 】At2:t空一譏6t.At:t =6t-1 , 中 J1& 7.二吧沖3=6t*3.求曲線y=2

2、x2在點P 1,2處的切線方程2x2_2解：曲線在點P處切線的斜率為lim 2X 2 =4 ,x 1 所以切線方程為y = 4 X -12.一化學反響，*4.化學反響速率通常是以單位時間內(nèi)反響物濃度的減少或生成物濃度的增加來表征。設有反響物濃度 C與反響開始后的時間t之間有如下關系： C = f t .1試表出時刻to到時刻tt=to這段時間內(nèi)的平均反響速率;2表出在時刻to的瞬間化學反響速率。vo= lim v = limtToft-ft。t -to解：ft - ft。； t -to ；s = S求物體在時刻to = 2的瞬時速度。t*5.沿直線運動物體的運動方程為:解：1Ag =t ?t-

3、t:S _ t t : t _ 丄進：t t t :t111 =t1 1-物體在時刻to =2的瞬時速度 Vo2.*2.試證：1 limto4二與*6.在作等速旋轉時，角速度是旋轉角度與所花時間之比，非勻速旋轉時，旋轉角 時間t有如下關系：-t。試導出非勻速旋轉時的(瞬時)角速度(t)表達式.解：-t 4 - -t，.(tPio 貢二忸t -加itt : t-At .f*7.在時間段.：t流經(jīng)導線某個截面的電量為.:q,那么稱二9為時間段.-:t上的平均電流強度，記At為I,現(xiàn)時間段0,t:內(nèi)流經(jīng)導線這個截面的電量為 流強度I.解：一 qt -qt1=出=竹 t q q(t . : t) -q

4、(t)I = lim I = lim limq(t),試求在時刻t導線于該截面上的電也，:q (t).后心At口At第2章(之2)第3次作業(yè)教學內(nèi)容： 函數(shù)極限的定義*1.試證：lim cosx 二 cosx。.xo證明：Pe A0 ,取6 = s, Vx滿足條件Ocx-Xov呂，有cosx - cosx 09-an乙 oil 1.x 勺p cmoil 12 2C . X 勺2 Podnlim cosxX HXocosxo.也2x 1所以只要取5 =min(3E, 1)斗 Jx+1* 3x 13lim ix 4x + 3 0，當0cx 4妬 時，有|Jx2|w名.在點:x+x ,*4.討論函數(shù)

5、f(x)=*271 x2,x2 =0,x : 0解:lim f xl= lim xx_ 0x 0lim f x = lim 1 x 2 =x Q -A 0 -=1.=0處的左、右極限-log2 ； ( 0)。當 x :啜時，必有乜0 假設限制；：1那么可令X貝U lim f(x) 即 lim 2x =0.x .2乂證明：只需證明*5.討論以下函數(shù)在所示點處的左右極限:1在x取整數(shù)值的點；2符號函數(shù)sgn x解：1 Xo為整數(shù)，lim f x =lim x-x丨X沢0亠X朕0 ?lim xlimX 丨二 X。X % X嵐0 lim f x =lim x-x丨X X0 X )X 0 lim x -

6、 limx ,。丨x -X0 - 1 = 1。Xo即：一 ；e : In 時f(X)為無窮小； 當X 時,(x+1)2f(x)為無窮大。答案：1,-1.2.選擇題：1 1* ()設 f(X)COS ,貝y Xr 0 時，f(x)()x x(A) 是無界量，也是無窮大量；(B) 是無界量，不是無窮大量；(C) 不是無界量，是無窮大量；(D) 不是無界量，也不是無窮大量答(B)* (2 )當 X 1 時，(A)等于2;f( ) x -1-1(B)等于0；(C)為二;(D)不存在但不是無窮大答：(D)1(3) lim tanx arctan=ji(DpTx31(A) 0；(B)不存在；(近；*3.答

7、：AAX0x -1*4、當x x時，f(x)是無窮大，且lim g (x)二A，從定義出發(fā)證明 當x X。時，f(x) g(x)也為無窮大.證明：因為lim g(x)二A，所以由局部有界性定理可知3八 0AMA0,當 0 c X X。v?時，有 g(x) vM 1 . 又因為lim f (x) 二:，所以X0PM 0,萊 20，當0v|x_x|c 芬 2 時，有 fgAM+M- 任給M。令_x_i0 x-1取 6 =min(d,當 0 c x x 6 時，有f(x) g(x) f(x) g(x) (M MJ Mi=M 所以 x x。時，f(x) ? g(x)是無窮大.第 2 章(之 4) 第

