第1章 2 第2課時 排列的應用

1、.第2課時排列的應用1進一步加深對排列概念的理解重點2掌握幾種有限制條件的排列問題的處理方法，能應用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題難點根底·初探教材整理排列的綜合應用閱讀教材P10“例2“例3“例4部分，完成以下問題1解簡單的排列應用題的根本思想2解簡單的排列應用題，首先必須認真分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有順序假如是的話，再進一步分析，這里n個不同的元素指的是什么，以及從n個不同的元素中任取m個元素的每一種排列對應的是什么事情，然后才能運用排列數(shù)公式求解1用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為_【解析】從2,4中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，有2種取法；再

2、從其余四個數(shù)中取出三個數(shù)排在前三位，有A種排法由分步乘法計數(shù)原理知，這樣的四位偶數(shù)共有2×A48個【答案】482從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的活動假設其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯活動，那么選派方案共有_種【解析】翻譯活動是特殊位置優(yōu)先考慮，有4種選法除甲、乙外，其余活動共有A種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×A240種選派方案【答案】240質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型無限制條件的排列問題1有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，

3、共有多少種不同的送法？2有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？【精彩點撥】1從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；2給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本，各人得到哪本書互相之間沒有聯(lián)絡，要用分步乘法計數(shù)原理進展計算【自主解答】1從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個不同元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是A5×4×360，所以共有60種不同的送法2由于有5種不同的書，送給每個同學的每本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×

4、;5×5125，所以共有125種不同的送法1沒有限制的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制，這一類問題相對簡單，分清元素和位置即可2對于不屬于排列的計數(shù)問題，注意利用計數(shù)原理求解再練一題11將3張電影票分給10人中的3人，每人1張，共有_種不同的分法2從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員，文娛委員與體育委員，不同的選法共有_種【解析】1問題相當于從10張電影票中選出3張排列起來，這是一個排列問題故不同分法的種數(shù)為A10×9×8720.2從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員，文娛委員與體育委員，應有A5×4

5、5;360.【答案】1720260排隊問題7名師生站成一排照相紀念，其中老師1人，男學生4人，女學生2人，在以下情況下，各有多少種不同站法？1老師甲必須站在中間或兩端；22名女生必須相鄰而站；34名男生互不相鄰；4假設4名男生身高都不等，按從高到低的順序站【精彩點撥】解決此類問題的方法主要按“優(yōu)先原那么，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先考慮特殊位子，假設一個位子安排的元素影響另一個位子的元素個數(shù)時，應分類討論【自主解答】1先考慮甲有A種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法總數(shù)為：AA2 160種22名女生站在一起有站法A種，視為一種元素與其余5人全排，有A種排法，所以有不同站法A·A1 440

6、種3先站老師和女生，有站法A種，再在老師和女生站位的間隔含兩端處插入男生，每空一人，那么插入方法A種，所以共有不同站法A·A144種47人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有A種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法2·420種解決排隊問題時應注意的問題1對于相鄰問題可以采用捆綁的方法，將相鄰的元素作為一個整體進展排列，但是要注意這個整體內(nèi)部也要進展排列2對于不相鄰問題可以采用插空的方法，先排沒有限制條件的元素，再將不相鄰的元素以插空的方式進展排列3對于順序給定的元素的排列問題只需考慮其余元素的排列即可4“在與“不在的有限制條件的排列問題，既可以從元素

7、入手，也可以從位置入手，原那么是誰“特殊誰優(yōu)先再練一題23名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排隊方案有多少種1甲不站中間，也不站兩端；2甲、乙兩人必須站兩端【解】1分兩步，首先考慮兩端及中間位置，從除甲外的6人中選3人排列，有A種站法，然后再排其他位置，有A種站法，所以共有A·A2 880種不同站法2甲、乙為特殊元素，先將他們排在兩頭位置，有A種站法，其余5人全排列，有A種站法故共有A·A240種不同站法探究共研型數(shù)字排列問題探究1偶數(shù)的個位數(shù)字有何特征？從1,2,3,4,5中任取兩個不同數(shù)字能組成多少個不同的偶數(shù)？【提示】偶數(shù)的個位數(shù)字一定能被2整除先從2

8、,4中任取一個數(shù)字排在個位，共2種不同的排列，再從剩余數(shù)字中任取一個數(shù)字排在十位，共4種排法，故從1,2,3,4,5中任取兩個數(shù)字，能組成2×48種不同的偶數(shù)探究2在一個三位數(shù)中，身居百位的數(shù)字x能是0嗎？假如在09這十個數(shù)字中任取不同的三個數(shù)字組成一個三位數(shù)，如何排才能使百位數(shù)字不為0?【提示】在一個三位數(shù)中，百位數(shù)字不能為0，在詳細排數(shù)時，從元素0的角度出發(fā)，可先將0排在十位或個位的一個位置，其余數(shù)字可排百位、個位或十位位置；從“位置角度出發(fā)可先從19這9個數(shù)字中任取一個數(shù)字排百位，然后再從剩余9個數(shù)字中任取兩個數(shù)字排十位與個位位置探究3如何從26,17,31,48,19中找出大

