2005年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三真題解析

1、2005年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三真題解析一、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)2x(1) 極限 lim xsin p =2 .x +1【分析】此題屬基此題型，直接用無(wú)窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】l i mxsi n=lim x22.x?： x 1 X: x 1(2) 微分方程xy-y=0滿足初始條件y(1)=2的特解為 xy = 2.【分析】直接積分即可.【詳解】 原方程可化為(xy) 0，積分得 xy = C，代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2.(3) 設(shè)二元函數(shù) z = xex刊 + (x+1) In(1 + y)，那么 dz 仆)

2、=2edx+(e + 2)dy【分析】 基此題型，直接套用相應(yīng)的公式即可.【詳解】三=ex內(nèi)+xex旳十I n + y),dx-：Zx y x 1xe,:y1 y于是 dz = 2edx + (e+ 2)dy .(1,0) ' 3(4)設(shè)行向量組(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)線性相關(guān)，且 a = 1，那么1a= 2【分析】 四個(gè)4維向量線性相關(guān)，必有其對(duì)應(yīng)行列式為零，由此即可確定a.【詳解】由題設(shè)，有2 12 13 24 31 1a a1 a2 1=(a -1)(2a -1) =0，得 a =1,a 二扌，但題設(shè)(5)從數(shù)1,2,3,4中

3、任取一個(gè)數(shù)，記為 X,再?gòu)?,2/ ,X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y,那么PY =2=1348【分析】 此題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式，且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分【詳解】PY =2 = PX =1PY =2X =1 + PX =?PY = 2X =2+ PX =3PY = 2X = 3+ PX = 4PY = 2X = 4(0-1.11)2341348(6)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為1000.4a1b0.1,b= 0.1隨機(jī)事件X =0與X Y =1相互獨(dú)立，那么a= 0.4【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的

4、獨(dú)立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=0.5又事件X =0與X Y =1相互獨(dú)立，于是有PX =0, X Y =1 =PX =0PX Y =1，即 a=(0.4 a)(a b),由此可解得a=0.4, b=0.1二、選擇題(此題共8小題，每題4分，總分值32分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))32(7)當(dāng)a取以下哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)f(x)=2x -9x ，12x-a恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)(A) 2.(B)4.(C)6.(D)8. B 【分析】 先求出可能極值點(diǎn)，再利用單調(diào)性與極值畫出函數(shù)對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行分析， 當(dāng)恰好

5、有一個(gè)極值為零時(shí)，函數(shù)f(x)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn).【詳解】 f (x)二6x2 -18x 12= 6(x1)(x -2)，知可能極值點(diǎn)為x=1,x=2，且f (1) = 5 -a, f (2) = 4 - a，可見(jiàn)當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f(x)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)， 故應(yīng)選(B).(8)設(shè) J 二 cos x2 y2d；，|2 ： 11 cos(x2y2)d二，l3 ： !cos(x2y2)2d二,DDD其中 D =( x, y) x2 + y2 蘭 1，那么(A) I 3 2 1 .(B) 丨1 ，丨2 T3.【分析】 關(guān)鍵在于比擬.x2 y2x2y2與(x2 y2)2在區(qū)域2 2D=(x,y)x +

6、y蘭1上的大小.【詳解】在區(qū)域D =( x, y)2 2 2 2x y < 1上，有0空x y < 1，從而有-1x2 y2 _x2 y2_(x2 y2)2_0由于cosx在上為單調(diào)減函數(shù)，于是20 二cos x2 y2 < co s( y2)乞 co sx2 y2)2因此JJcosx2 + y2db < JJcos(x2 + y2)db c JJcos(x2 + y2)2db，故應(yīng)選(A).DDDoOoC(9)設(shè)an0, n =1,2,，假設(shè)an發(fā)散，(-1)nan收斂，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是n=1n=1QOQOoOCO(A)7 a?n二收斂，二：a2n發(fā)散( B)

7、 V a2n 收斂，a2n J發(fā)散n =4nWn TQOod(C)(a2nV ' a2n)收斂(D)、心2.a2n)收斂D n生nA【分析】可通過(guò)反例用排除法找到正確答案1 oOoO【詳解】取an二一，那么V an發(fā)散，' (-1)njan收斂,nn £n 占QOQOQO但V a?n4與v a2n均發(fā)散，排除(A),(B)選項(xiàng)，且心2.a?n )發(fā)散，進(jìn)一步排除n=1n=1n £QO(C) ,故應(yīng)選(D).事實(shí)上，級(jí)數(shù) V (a2n-a2n)的局部和數(shù)列極限存在n =1(10)設(shè)f(x) =xsin x cosx,以下命題中正確的選項(xiàng)是(A) f(0)是極大

