第1章 §3 柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系

1、.§3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.理解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫(huà)空間中點(diǎn)的位置的方法.重點(diǎn)2.理解柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的互化關(guān)系與公式.重點(diǎn)3.體會(huì)空間直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置的方法的區(qū)別.易錯(cuò)易混點(diǎn)根底·初探教材整理1柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.柱坐標(biāo)系如圖1­3­1，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.設(shè)Mx，y，z為空間一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)M在xOy平面上的投影點(diǎn)P的極坐標(biāo)為r，那么這樣的三個(gè)數(shù)r，z構(gòu)成的有序數(shù)組r，z就叫作點(diǎn)M的柱坐標(biāo)，這里規(guī)定r，z的變化范圍為0r，02，z.圖1­3­1特別地，r常數(shù)，表示的是以z軸為

2、軸的圓柱面；常數(shù)，表示的是過(guò)z軸的半平面；z常數(shù)，表示的是與xOy平面平行的平面.2.球坐標(biāo)系設(shè)Mx，y，z為空間一點(diǎn)，點(diǎn)M可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r，來(lái)確定，其中r為原點(diǎn)O到點(diǎn)M間的間隔 ，為有向線段與z軸正方向所夾的角，為從z軸正半軸看，x軸正半軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到有向線段的角，這里P為點(diǎn)M在xOy平面上的投影如圖1­3­2.這樣的三個(gè)數(shù)r，構(gòu)成的有序數(shù)組r，叫作點(diǎn)M的球坐標(biāo)，這里r，的變化范圍為0r<，0，02.圖1­3­2特別地，r常數(shù)，表示的是以原點(diǎn)為球心的球面；常數(shù)，表示的是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為軸的圓錐面；常數(shù)，表示的是過(guò)z軸的半平面.判

3、斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)都是有序數(shù)組，但意義不同.2在柱坐標(biāo)系Mr，z中，表示OM與y軸所成的角.3球坐標(biāo)中，r表示OM的長(zhǎng)度.【解析】1柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)都是有序數(shù)組，但意義不同.2×表示OM與x軸所成的角.3球坐標(biāo)中r表示OM的長(zhǎng)度.【答案】12×3教材整理2空間中點(diǎn)的坐標(biāo)之間的變換公式設(shè)空間一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為x，y，z，柱坐標(biāo)為r，z，球坐標(biāo)為r，那么空間直角坐標(biāo)柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系x，y，z填空：1柱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)是_.2球坐標(biāo)的直角坐標(biāo)是_.【解析】1x2cos 1，y2sin ，z1.所以的直角坐標(biāo)是1，1.2x4×sin 

4、5;cos ，y4×sin ×sin ，z4cos 2.的直角坐標(biāo)是，2.【答案】11, ，12， ，2質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型把點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)根據(jù)以下點(diǎn)的柱坐標(biāo)，分別求直角坐標(biāo).1；2.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為x，y，z.1r，z，1,3為所求.2r，z，1,1,5為所求.點(diǎn)r，z是三維空間坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面xOy內(nèi)實(shí)際為極坐標(biāo)系，且r0,02，在豎直方向上，z為任意實(shí)數(shù).化點(diǎn)的柱坐標(biāo)r，z為直角坐標(biāo)x，y，z，需要運(yùn)用公式轉(zhuǎn)化

5、為三角函數(shù)的求值與運(yùn)算即得.再練一題1.將以下各點(diǎn)的柱坐標(biāo)分別化為直角坐標(biāo).1；21，0.【解】設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為x，y，z，1r，z，1,1為所求.2r，z1，0，1,0,0為所求.把點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)把以下各點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).1；2.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為x，y，z，1r，1，1，為所求.2r，為所求.首先要明確點(diǎn)的球坐標(biāo)r，中角，的邊與數(shù)軸Oz，Ox的關(guān)系，注意各自的限定范圍，即0，02.化點(diǎn)的球坐標(biāo)r，為直角坐標(biāo)x，y，z，需要運(yùn)用公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運(yùn)算.再練一題2.將以下各點(diǎn)的球坐標(biāo)分別化為直角坐標(biāo).1；23，.【解】設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為x，y，z.1r

6、，為所求.2r，3，0,0，3為所求.探究共研型化點(diǎn)的坐標(biāo)為柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)探究1空間中點(diǎn)的坐標(biāo)有三種形式：直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)，它們各有何特點(diǎn)？【提示】設(shè)空間中點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為x，y，z，柱坐標(biāo)為r，z，球坐標(biāo)為r，它們都是有序數(shù)組，但意義不同.直角坐標(biāo)為三個(gè)實(shí)數(shù)；柱坐標(biāo)分別表示間隔 、角、實(shí)數(shù)；球坐標(biāo)分別表示間隔 、角、角.探究2在空間的柱坐標(biāo)系中，方程rr0r0為不等于0的常數(shù)，0，zz0分別表示什么圖形？ 【提示】在空間的柱坐標(biāo)系中，方程rr0表示中心軸為z軸，底半徑為r0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行挪動(dòng)而成的.方程0表示與zOx坐標(biāo)面成0角的半平面.方程zz0表示平行于xO

7、y坐標(biāo)面的平面，如下圖.常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面.正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，如圖1­3­3，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，以Ax為極軸，求點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)以及球坐標(biāo).圖1­3­3【精彩點(diǎn)撥】先求C1的直角坐標(biāo)，再根據(jù)柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，求得其柱坐標(biāo)、球坐標(biāo).【自主解答】點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為1,1,1.設(shè)點(diǎn)C1的柱坐標(biāo)為r，z，球坐標(biāo)為r，其中r0，r0,0，02.由公式及得及得及結(jié)合圖形，得，由cos 得tan .所以點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為1,1,1，柱坐標(biāo)為，球坐標(biāo)為，其

8、中tan ，0.化點(diǎn)M的直角坐標(biāo)x，y，z為柱坐標(biāo)r，z或球坐標(biāo)r，需要對(duì)公式以及進(jìn)展逆向變換，得到以及提醒：在由三角函數(shù)值求角時(shí)，要結(jié)合圖形確定角的范圍再求值.再練一題3.點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為，求M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的柱坐標(biāo).【解】M的直角坐標(biāo)為M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的直角坐標(biāo)為1，1，1.1，1，1的柱坐標(biāo)為：212122，.tan 1，又x<0，y<0，其柱坐標(biāo)為，M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱點(diǎn)的柱坐標(biāo)為.構(gòu)建·體系1.要刻畫(huà)繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的某氣象衛(wèi)星的位置，應(yīng)合適運(yùn)用A.極坐標(biāo)系B.空間直角坐標(biāo)系C.柱坐標(biāo)系D.球坐標(biāo)系【解析】由題意知D正確.【答案】D2.點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為1,0,1，那么

9、點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為A.1,1,0B.1,0,1C.0,1,1D.1,1,1【解析】由點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為1,0,1知，r1，0，z1，故xrcos 1，yrsin 0，z1，所以直角坐標(biāo)為1,0,1.【答案】B3.點(diǎn)A的球坐標(biāo)為，那么點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12990015】【解析】x3×sin ×cos 0，y3×sin ×sin 3，z2×cos 0，直角坐標(biāo)為0,3,0.【答案】0,3,04.設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為1，4，那么它的柱坐標(biāo)是_.【解析】r2，tan ，x>0，y<0，柱坐標(biāo)為.【答案】5.點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，點(diǎn)B的球坐標(biāo)為，求這兩個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo).【解】設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為x，y，z，那么xco