9、于25的數(shù)？【提示】先找出十位數(shù)字比2大的數(shù)，再找出十位數(shù)字是2，個位數(shù)字比5大的數(shù)即可用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的1六位奇數(shù)？2個位數(shù)字不是5的六位數(shù)？【精彩點撥】這是一道有限制條件的排列問題，每一問均應優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排的原那么另外，還可以用間接法求解【自主解答】1法一：從特殊位置入手直接法分三步完成，第一步先填個位，有A種填法，第二步再填十萬位，有A種填法，第三步填其他位，有A種填法，故共有AAA288個六位奇數(shù)法二：從特殊元素入手直接法0不在兩端有A種排法，從1,3,5中任選一個排在個位有A種排法，其他各位上用剩下的元素做全

10、排列有A種排法，故共有AAA288個六位奇數(shù)法三：排除法6個數(shù)字的全排列有A個，0,2,4在個位上的六位數(shù)為3A個，1,3,5在個位上，0在十萬位上的六位數(shù)有3A個，故滿足條件的六位奇數(shù)共有A3A3A288個2法一：排除法0在十萬位的六位數(shù)或5在個位的六位數(shù)都有A個，0在十萬位且5在個位的六位數(shù)有A個故符合題意的六位數(shù)共有A2AA504個法二：直接法十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同因此需分兩類：第一類：當個位排0時，符合條件的六位數(shù)有A個第二類：當個位不排0時，符合條件的六位數(shù)有AAA個故共有符合題意的六位數(shù)AAAA504個解排數(shù)字問題常見的解題方法1“兩優(yōu)先排法：特殊元素優(yōu)先排

11、列，特殊位置優(yōu)先填充如“0不排“首位2“分類討論法：按照某一標準將排列分成幾類，然后按照分類加法計數(shù)原理進展，要注意以下兩點：一是分類標準必須恰當；二是分類過程要做到不重不漏3“排除法：全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù)4“位置分析法：按位置逐步討論，把要求數(shù)字的每個數(shù)位排好再練一題3用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)取不同的數(shù)字組數(shù)1能組成多少個無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？2能組成多少個無重復數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)？3假設所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列an，那么240 135是第幾項【解】1符合要求的五位數(shù)可分為兩類：第一類，個位上的數(shù)字是0的五位數(shù)，有A個；第二類，個位上的數(shù)

12、字是5的五位數(shù)，有A·A個故滿足條件的五位數(shù)的個數(shù)共有AA·A216個2符合要求的比1 325大的四位數(shù)可分為三類：第一類，形如2，3，4，5，共A·A個；第二類，形如14，15，共有A·A個；第三類，形如134，135，共有A·A個由分類加法計數(shù)原理知，無重復數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)共有：A·AA·AA·A270個3由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有A個數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個有3A個數(shù)，240 135的項數(shù)是A3A1193，即240 135是數(shù)列的第193項構(gòu)建·體

13、系16名學生排成兩排，每排3人，那么不同的排法種數(shù)為A36B120C720D240【解析】由于6人排兩排，沒有什么特殊要求的元素，故排法種數(shù)為A720.【答案】C2要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有A1 440種B960種C720種D480種【解析】從5名志愿者中選2人排在兩端有A種排法，2位老人的排法有A種，其余3人和老人排有A種排法，共有AAA960種不同的排法【答案】B3用1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字排列組成一個七位數(shù)，要求在其偶數(shù)位上必須是偶數(shù)，奇數(shù)位上必須是奇數(shù)，那么這樣的七位數(shù)有_個. 【導學號：62690010】

14、【解析】先排奇數(shù)位有A種，再排偶數(shù)位有A種，故共有AA144個【答案】1444兩家夫婦各帶一個小孩一起去公園玩耍，購票后排隊依次入園為平安起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，那么這6人的入園順序排法種數(shù)為_【解析】分3步進展分析，先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有A2種排法，兩個小孩一定要排在一起，將其看成一個元素，考慮其順序有A2種排法，將兩個小孩看作一個元素與兩位媽媽進展全排列，有A6種排法那么共有2×2×624種排法【答案】245從6名短跑運發(fā)動中選出4人參加4×100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有多少種參賽方案？【解】法一：從運發(fā)動元素的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分成以下兩類：第1類，甲不參賽，有A種參賽方案；