第1章 1.3 曲線的極坐標(biāo)方程+1.40圓的極坐標(biāo)方程

1、.1.3曲線的極坐標(biāo)方程1.4圓的極坐標(biāo)方程1.4.1圓心在極軸上且過極點(diǎn)的圓1.4.2圓心在點(diǎn)處且過極點(diǎn)的圓1.理解極坐標(biāo)方程的意義，理解曲線的極坐標(biāo)方程的求法.2.會(huì)進(jìn)展曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；理解簡(jiǎn)單圖形如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓表示的極坐標(biāo)方程.重點(diǎn)根底·初探1.曲線C的直角坐標(biāo)方程在給定的平面直角坐標(biāo)系下，假如二元方程Fx，y0滿足下面兩個(gè)條件，那么稱它為曲線C的方程：1曲線C上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都滿足方程；2所有合適方程的x，y所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線C上.2.曲線的極坐標(biāo)方程在給定的平面上的極坐標(biāo)系下，有一個(gè)二元方程F，0.假如曲線C是由極坐標(biāo)，滿足

2、方程的所有點(diǎn)組成的，那么稱此二元方程F，0為曲線C的極坐標(biāo)方程.3.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓r0<2圓心為r,0，半徑為r的圓2rcos 圓心為r，半徑為r的圓2rsin 0<過極點(diǎn)，傾斜角為的直線或過點(diǎn)a,0，與極軸垂直的直線cos a<<考慮·探究曲線的極坐標(biāo)方程是否唯一？【提示】由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，所以曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)有多種表示，曲線的極坐標(biāo)方程不唯一.自主·測(cè)評(píng)1.極坐標(biāo)方程R表示A.點(diǎn) B.線段C.圓D.直線【解析】當(dāng)0時(shí)，方程表示極角為的射線，當(dāng)<0時(shí)，方程表示上述射線的反向

3、延長(zhǎng)線.R，表示直線.【答案】D2.極坐標(biāo)方程100表示的圖形是A.兩個(gè)圓B.兩條直線C.一個(gè)圓和一條射線D.一條直線和一條射線【解析】由題設(shè)，得1，或，1表示圓，0表示一條射線.【答案】C3.直線和圓2cos 的位置關(guān)系為A.相離B.相切C.相交D.無法確定【解析】由2cos 知表示曲線圓心為1,0，半徑為1的圓.又過極點(diǎn)且與極軸垂直.直線與圓相切.【答案】B4.2019·廣州質(zhì)檢曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為cos 3，4cos 0,0<，那么曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_.【解析】由·cos 3，4cos ，得4cos2 3.又0<，那么cos >

4、0.cos ，故2.兩曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為2，.【答案】2，質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 類型一圓的極坐標(biāo)方程求圓心在C2，處并且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并判斷點(diǎn)2，sin是否在這個(gè)圓上.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62790005】【精彩點(diǎn)撥】解答此題先設(shè)圓上任意一點(diǎn)M，建立等式轉(zhuǎn)化為，的方程，化簡(jiǎn)可得，并檢驗(yàn)特殊點(diǎn).【嘗試解答】如圖，由題意知，圓經(jīng)過極點(diǎn)O，OA為其一條直徑，設(shè)M，為圓上除點(diǎn)O，A以外的任意一點(diǎn)，那么|OA|2r，連接AM，那么OMMA.在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos，4

5、sin ，經(jīng)歷證，點(diǎn)O0,0，A4，的坐標(biāo)滿足上式.滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為4sin .sin，4sin 4sin2，點(diǎn)2，sin在此圓上.1.求曲線的極坐標(biāo)方程通常有以下五個(gè)步驟：建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系此題無需作；在曲線上任取一點(diǎn)M，；根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件寫出等式；用極坐標(biāo)，表示上述等式，并化簡(jiǎn)得曲線的極坐標(biāo)方程；證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程.一般只要對(duì)特殊點(diǎn)加以檢驗(yàn)即可2.求曲線的極坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件，并進(jìn)展坐標(biāo)表示.再練一題1.在極坐標(biāo)系中，分別求方程.1圓心在極點(diǎn)，半徑為2的圓的極坐標(biāo)方程；2圓心為C2，半徑為2的圓的極坐標(biāo)方程.【解】1設(shè)M，為所求圓

