參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)

1、1參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)-抽樣分布2抽樣誤差o從總體均數(shù) 為155.4cm，標(biāo)準(zhǔn)差 為5.3cm的正態(tài)分布總體中隨機(jī)抽樣。樣本大小為30,nnXS2, 11,X Sn=3033,XS22,XS .3從正態(tài)總體 抽樣得到的1000個(gè)樣本均數(shù)的頻數(shù)分布(ni=30)2(155.4,5.3 )N4Mean=155.426 Std=0.9665抽樣誤差o結(jié)果：n各樣本均數(shù)不一定等于總體均數(shù)n樣本均數(shù)間存在差異n樣本均數(shù)的分布規(guī)律：圍繞總體均數(shù)上下波動(dòng)n樣本均數(shù)的變異：由樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差描述。6抽樣誤差o抽樣誤差Sampling error n由抽樣引起的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)間的差異o來源:n個(gè)體變異n抽樣o表現(xiàn)

2、n樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)間的差異n樣本統(tǒng)計(jì)量間的差異7o樣本均數(shù)的規(guī)律性n隨機(jī)的n在概率意義下是有規(guī)律的-抽樣分布n通過大量重復(fù)抽樣,借助頻數(shù)表描述n樣本均數(shù)的變異規(guī)律(抽樣分布)與個(gè)體觀察值變異規(guī)律有關(guān)o即使只有一個(gè)樣本資料,也可由樣本資料的個(gè)體觀察值的變異規(guī)律間接得到樣本均數(shù)的變異規(guī)律抽樣分布8正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布o(jì)已知某地高三男生的平均身高為 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,將其視為一個(gè)總體。o從該總體中隨機(jī)抽樣n樣本含量為nn每次抽取10000個(gè)樣本并計(jì)算各自的樣本均數(shù)n以10000個(gè)樣本均數(shù)作為一個(gè)新的樣本制作頻數(shù)圖168.15cm6.00cm9抽樣1Fractionmeana150160170180

3、0.05.1樣本含量n=4 的平均數(shù) =168.19 的標(biāo)準(zhǔn)差 =2.9670 xx63.0410抽樣2樣本含量 n=16 的平均數(shù) =168.158 的標(biāo)準(zhǔn)差 =1.4884 xx61.516Fractionmeana1601651701750.02.04.06.0811抽樣3Fractionmeana1501601701800.05.1樣本含量 n=36 的平均數(shù) =168.1493 的標(biāo)準(zhǔn)差 =0.9997 xx61.03612o從正態(tài)分布的總體 中隨機(jī)抽取樣本含量為n的樣本X1，X2，Xn，其樣本均數(shù) n服從正態(tài)分布，總體均數(shù)為 ；n樣本均數(shù)的總體標(biāo)準(zhǔn)差o若 ，則其中任意一個(gè)隨機(jī)樣本X

4、n的均數(shù)2( ,)N X2( ,)XN 2( ,)xXN 正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布xn資料的總體標(biāo)準(zhǔn)差13o樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差 ，稱為樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤(standard error of mean ,SE)，簡稱均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤o它反映樣本均數(shù)之間的離散程度，也反映樣本均數(shù)抽樣誤差的大小。o誤差大小 ，實(shí)質(zhì)是要估計(jì) 的分布特征 X正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布XXX14o由于實(shí)際 往往未知，需要用樣本 來估計(jì) ，樣本均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)式為o注意區(qū)別：o證明：XXSSn正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布XXXSS和和()E XXXnXXS15非正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布o(jì)從總體均數(shù)為1的指數(shù)分布中抽樣，樣本大小分別為4，9，100

5、。每次抽10000個(gè)樣本制作頻數(shù)分布圖161718抽樣1樣本含量n=4 的平均數(shù) =1.0133 的標(biāo)準(zhǔn)差 =0.5031 的中位數(shù) =0. 9298xx10.54Fractionmeanx.0517593.794670.0675x19抽樣2樣本含量n=9 的平均數(shù) =0.9959 的標(biāo)準(zhǔn)差 =0. 3332 的中位數(shù) =0.9574xx10.339xFractionmeanx.1912692.731850.068320抽樣3樣本含量n=100 的平均數(shù) =0.9993 的標(biāo)準(zhǔn)差 =0.1001 的中位數(shù) =0.9958xx10.1100 xFractionmeanx.6546351.4984

6、80.070421o從非正態(tài)指數(shù)分布總體中隨機(jī)抽樣所得樣本均數(shù) ：n在樣本含量較小時(shí)呈偏態(tài)（非指數(shù)型）n樣本含量較大時(shí)接近正態(tài)分布n均數(shù) 始終在總體均數(shù) 附近n均數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)差非正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布XX1XXn的總體標(biāo)準(zhǔn)差22中心極限定理及其應(yīng)用o樣本均數(shù) 總體標(biāo)準(zhǔn)差是個(gè)體資料X的總體標(biāo)準(zhǔn)差的 ；即理論標(biāo)準(zhǔn)誤o理論標(biāo)準(zhǔn)誤的樣本估計(jì)值為o樣本均數(shù) 與 個(gè)體資料X的集中位置相同，即樣本均數(shù) 的總體均數(shù)與 個(gè)體資料X的總體均數(shù) 相同Xxn1/nXXSSnXX23中心極限定理及其應(yīng)用o若個(gè)體資料X服從正態(tài)總體 ，則樣本均數(shù) 也服從正態(tài)分布 ；o個(gè)體資料X服從偏態(tài)分布，當(dāng)樣本量n較大時(shí)，樣本均數(shù) 近似服

7、從正態(tài)分布2( ,)N 2( ,)XXN X/XXXXUn(0,1)UNX2( ,)XXN 24o例3.3 已知在某地7歲正常發(fā)育男孩的身高服從正態(tài)分布N(121,52)o正常發(fā)育7歲男孩身高的95%范圍為 (111.2，130.8)o若在該地正常7歲男孩中隨機(jī)抽一個(gè)樣本，樣本含量為100，則樣本均數(shù)的95范圍為 =(120.2，121.98)， 596. 1121100596. 112125 t分布o(jì) , 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與t統(tǒng)計(jì)量 o實(shí)際研究中未知，用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差S作為的一個(gè)近似值(估計(jì)值)代替，得到變換后的統(tǒng)計(jì)量并記為 (0,1)XUNnXtSn2( ,)XN 26o如在正態(tài)總體N(168.

