第1章 1.2.2+1.2.3　簡單復合函數的導數

1、.1.2.2函數的和、差、積、商的導數1.2.3簡單復合函數的導數1理解導數的四那么運算法那么，能運用運算法那么求函數的導數重點2能求簡單的復合函數僅限于形如faxb的復合函數的導數難點3積函數、商函數求導公式的正確運用易錯點根底初探教材整理1導數的四那么運算法那么閱讀教材P21，完成以下問題1導數的四那么運算法那么設兩個函數fx，gx可導，那么和的導數fxgxfxgx差的導數fxgxfxgx積的導數CfxCfxC為常數fxgxfxgxfxgx商的導數gx0判斷正誤：1假設fx2x，那么fxx2.2函數y2sin xcos x，那么y2cos xsin x3函數fxx1x2，那么fx2x1.【

2、解析】1由fx2x，那么fxx2C.2由y2sin xcos x，那么y2sin xcos x2cos xsin x.3由fxx1x2x23x2，所以fx2x3.【答案】123教材整理2復合函數的導數閱讀教材P23，完成以下問題復合函數的概念由根本初等函數復合而成的函數，稱為復合函數復合函數的求導法那么假設yfu，uaxb，那么yxyuux，即yxyua1判斷正誤：1函數fxxex的導數是fxexx12函數fxsinx的導數為fxcos x【答案】122函數fx2xa2，且f220，那么a_.【解析】fx22xa2xa42xa，f244a20，a1.【答案】1質疑手記預習完成后，請將你的疑問記

3、錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型利用導數的運算法那么求導數1函數fx的導函數為fx，且滿足fx2xfeln xe為自然對數的底數，那么fe_.2求以下函數的導數：fxx2x3；fxlg x3x；fx；fx.【自主解答】1fx2fe，那么fe2fe.fe.【答案】2fxx2x6，fxx2x62x1.fxlg x3x3xln 3.fx，fx.fx1，fx1.1解答此類問題時常因導數的四那么運算法那么不熟而失分2對一個函數求導時，要緊扣導數運算法那么，聯絡根本初等函數的導數公式，當不易直接應用導數公式時，應先對函數進展化簡恒等變形，然后求導

4、這樣可以減少運算量，優(yōu)化解題過程再練一題1求以下函數的導數1yx2x2；2y3xex2xe；3y；4yx2sin cos.【自主解答】1y2x2x3.2yln 313ex2xln 2.3y.4yx2sincosx2sin x，y2xcos x.求簡單復合函數的導數求以下函數的導數1ye2x1；2y；3y5log21x；4ysin3xsin 3x.【精彩點撥】先分析函數是怎樣復合而成的，找出中間變量，分層求導【自主解答】1函數ye2x1可看作函數yeu和u2x1的復合函數，yxyuuxeu2x12eu2e2x1.2函數y可看作函數yu3和u2x1的復合函數，yxyuuxu32x16u462x14

5、.3函數y5log21x可看作函數y5log2u和u1x的復合函數，yxyuux5log2u1x.4函數ysin3x可看作函數yu3和usin x的復合函數，函數ysin 3x可看作函數ysin v和v3x的復合函數yxu3sin xsin v3x3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.1解答此類問題常犯兩個錯誤1不能正確區(qū)分所給函數是否為復合函數；2假設是復合函數，不能正確判斷它是由哪些根本初等函數復合而成2復合函數求導的步驟再練一題2求以下函數的導數1y；2ylog22x21【解】1y1.設y1，u1x，那么yyuux11x1.2設ylog2u，u2x21，那么

6、yyuux4x.探究共研型導數法那么的綜合應用探究試說明復合函數y3x22的導函數是如何得出的？【提示】函數y3x22可看出函數yu2和u3x2的復合函數，yxyuuxu23x26u63x2函數fxax22ln2xaR，設曲線yfx在點1，f1處的切線為l，假設直線l與圓C：x2y2相切，務實數a的值【精彩點撥】求出導數f1，寫出切線方程，由直線l與圓C相切，建立方程求解【自主解答】因為f1a，fx2axx2，所以f12a2，所以切線l的方程為2a1xy2a0.因為直線l與圓相切，所以圓心到直線l的間隔 等于半徑，即d，解得a.關于復合函數導數的應用及其解決方法1應用：復合函數的導數應用主要有

7、：求在某點處的切線方程，切線的方程或斜率求切點，以及涉及切線問題的綜合應用2方法：先求出復合函數的導數，假設切點那么求出切線斜率、切線方程；假設切點未知，那么先設出切點，用切點表示切線斜率，再根據條件求切點坐標總之，在解決此類問題時切點起著至關重要的作用再練一題3假設將上例中條件改為“直線l與圓C：x2y2相交，求a的取值范圍【解】由例題知，直線l的方程為2a1xy2a0.直線l與圓C：x2y2相交，圓心到直線l的間隔 小于半徑即d.構建體系1函數y2 0178x3的導數y_. 【導學號：01580009】【解析】y32 0178x22 0178x32 0178x28242 0178x2.【答

8、案】242 0178x22函數yx2cos 2x的導數為_【解析】yx2cos 2xx2cos 2x2xcos 2xx2sin 2x2x2xcos 2x2x2sin 2x.3fxln3x1，那么f1_.【解析】fx3x1，f1.【答案】4設曲線yeax在點0,1處的切線與直線x2y10垂直，那么a_.【解析】令yfx，那么曲線yeax在點0,1處的切線的斜率為f0，又切線與直線x2y10垂直，所以f02.因為fxeax，所以fxeaxeaxaxaeax，所以f0ae0a，故a2.【答案】25求以下函數的導數1ycosx3；2y2x13；3ye2x1.【解】1函數ycosx3可以看做函數ycos u和ux3的復合函數，由復合函數的求導法那么可得yxyuuxc