8、值，f()是極小值.2(C)f(0)是極大值，f()也是極大值.2Ji(B) f(0)是極小值，f ()是極大值.2jt(D) f(0)是極小值，f()也是極小值.2B 【分析】 先求出f (x), f (x)，再用取極值的充分條件判斷即可【詳解】f(x)=sinx+xcosxsin x = xcosx，顯然 f"(0)=0 f "()= 0，2又 f (x) =c o x - xs i rx，且 f (0) = 10, f ( )0，故 f(°)是極小值,2 2冗f ()是極大值，應(yīng)選(B).2(11)以下四個(gè)命題中，正確的選項(xiàng)是(A)假設(shè)f(X)在(0, 1)

9、內(nèi)連續(xù)，貝U f(x)在(0,1)內(nèi)有界.(B) 假設(shè)f (x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)，貝U f(x)在(0，1)內(nèi)有界.(C) 假設(shè)f(X)在(0, 1)內(nèi)有界，貝U f(x)在(0, 1)內(nèi)有界.(D) 假設(shè)f (x)在(0, 1)內(nèi)有界，那么f(X)在(0, 1)內(nèi)有界 C 【分析】通過(guò)反例用排除法找到正確答案即可11【詳解】設(shè)f(x)=，那么f(x)及f (x)2均在(0，1)內(nèi)連續(xù)，但f(x)在(0, 1)xxB_1內(nèi)無(wú)界，排除(A)、(B)；又f(x) = x在(0, 1)內(nèi)有界，但f(X)：在(0, 1)內(nèi)2*'x無(wú)界，排除(D).故應(yīng)選(C).(12)設(shè)矩陣A= j)3 3

10、滿足A = AT，其中A是A的伴隨矩陣，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣假設(shè)an,a12,a13為三個(gè)相等的正數(shù)，那么a為(31廠(A)(B)3.(C)-.(D),3. A 3 3【分析】 題設(shè)與A的伴隨矩陣有關(guān)，一般聯(lián)想到用行列展開定理和相應(yīng)公式：AA* 二 A*A = AE.* * *【詳解】由A = A及AA = A A = |AE ,有a = Aj，i，j = 1,2,3,其中Aj為aq的23代數(shù)余子式，且AAT=AEn A =|A n|A=0或A =1故正確選項(xiàng)3：'1/' 2，那么 >1 ,而|A -anAn'O12A12a3Ai3二 3a 121- 0,于是 A

11、=1 ,且a11為(A).(13)設(shè)'1,、2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為A(1 2 )線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是(A)=0.(B)2=0.(C) =0.(D)2=0.【分析】討論一組抽象向量的線性無(wú)關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可【詳解】方法一：令k/kzAG、2) =0，那么由于1,2線性無(wú)關(guān)，于是有k +k2 九=0, k2>-2 =0.當(dāng)2=0時(shí)，顯然有& =0, k? =0，此時(shí), AC i叱2線性無(wú)關(guān)；反過(guò)來(lái),假設(shè)r , A“ 心2線性無(wú)關(guān)，那么必然有2=0,否那么，一:冷與A_：冷卜篇2= '冷線性相關(guān), 故應(yīng)選B.方法二：由于%,

12、理旳 +a2 =%，鮎8 + ¥-2G2 =,02 I 、1，可見(jiàn)：1， A1卜二2線性無(wú)關(guān)的充要條件是二2=0.故應(yīng)選D.11(B)(20- 如(16),20 S(16).4411(20- t°.1(15),20t°.1(15).44C 2 214設(shè)一批零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布NJ,二，其中，二 均未知.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，測(cè)得樣本均值 x二20cm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s =1cm，那么的置信度為 0.90的置信區(qū)間是11(A)(20 -：t 0.050.05 (16).4 411(C)(200.05 (15).(D)44【分析】 總體方差未知，求期望的區(qū)間估計(jì)，用

