高等數(shù)學(xué)部分習(xí)題答案摘錄

1、次序不定積分基本積分公式不定積分第一換元法(湊微分法)不定積分第二換元法不定積分的倒數(shù)換元法不定積分分部積分法不定積分有理函數(shù)積分法不定積分三角有理式的特殊情形定積分的定義定積分變上限積分定積分的性質(zhì)定積分的換元法定積分的分部積分法利用對稱性求定積分定積分的應(yīng)用向量代數(shù)其他類型習(xí)題簡稱上冊：高等數(shù)學(xué)上冊 南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 劉光旭 張效成 賴學(xué)堅 編下冊：高等數(shù)學(xué)下冊 南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 劉光旭 張效成 賴學(xué)堅 編講義：高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（第三版）上冊 薛運華 趙志勇編著提示在文檔中可以用Ctrl+F搜索關(guān)鍵字，例如“利用對稱性求定積分”，“231頁B1”等，這樣能更快地查找。不定積分基本

2、積分公式不定積分第一換元法(湊微分法)1.如果被積函數(shù)中明顯含有復(fù)合函數(shù)，就能順藤摸瓜，找到中間變量，也就是找到湊微分的對象。只要在被積函數(shù)中再找出，就可以湊微分了（允許差一個常倍數(shù)）。2.如果復(fù)合函數(shù)不明顯，但被積函數(shù)中有一個因子適合看成，也可以先湊微分，再看剩余部分能否理解成的函數(shù).3.有些題則需要主動進行恒等變形，將被積函數(shù)中分解成與的乘積。講義112頁14.2(9)006解題思路如下008分子分母同時乘以x，xdx湊微分也可以直接令t= 如果把x換成tant呢？估計也行。011012上冊200頁A1(62)013022先通分，然后注意到是的導(dǎo)數(shù)，是f的導(dǎo)數(shù)于是可以通過商的導(dǎo)數(shù)公式湊出來

3、 不定積分第二換元法以去掉根號，簡化運算為最終目的，其他的都是手段總結(jié)規(guī)律是為了提高嘗試的成功率熟練掌握后，什么招好使就使什么招，規(guī)律也有例外003028上冊198頁A1(16)上面的解答有點小問題還可以這樣因為不定積分是在某個區(qū)間內(nèi)求原函數(shù)，兩種區(qū)間只能取其中一個（也可以是子區(qū)間），所以也可以不討論。假設(shè)換個題，被積函數(shù)處處有定義，就得注意討論了。但是中，x<-1時，這兩個C不相等，前一個叫C1比較好。如果是用表示原函數(shù)，則必須分類討論了。因為有x的奇數(shù)次方，這樣更省事。032035講義習(xí)題15.2(7)還要把t換回x041令t=，可以算，但很麻煩 所以選取以下做法不定積分的倒數(shù)換元法

4、024上冊200頁(63)忘了+C不定積分分部積分法圖里寫得不太正式，第一行的意思是，首選對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)作u(x)，剩下的湊成dv如果沒有，再選多項式函數(shù)作u(x)解方程的例子：抽象函數(shù)的例子：抵消的例子：048上冊201頁A2002上冊198頁(21)解法二004解法二上面的解法忘記+C007分部積分時，首選對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)作u(x)這題兩個都出現(xiàn)了，任選一個作u(x)，先干掉一個，剩下那個就好辦了 上面的方法選擇對數(shù)函數(shù)作u(x)，下面的方法選擇反三角函數(shù)作u(x)，都是可以的（跳步的地方請讀者自行腦補）實際上，也可以選擇對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積作u(x)，解法如下009上冊1

5、99頁(39)39題答案是錯的，正確計算會比較麻煩，可以跳過此題。這個函數(shù)在x=1不可導(dǎo)，所以在點x=1不能用分部積分法,需要先求其他處的原函數(shù)，然后利用原函數(shù)連續(xù)性求出x=1處的值。詳細解答如下：010上冊199頁(40)不定積分有理函數(shù)積分法部分分式就這四種只要分母中有二次不可約因式，分子就是一次多項式否則分子是常數(shù)有理真分式如何拆成部分分式1、先把分母f(x)因式分解，分解成一次因式、二次不可約因式的乘積2、凡是分母能夠整除f(x)的部分分式都要在右式出現(xiàn)，不能整除的不出現(xiàn)3、右式通分，對比兩邊的分子4、可以對比多項式各項系數(shù)，也可以代入x的特殊取值，求出部分分式的分子中那些待定系數(shù)01

6、8上冊199頁(42)不定積分三角有理式的特殊情形可以推廣到整數(shù)本題是m=-1，n=0的情形定積分的定義015上冊220頁B4(2)其中這是普通的定積分，c>0最后再求極限逼近030上冊219頁A10033上冊211頁B1定積分變上限積分（參見習(xí)題課講義134-136頁）注：f連續(xù)，且被積函數(shù)不含參變量x，才能用以上公式。求導(dǎo)：換元，令u=x-t，再求導(dǎo)即可019上冊219頁A1(4)求導(dǎo)026上冊211頁A8定積分的性質(zhì)005016上冊220頁B5 ,B66題見習(xí)題課講義129頁例16.85題方法與6類似 036積分中值定理即可021上冊211頁B7025上冊211頁B6老師第六題可以

7、用柯西中值定理嗎?g(x)有時可能=0，不滿足柯西中值定理的條件029上冊211頁A7042上冊219頁A4定積分的換元法020上冊211頁B2方法一方法二031上冊230頁A8037上冊231頁B7040上冊229頁A2(4)上面是用三角換元，和處理二次根式的方法一樣。于是把分母都變成一個整體，而不是幾項相加。本題也可以看成第四種部分分式，那樣有點麻煩。043上冊229頁A2(3)045上冊229頁A2(11)解法一sinx+cosx的導(dǎo)數(shù)是cosx-sinx可以用a(cosx-sinx)+b(sinx+cosx)=sinx 解a，b拆成兩個分式 解法二換元t=pai/2-x也可以定積分的分部積分法利用對稱性求定積分038上冊219頁A3(3)017上冊219頁A3(5)046上冊231頁B4解法一丟個dx解法二被積函數(shù)是中心對稱函數(shù)和軸對稱函數(shù)乘積，且對稱中心在對稱軸上044上冊231頁B1解題思路如下023上冊229頁A2(5)解法一解題思路如下（含解法二）可以像第一個解法那樣分兩個區(qū)間，也可以像第二個解法，不分割區(qū)間換元時，x和t是對稱點，f(x)=f(t)相當于把對稱點處