8、5次作業(yè)教學內(nèi)容： 2.2.4 極限的運算法那么 A-D 1. 選擇題* ( 1)以下表達不正確的選項是A. 無窮大量的倒數(shù)是無B. 無窮小量的倒數(shù)是無C. 無窮小量與有界量的D. 無窮大量與無窮大量* ( 2)以下表達不正確的選項是A. 無窮小量與無窮大量B. 無窮小量與有界量的C . 無窮大量與有界量的D. 無窮大量與無窮大量窮小量；窮大量； 乘積是無窮小量；的 乘積是無窮大量。答(B)的商為無窮小量 ;積是無窮小量；積是無窮大量； 的積是無窮大量。* ( 3)當 X ; xo時，f(x)-A 是無窮小是lim f(x)二 A 的：()x -xo(A) 充分但非必要條件(B) 必要但非充分

9、條件(C) 充分必要條件(D) 既非充分條件，亦非必 要條件答：C| ：/1 bx -1且 lim f(x) =3 ,x )0* (4)設 f (x) = ? x(A)b =3, a =3；(C)b =3, a 可取任意實數(shù)；(B) b =6, a =3；(D)b=6, a 可取任意實數(shù)。答:1 mlbx2 -9x a&x - 3lim 3x 1lim ;x 3 X 31 3 lim 2x -1 cos ；x 12x 1 lim X -2x 4 * * . X5 -32n22n1 x - ；; 1 X2(25)NRJ IJk；(6 ) lim &-憐-卻2二(Xn二2?.(n是正解：1lim

10、x 1 3X -1lim 3x -1-=2 .23=6.lim 2x -1 = 0x .icos有界，2x -11 lim 2x -1 cosx22x-1-0.2.(5 )原式=lim (_-XT J1 +x 1、1X2-1)1 X -1=1-limX-0 求以下極限:且在X0的某去心鄰域內(nèi)g(x) = 0 , lim 衛(wèi)刃二 A, f g(x)為什么? msKq)必等于0,*3.假設 limg(x)=0,XX0故 佃x/十門+*比=込匸“.即b=_ Tx2 -12解：lim f (x)=lim血XXoX JXQ g(x)*4設Xmix3 ax2X bx2 -1 x33,試確定a, b之值.2

11、ax x b解：因0iX2 -1二 31解:r limxf(x)-XXqX -X Q,f(xQ)lim f (x)X ； Xq*5原式=|jm |Xf(x ) xf(x) xf(x) x f (x)Xf x - Xqx - Xq=f(x。) -x f (Xq).第2章之5第6次作業(yè)教學內(nèi)容：極限的運算法那么E 無窮小的比擬*1 .試求以下極限 lim(2)叫x P 1 2x解：1 1 l1+2x 丿四叫13x 1 73)=limx2lim (1x 03x)五=e6.*2 .試求f X二COSx的導數(shù)。3x1)丨x)(3) lim(1 3x)時。x )0112(1+2x 產(chǎn)2e3dx解:f X

12、pmCOSx-2sin x +XCosf0:x .: xSin - 2 2:xx皿叫X+GLXsin -2.lim匚 j |-sinLT 0時，1兇是無窮小量cos-是有界量，所以.f (x)在x = 0處可導？解:設 lim xT la2 +x2 (b -cosx)1 、(a 0)，試確定a, b之值(x) tan5x處可導，且9.設 f (X)=、試證明f (x) 5x (x t 0) *iiF 明： f(x)limx j0 x(x) tan5xtan5x (x) - ( 0)lim 2limx 0 xx j0 xIf (x)與5 乂為同階無窮小(XT o時).(0) =5,*10.設 f

13、(x)=HM , (1 -e2x)x 其中(x)在 x=0 處可導，且(0)=0,求 lim f(x).解: lim f (x) =lim (x) 一(0) 八0 /八0sin x1-e2x*11.(1)假設當x X (某個定數(shù))時，恒有f x豈g x乞h x，且lim-g x = A .X):_1 _Lx 處連續(xù).*2 ?討論函數(shù)f(x)=?*1 ?從定義出發(fā)證明函數(shù)jx 0解：lim f (x )= lim x sin1 =0 = f 0 , x二函數(shù) f(x )在點 x =0 連續(xù) .cosx計算極限2ax_1*3. f(x)=?x丿因當x 0a當,乂穴，在x=0處連續(xù)，那么，當 x =