8、18,62)中隨機(jī)抽樣，樣本量分別取n =5，n =100，均抽10000個(gè)樣本，分別計(jì)算t值和U值并作相應(yīng)t的頻數(shù)圖 t分布27 t分布樣本含量n=5樣本含量n=100 t統(tǒng)計(jì)量的頻數(shù)圖 28o結(jié)果n小樣本時(shí)，t統(tǒng)計(jì)量和U統(tǒng)計(jì)量的分布有明顯差別n大樣本時(shí)，t統(tǒng)計(jì)量和U統(tǒng)計(jì)量的分布非常接近。o頻數(shù)圖n當(dāng)樣本量較大時(shí)，統(tǒng)計(jì)量t的頻數(shù)圖與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線非常接近n樣本含量較小時(shí)，t統(tǒng)計(jì)量的峰值比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰值略小，雙側(cè)尾部的值則較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布略大 t分布29o英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家W. S. Gosset(1908)設(shè) 并給出了統(tǒng)計(jì)量t的分布規(guī)律，并稱統(tǒng)計(jì)量t的分布規(guī)律為t分布，自由度為v，記為t(v)

9、分布。 o每個(gè)自由度v對(duì)應(yīng)一個(gè)分布，因此t分布是一簇分布 ot分布僅與總體均數(shù)有關(guān)，與總體標(biāo)準(zhǔn)差無關(guān) t分布/XtSn1n2( ,)XN 30o三條t分布密度曲線 t分布v=1v=5v=31t分布的圖形特征o分布特征 nt分布曲線是單峰的n關(guān)于t = 0對(duì)稱n自由度越大，t值越小o t分布與正態(tài)分布的關(guān)系 n自由度v較小時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相差較大，并且t分布曲線的尾部面積大于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的尾部面積n當(dāng)自由度 時(shí)，t分布逼近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。32t分布的界值 o給定自由度v，t分布曲線的雙側(cè)尾部面積為時(shí)對(duì)應(yīng)的t值，記為并稱 為t的雙側(cè)界值 o單側(cè)界值 ：一側(cè)尾部面積為時(shí)對(duì)應(yīng)的t值o對(duì)稱性

10、得：單側(cè)曲線下面積=2雙側(cè)曲線下面積o同樣的尾部面積，t分布的界值要大于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的界值 vt, 2/vt,33 t分布界值示意圖，表示陰影的面積 34樣本率的分布 o總體率由樣本率估計(jì)n例如，設(shè)樣本的個(gè)體數(shù)(即樣本含量)為n，若x為樣本的某指標(biāo)陽性個(gè)體數(shù)，則可用樣本陽性率 估計(jì)研究人群的陽性率 (總體陽性率)； o由于個(gè)體差異和偶然性的影響，樣本率也存在抽樣誤差-由抽樣造成樣本率與總體率(研究人群的率)的差異 o樣本率是隨機(jī)的，但在概率意義下也是有規(guī)律的-樣本率的分布。nxp 35o隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，分別在總體率=0.4，0.5，0.01的總體中隨機(jī)抽樣，其總體率和樣本含量no每種情況分別隨機(jī)

11、抽10000個(gè)樣本，每個(gè)樣本計(jì)算其樣本率，把同一種情況的10000個(gè)樣本率視為一個(gè)新的樣本資料作頻數(shù)圖 樣本率的分布 36抽樣137抽樣138抽樣339抽樣440o結(jié)果n總體率相同時(shí)，樣本含量越大，樣本率的分布越趨向?qū)ΨQ。n樣本含量n相同時(shí)，越偏離0.5，樣本率的分布越偏態(tài)分布。n總體率0.5時(shí)，任意樣本含量的樣本率都呈對(duì)稱分布。n樣本率p的樣本標(biāo)準(zhǔn)差 。n)(1樣本率的分布 41中心極限定理及其推論o若樣本中的個(gè)體個(gè)數(shù)(即樣本含量)為n，總體率為，樣本率為p，則n樣本率的總體均數(shù)等于總體率n樣本率的總體標(biāo)準(zhǔn)差(即率的標(biāo)準(zhǔn)誤) n由于總體率通常是未知的，因而用樣本率p來估計(jì)，故率的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值常表示為 PnP)1 (1)PPPSn42n對(duì)于大量重復(fù)隨機(jī)抽樣而言，樣本率p圍繞著總體率波動(dòng)n樣本含量n越大，這種波動(dòng)越小。當(dāng)n的值充分大時(shí)，p的分布就近似于均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布。這里樣本含量n “充分大”指 、 且n40。n當(dāng)總體率0.5時(shí)，則樣本率p的分布為對(duì)稱分布 n當(dāng)樣本含量n為定值時(shí)，總體率越接近0.5，樣本率p近似正態(tài)分布的程度就越好 中心極限定理及其推論(1)n5n(