13、統(tǒng)計(jì)量:xt(n_ 1).【詳解】由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知， tn -1，故的置信度為0.90的、 - 1 置信區(qū)間是(x t-.(n -1),x 'Jn 21 11仁(n 1)，即(20-一鮎.05(15),20 鮎心。5).故、n 244應(yīng)選C.三、解答題此題共9小題,15此題總分值8分1 + x 1求lim 丄三-丄.X0 1 - e x【分析】-:"型未定式,總分值94分.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.,x1【詳解】lim( x ) x) 1 ex一般先通分，再用羅必塔法那么x+x2_1+ep=limxx 50x1 -e 所以16此題總分值8分設(shè)fu具有二

14、階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且【分析】【詳解】先求出二階偏導(dǎo)數(shù),由條件可得g =；x.x2:yr2g-2y-2二 g_y_2 x2y3 x丄2彳丄一xx + x 1 +e=lim廠x刃x2=加2xJ02x= lim 2 ex p 2g(x, y)=f丄yfr，求x y再代入相應(yīng)表達(dá)式即可2f C)珞 f (xx x y-22: g -y -x17此題總分值x9 分)f (-)y2x+ y y2x3y2 .：2gf 2:Xf0f C)x-心.y二(x, y)0 乞 x E 1,0 乞 y 乞 1 Ux2+y2D被積函數(shù)含有絕對(duì)值,計(jì)算二重積分【分析】分即可.應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積【詳解】

15、記 D1 =( x, y) x2 y2 乞 1,(x, y) D，2D2 =( x, y)xy2 i,(x,y) D，是x y -1d二二 (x y - 1)dxdy 亠 ii(x y -1)dxdyDiD2兀1= -0 (r2 _1)rdr 亠 1 i(x2y2-1)dxdy ! (x2y2-1)dxdyDDi二+ 'dx '(x280 o'2 - 1y -1)dy - mJT 1-1)rdr =4318此題總分值9分00 1求幕級(jí)數(shù)一11x2n在區(qū)間-1,1內(nèi)的和函數(shù)ni 2n +1S(x).【分析】幕級(jí)數(shù)求和函數(shù)一般采用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分, 幕級(jí)數(shù)展開式，【詳解】

16、轉(zhuǎn)化為幾何級(jí)數(shù)或函數(shù)的從而到達(dá)求和的目的設(shè)1S(x)(2TT1)x2n，旳 1'Wk"O0S2 (x)七'2nx ，n 4S(x) = S,(x) -S2(x)，x(-1,1).由于QOS2(x)八 x2nn =1QO(xS (x)八 xn=12n2 ,x (-1,1), -x因此xSMx) = 0dt1 -t2丄4，21 -x又由于1 , 1 xIn2x 1 -x0,X £1,X = 0.所以S(x) = 3(x) - S2(x)二Fln1xI 0,19此題總分值8分設(shè) f(x),g(x)在0,1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且 f(0)=0, f (x) _ 0 , g

17、 (x) _ 0 .證明：對(duì)任何 a 0,1,有a10g(x)f (x)dx(x)g(x)dx_f(a)g(1).【分析】可用參數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積函數(shù)的形式，通過(guò)分部積分討論.【詳解】方法一：設(shè)x1F(x) = 0 g(t)f (t)dt 0 f(t)g (t)dt - f (x)g(1)，那么F(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且F (x)二 g(x)f (x)- f (x)g(1) = f (x)g(x) - g(1)，由于x 0,1時(shí)，f (x) _0,g (x) _ 0，因此F (x)乞0，即F(x)在0，1上單調(diào)遞減.注意到1 1F(1)0g(t)f (t)dt &

18、#176;f(t)g (t)dt-f(1)g (1)，1 1 1 1而 0 g(t)(t)dt = 0 g(t)df (tg(t)f(t) 0 f(t)gt)dt1= f(1)g(1)- .0f(t)g (t)dt，故 F(1)=0.因此X 0,1時(shí)，F(xiàn) (x) 一 0 ,由此可得對(duì)任何a 0,1，有a10g(x)f (x)dx 0f(x)g(x)dxf(a)g(1).方法a a0- 0 f(x)g (x)dxa0 g(x)f (x)dx = g(x)f(x)a=f (a)g(a) - 0 f (x)g (x)dx，a10g(x)f (x)dx 0f(x)g (x)dxa1=f (a)g(a)