14、 0tan (x-1)解：lim1.7 (arcsin x) 解: limtanx sin3* x xT=limx(arcs inx)x 0 時，有 1cosx tan x (1 一 cos x)30(arcs in x)2x , tan x x, arcs in x x所以x x 原式二 lim 3T x解:-e2xcosxe -e =e(cos x -1)cosx -1(e-答：-14 ?試利用極限四那么運算的性質(zhì)，重要極限，等價無窮小，根本初等函數(shù)連續(xù)性及變量變換與極限過程改寫等各種結果，求以下極限：2 tan(x -1)故原式=lim 22xT x2sin x42(e -1)1 x(1

15、 - cosx) In (1 x 2)兀x理叩丄込于二0,f x的連續(xù)性mx叮乩1 一2第2章(之7)教學內(nèi)容： 234函數(shù)的間斷點及其分類第8次作業(yè)*2.設 f (x)二_間斷點；答案:1、無窮；X2 -X 1sin1，那么 x 一 1 是 f (x)的 x2 -1xX = 1是f(x)的間斷點.2、可去；3、跳躍.間斷點；x = 0是f(x)的*1 .函數(shù)x21y = 2 的間斷占為x =1、2,那么此函數(shù)間斷點的類型為(A.C=1,2都是第一類；B. x =1,2都是第二類;x =2是第二類；x=2是第一類.=1疋第一類，D.答：Cx =1是第二類， 函數(shù)可導與連續(xù)的關系 閉區(qū)間上連續(xù)函

16、數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的和差積商的求導法那么*3 .對怎樣的a值，點x = a是函數(shù)f x =x 4的可去間斷點？x a一一 一 一一一一一 一x2 - 4解：函數(shù)在可去間斷點處x = a極限必存在。由極限根本定理，設limA，那么必有x -ax2 -4 = A x - a : 亠 mx x - a時的無窮小ix暉 x2- 4 = a2 -4 ,另一方面，lim A x - a 亠x x - a丨-0。所以由 2 a-4二0得a =2。經(jīng)驗證，當XTx2 _42時，lim存在，故a = 2為所求.x a*4.if ： x =0, x =1, x在x = n(n 0, n e z)處,sirin=0,

17、lim f (x) =i故x二,2-, - 3二，是f(x)的第二類間斷點；f (0)無意乂limf(x)=lim-x (x 二。一在x =0處,/r.x 二1處 f (1 -0)=sin 1,f(1而，1f).x =1是f (x)的跳躍間斷點1叫 rFsx2x故x二0不是無窮間斷點j0 x-1 sinx*5、指出下面函數(shù)的無窮間斷點：f(x)=xsin x解：依題意，x=0及x=k二(k二1,_2 ,)是f (x)的間斷點.而口 1 cosx1 cos(2k 兀一=limAx)x * -x(2k 二-x)乂 limlimx-2k二 xsinxx/A-xsin(2kA -x)而xa冊f 2),

18、函數(shù)f (x)的無窮間斷點為 x -，二3二，二5二，.*6 ?設y二f x在0,1】上連續(xù)，且0乞f x空1。試證：存在三0,11使f二成立.證：構造函數(shù)F x =f x - x，貝U F x 在 0,11 上連續(xù)。且 F 01= f 0 -0 _ 0 ,0,11 使 F)=0,F1 = f1 -1豈0。那么由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理知，必存在一個 即f ?二成立.證畢.0至少有一個不超過 a-b的正數(shù)根.且有F 0Fab =aAsinaLo，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理知必存在一個r : = (0,a b ，使得 F =0,即=asin :亠 b 證畢.*8.如果f x在區(qū)間a,b內(nèi)連

19、續(xù)，捲：X2 :：:xn是該區(qū)間內(nèi)任意n個點，試證明在a,b內(nèi)至少存在一點？，使得f二口 ？電. n 證：因為函數(shù)f x在 吒公.二a,b上連續(xù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理有m = min f x , M 二 max f x .x1 _xAxriaian所以，X1xn : M .再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，知命題得證。證畢解：設 f (x) =x5 -3x -1，零值定理知至少存在一 點-(1,2),使f( )=0 即方程x5 -3x =1至少有一個根介于1和2之間？*10.假設f x在:；:-匚打;3 :上連續(xù)，且lim_f x = A，試證明f x在:,亠上有界.證明：依題意，取名=1