6、上任意一點(diǎn).結(jié)合圖形，得|OM|2.2.0<2.2設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)M，結(jié)合圖形.在RtOAM中，OMA90°.AOM，|OA|4.cosAOM，OMOA·cosAOM.即4cos，故4cos 為所求.類型二直線或射線的極坐標(biāo)方程求過點(diǎn)A1,0，且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程.【精彩點(diǎn)撥】畫出草圖設(shè)點(diǎn)M，是直線上的任意一點(diǎn)建立關(guān)于，的方程檢驗(yàn)【嘗試解答】法一設(shè)M，為直線上除點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn).那么xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，故sin，即sincos cossin ，化簡(jiǎn)得cos sin 1，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)A1,0的坐標(biāo)合適上述方程，所以滿足條件的直線

7、的極坐標(biāo)方程為cos sin 1，其中，0<0和<<20.法二以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.直線的斜率ktan1，過點(diǎn)A1,0的直線方程為yx1.將ysin ，xcos 代入上式，得sin cos 1，cos sin 1，其中，0<0和<<20.法一通過運(yùn)用正弦定理解三角形建立了動(dòng)點(diǎn)M所滿足的等式，從而集中條件建立了以，為未知數(shù)的方程；法二先求出直線的直角坐標(biāo)方程，然后通過直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式間接得解，過渡自然，視角新穎，不僅優(yōu)化了思維方式，而且簡(jiǎn)化理解題過程.再練一題2.假設(shè)本例中條件不變，如何求以A為端點(diǎn)且在極軸上方

8、的射線的極坐標(biāo)方程？【解】由題意，設(shè)M，為射線上任意一點(diǎn)，根據(jù)例題可知，sin，化簡(jiǎn)得cos sin 1.經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)A1,0的坐標(biāo)合適上述方程.因此，以A為端點(diǎn)且在極軸上方的射線的極坐標(biāo)方程為cos sin 1其中0,0<.類型三極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化在極坐標(biāo)系，0<2中，曲線2sin 與cos 1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_.【精彩點(diǎn)撥】著眼點(diǎn)【嘗試解答】曲線2sin 化為：x2y22y，即x2y121，又cos 1化為x1.聯(lián)立得交點(diǎn)1,1.交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，.【答案】，1.1進(jìn)展極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan x0；2對(duì)

9、方程進(jìn)展合理變形，并注重公式的正向、逆向與變形使用.2.此題也可消去，由二倍角公式求，進(jìn)而求出極徑.再練一題3.假如將例題中的曲線方程改為“曲線cos sin 1與sin cos 1，試求曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo).【解】曲線cos sin 1化為直角坐標(biāo)方程xy1，曲線sin cos 1化為直角坐標(biāo)方程yx1.兩直線xy1與yx1的交點(diǎn)為0,1，交點(diǎn)的極坐標(biāo)為1，.類型四極坐標(biāo)方程的應(yīng)用從極點(diǎn)O作直線與另一直線l：cos 4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使OM·OP12.1求點(diǎn)P的軌跡方程；2設(shè)R為l上的任意一點(diǎn)，試求|RP|的最小值.【精彩點(diǎn)撥】建立點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程，完成直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)方

10、程的互化，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求|RP|的最小值.【嘗試解答】1設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，M的極坐標(biāo)為0，那么012.0cos 4，3cos 即為所求的軌跡方程.2將3cos 化為直角坐標(biāo)方程，得x2y23x，即x2y22，知P的軌跡是以，0為圓心，半徑為的圓.直線l的直線坐標(biāo)方程是x4.結(jié)合圖形易得|RP|的最小值為1.1.用極坐標(biāo)法可使幾何中的一些問題得出很直接、簡(jiǎn)單的解法.當(dāng)然，因?yàn)榻ㄏ档牟煌€的極坐標(biāo)方程也會(huì)不同.2.解題時(shí)關(guān)鍵是極坐標(biāo)要選取適當(dāng)，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)時(shí)也容易一些.再練一題4.過極點(diǎn)O作圓C：8cos 的弦ON，求ON的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解】法一如圖，圓心C4,0，半徑r|OC|4，連接CM.M為弦ON的中點(diǎn)，CMON，故M在以O(shè)C為半徑的圓上.所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是4cos .法二設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)是，N1，1.N點(diǎn)在圓8cos 上，18cos 1.M是ON的中點(diǎn)，將它代入式得28cos ，故M的軌跡方程是4cos .真題鏈接賞析教材P16練習(xí)T2把圓的極坐標(biāo)方程sin 化為直角坐標(biāo)方程，并說明圓心和半徑.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：x12y221，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.1求C1，C2的極坐標(biāo)方程；2假設(shè)直線C3的極坐標(biāo)方程