19、 - 0 f (x)g (x)dx 0 f(x)g (x)dx1f (a)g(a) a f (x)g (x)dx.由于0,1時(shí)，g (x) 一0,因此f (x)g (x) 一 f (a)g (x)，x a,1，1 10 f (x)g (x)dx 一 0 f (a)g (x)d f (a)g(1) - g(a)，從而a10 g(x) f lx)dx+ 10 f (x)g'(x)dx-f(a)g(a) f (a)g(1) - g(a)二 f(a)g(1).(20) (此題總分值13分) 齊次線性方程組| x1 2x2 3x3 二 0,(i) 2x-i 3x2 5x3 = 0, x1 x2

20、ax3 二 0,和Xi +bx2 +CX3 =0,(ii )丿22x<| +b x2 +(c+1)x3 = 0,同解，求a,b, c的值.【分析】 方程組ii顯然有無(wú)窮多解，于是方程組i也有無(wú)窮多解，從而可確定a,這樣先求出i的通解，再代入方程組ii確定b,c即可.ii有無(wú)窮多解【詳解】方程組ii的未知量個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)，故方程組方程組因?yàn)榉匠探M門與ii同解，所以方程組i的系數(shù)矩陣的秩小于3.對(duì)方程組i的系數(shù)矩陣施以初等行變換31 _1從而a=2.此時(shí)，方程組的系數(shù)矩陣可化為1 231012 35 t011112一.000一故-1,-1,1丁是方程組i的一個(gè)根底解系將 - -1,x2 -

21、 -1, x3 =1代入方程組ii可得b = 1, c = 2 或 b = 0, c = 1.當(dāng)b =1,c =2時(shí)，對(duì)方程組ii的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有顯然此時(shí)方程組i 與ii同解.當(dāng)b =0,c =1時(shí)，對(duì)方程組ii的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有；101；101【202一衛(wèi)00一顯然此時(shí)方程組i 與ii的解不相同綜上所述，當(dāng)a=2,b=1,c=2時(shí)，方程組門與ii同解21此題總分值13分A c設(shè)D=| T為正定矩陣，其中 A,B分別為m階，n階對(duì)稱矩陣，C為m江n矩陣.CTB 一I計(jì)算ptdp，其中PEo-AJCEnII利用I的結(jié)果判斷矩陣B _CtAC是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論【分

22、析】第一局部直接利用分塊矩陣的乘法即可；第二局部是討論抽象矩陣的正定性,般用定義【詳解】1因PTEm= !-CtAaolEn 一，有rT fEmol_ACEm A廿P DP = | T-ctaEn 一CTB_打En 一_AC1,Em一-AC 1o B_CTa4c_En -Ao1o B-CtA°CII矩陣B -CtAC是正定矩陣由I的結(jié)果可知，矩陣D合同于矩陣A oMT4|to B-CtA，C又D為正定矩陣，可知矩陣M為正定矩陣.因矩陣M為對(duì)稱矩陣，故B-CtA'C為對(duì)稱矩陣.對(duì)X =0,0，,0T及任意的丫 =(%,y2, ,yn)T = 0，有(XT,YT)AoB -CtA

23、C八丫-Yt(CtA4C)Y 0.故 b-cta*c 為正定矩陣22此題總分值13分設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)4 0 < x £ 1,0 < y V 2x, ：0,其他.求：(I)(x,y)的邊緣概率密度f(wàn)X (x), fY(y);(II) Z =2X -Y 的概率密度 fz(z).(III ) PY 豈 1 X 豈丄.2 2【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度；直接用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】(I)關(guān)于X的邊緣概率密度 2x尹dv 0 丈 x <1,fx(xX 打f(X,y)dy 屮 J 其他.2x, 0 £ X £1,：0,其他.關(guān)于Y的邊緣概率密度1七c|ydx,0 c y c 2,fY(y)M f (x,y)dx 2甘他 0其他.1 _ A 0 ： y ： 2, .02'其他.(II)令 FZ(z)二 PZ 乞 z二 P2X -Y < z,1)當(dāng) z ：0時(shí)，F(xiàn)Z(z)二 P2X -丫 z =0 ;2) 當(dāng) 0Ez：2 時(shí)，F(xiàn)z(z)二 P2X -丫 乞 z1 2=Z - z ;43) 當(dāng) z2 時(shí)，F(xiàn)Z(z