20、,次A 0,當X A X時，有f( X) A V 1，于是f(x)勻f (x) A+|A c1+|A .又當x蘭X時，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理，mM10,Wx el x,X 】，有 f (x)| 蘭 M1，取 M = max(M 仆 1 + A)，那么在 (- ,址)上有f(x)蘭M成立.*11.討論*12.試問曲線在點1,1處是否有切線，為什么？試簡單說明之解：沒有。x,x :1limx 1 x 1I 2dX -1X -1即曲線在點1,1處沒有切線2-x -12-X-1x -1上有f (x) =x(1 -x).討論f (x)在x = 0處的可導性.*13.設f(x )在(：)上有定義

21、,在此定義域上恒有f (x ?1) =2f(x),且在解:0,1 訕止刃=1,x )0 xJ+(Oh lim 空 SO) x1x%1)仁(0) =lim -冥一jpf (x) -f (0)X=4im0 -*14.試確定式中 a,b之值，使f (x)處處可導:xe x : : 0,、ax + b, x 蘭 0.解：；f(x)在0點處可導，所以必連續(xù)。f (0 -0) = lim f (x) = lim e x =1 ,八0 xJ0 f(00A lim f (X) = lim (ax b) =b ,xT 十 xTb =1e-b ef_(0) = limlim7 x 7 f/( 0) jimAA 心

22、 3 十 a = 1.*15.設 f (x) = x-a g(x),其中 g(x)在 x=a 處連續(xù)且 g(a) = O,討論 f(x)在 x =a 處的g(x) =0x -a=limx_.a x -a連續(xù)性與可導性lim f(x)-f(a)解:*16.設u(x), v(x), w(x)在點x處可導。試證明：u(x)v(x)w(x)二 u (x)v(x)w(x) u(x)v (x)w(x) u(x)v(x)w (x).證明：左式 =(uv)w = (uv) w (uv)w 二(u vw uvw) uvw =右式.第2章之8第9次作業(yè)教學內(nèi)容：243反函數(shù)的求導法那么 244復合函數(shù)求導法那么

23、245根本求導公式*1.求以下各函數(shù)的導數(shù)(1) y = cot x - cscx ；(2)secx丿 y 2;=xIn x y x(4) y 二 x(ex _ ln x)；(5)x I(6) y = ex (cosx sin x)；y = xe In x ； y =2x3-log se;(8) y = 2 tan x secx .(7)6x2 二;(6) 2ex cosx ；(8)2x In 2 tanx 2 x sec2 x secxtanx .解：(1)cotxcscx csc x ；1(3)-2(1 -l nx);x x(5) ex(xIn x In x 1)；secx(2) (xta

24、nx-2);x(x 1) ex 一 In x -1 ;2.求以下函數(shù)的導數(shù)：*(1) y 二 sin(3e2x 1)；y = In2sin(x 1);2cos(x+1)=cot (x+1).*(2)2x1 y、4 x -1 丫十3丿2(x+3) (2x 1)1 ix(x+3)2*(3)*(4)*(5)=4(2x-Q 6_2 X(x 3)52si n(x 1),1 - x2x(1 -X2)2128(2x-1)3(x 3)52x x-U)2v x*(6)y 二 ln(x 1 x2);_ 1;1 x22 2y =sin x sin(x )；解：y=cos(3e 2x 1) 3 e2x 2 =6cos

25、(3e 2x 1) e2x.解：y 二 sin2x sin(x 2) 2xsin2 cos(x2);*(8) 1y 二 arccos ;解: yxx2、x2 -1*(9) y 二 exsi ；3x解：y 二 eAx(_2sin cos);3 33*(10) yAarcta nA .x 1x21y (0)；23 5x為可導函數(shù),(3) y =:21 n2 x ,求y (e)(4)y =:log 3COSX ,求y(：)(5)y =:(arcsin x) 3,求y ()2arctan dx(6)y =:e，求 y(1)解答:a、10#J 11 1(1)(3)1In 3y = f (sine x)

26、-3cosfg,求 y(x).3.求以下函數(shù)在指定點處的導數(shù)值解：(1) ，求(2) y = arctanex,求 y(0)*(2) 設 y = f (secx) sec( (tanx),其中 f(u), 解：y (x) =secxtanxf (secx) sec( (tan x)(u)為可導函數(shù)，求 y (x).92.3e；(5)- 184.*(1)設 f(u)f (x).2試討論f (x)的可導性，并在可導點處求出-sec( (tanx) tan( (tanx) secx (tanx) f (secx).*5.設 f(x)=maxx .2x, x :0,當 xho,xhi 時，f(x) =

27、 1, Ovxcl,x2x, x1.二 2b(a).*6.設 f(x)二(a bx)(a 的值.解:x )0:(a bx) _ :(a)bxbx),其中(x)在(一有定義 且在x = a可導，求f (0)x(a _bx) _ :(a)bx7. *(1)解:11x(y) =x2*(2)設y二設x)具有連續(xù)的一階導數(shù)1)求反申數(shù)的導數(shù))=e(y).那么尸(x)L解：教學內(nèi)容：246隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法 247由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)第2章(之9)1.*( 1)驗證由方程xy-l ny=1所確定的隱函數(shù)y = y(x)滿足方程y2 (xy 1)y、0.證明:二，兩邊同乘 y,得 y2 ? (x

28、y-1) y = 0.*設 y =y(x)由方程 exy sin (xy) = 丫確定，求 y (0).解: exy(y xy) (y xy)cos(xy) =y，*(3)解：xy(+yrlnx) + J當x = 1時，y =1,代入上式當x = 0A, y = 1,代入上式有y(0)=2.x(ln y-yA0， L | X =3,*(1)設ly =e cost = e21 sin tx確定了函數(shù)解:二y(x),求乎dx2tt2dy 二 e (2sint cost)二 e (2sint cost) dx d (cost 2t si nt2) (cost2 -2ts in t2)y*(2)設y

29、= y(x)由方程vX =1 t2t所確定,試求dx心.dx解：一=3t2,當dydt2tx =2 時，dydtt 4t =1, dt=2e2,dxdt 14=3,dy,x =dx2e2j-Xcost4.*(1)曲線L的參數(shù)方程為t貝U曲線L在t處的法線y = sin 2I 2方程為答 4x - 2y 1 =0 .x =1 七一 xcost* (2)試求由丿2y=t +t1所確定的曲線 y = y(x)在x = 0處的切線方程尼刀亠x = e xcost 1斤力解：由知當x = 0時，t=0, y=0 ,-dxt dxecost + xsm tdtdt ydt .dy21dx dt解：ln|y

30、l = _ln x +1| -2ln x -1 -n 5x2、y =t2 +ty _1y 3(x 1) x -153(5x_2)少=2 dxy(x -1)23 5x -2 |!3(x - 1)解:乂_11 y =2X x?+1+x2+ x2) Jsin x1 +xx21 cotx 4*(2)設 y = : e 交 J(x2 +i) Jsinx ,(0 ex成兀,求y*6.設函數(shù) y = y(x)由方程(x + y)x* =3x+ 2y2所確定，試求dydx(x,y)M0,2)兩邊求導:將(0, 2)解：兩邊取對數(shù)(X -1)ln(x y) = In(3x ? 2y - 2),1 + yln(x

31、 y) (x 1)、x + y3 2y3x 2y _2點代入上式:1 + y 3+2y1 n 2 +亍二寧，可解得y(x,y?2)= 21 n2 - 2*7.證明曲線x32 2 2y3a3 (a 0)上任意點Po = (xo, yo)(xo= 0, yo = 0)處的切線在兩坐證明：對曲線方程求導有得x =x3y3 3令x = 0，得y 0八y 3 y = 0y1 2M 二(x 加?,0)，1 2x(0,yiaA)，所以知曲線在p。點的切線斜率為，切線方程為:12 1 2區(qū)泊32仃汩32 =所以切線在兩坐標軸間的線段長為 標軸之間的線段為定長.*8.求三葉玫瑰線x1 2)Ya3，1 2a -j

32、-r何，y oi x - X Xoasin(3巧(a切線與x軸的交點為切線與y軸的交點為0上對應于的點處的切線方程直角坐標形式 ).即k 切二 dydxlas in3R sin v坯3acos?si nv asi n3 cosvlasin 3cos 乂 3acos3 日cosT - asin3sin ?l解：三葉玫瑰線方程可寫為x =asi n為cosOy =asin関sin 日 TT由于對應于的點的坐標為4a aP =所以切線方程為2 22x _4y a = 0 ?第2章之10第11次作業(yè)教學內(nèi)容：2.5高階導數(shù)*2.設y = fu,u= X均存在2階導數(shù)試推導公式2 2 2d y d ydudyd u dx2 du2 idx 丿 du dx2解：由魚二業(yè)型，得 d2y d dy d dy du _ dy dx2 dx dx dx du dx du dxdx dud du du dy dx dx dxdx du22dy d2u du du du_ du = dy