第1章 1.2 極坐標系

1、.1.2極坐標系1.2.1平面上點的極坐標1.2.2極坐標與直角坐標的關系1.理解極坐標系的意義，能用極坐標系刻畫點的位置.難點2.理解極坐標系與直角坐標系的聯(lián)絡，能進展極坐標與直角坐標的互化.重點根底·初探1.平面上點的極坐標1極坐標系：在平面上取一個定點O，由O點出發(fā)的一條射線Ox，一個長度單位及計算角度的正方向通常取逆時針方向，合稱為一個極坐標系，O點稱為極點，Ox稱為極軸.2極坐標：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度和從Ox到OM的角度來刻畫.這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對，稱為點M的極坐標.稱為極徑，稱為極角.2.點與極坐標的關系，和，2k代表同一個點，其中k為整數(shù).特別地，

2、極點O的坐標為0，R.假如限定0，0<2，那么除極點外，平面上的點就與它的極坐標構(gòu)成一一對應關系.3.極坐標與直角坐標的關系1互化背景：設在平面上取定了一個極坐標系，以極軸作為直角坐標系的x軸的正半軸，以的射線作為y軸的正半軸，以極點為坐標原點，長度單位不變，建立一個直角坐標系如圖1­2­1所示.圖1­2­12互化公式：設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是x，y，極坐標是，于是極坐標與直角坐標的互化公式如表：點M直角坐標x，y極坐標，互化公式2x2y2tan x0考慮·探究1.極坐標系與平面直角坐標系有什么區(qū)別和聯(lián)絡？【導學號：62790

3、002】【提示】極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景，而直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應的關系，而極坐標系那么不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系，用來刻畫平面內(nèi)點的位置.2.極坐標系所在平面內(nèi)的點與極坐標是否能建立一一對應關系？【提示】建立極坐標系后，給定數(shù)對，就可以在平面內(nèi)惟一確定一點M；反過來，給定平面內(nèi)一點M，它的極坐標卻不是惟一的.所以極坐標系所在平面內(nèi)的點與極坐標不能建立一一對應關系.3.聯(lián)絡點的極坐標與直角坐標的互化公式的紐帶是什么？【提示】任意角的三角函數(shù)的定義及其根本關系式是聯(lián)絡點的極坐標與直角坐標的互化公式的紐帶.事

4、實上，假設>0，那么sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，2x2y2，tan .自主·測評1.極坐標系中，點M1,0關于極點的對稱點為A.1,0B.1，C.1，D.1,2【解析】，關于極點的對稱點為p，M1,0關于極點的對稱點為1，.【答案】C2.極坐標系中，到極點的間隔 等于到極軸的間隔 的點可以是A.1,0B.2，C.3，D.4，【答案】C3.點A的極坐標是2，那么點A的直角坐標為A.1，B.，1C.，1D.，1【解析】xcos 2cos，ysin 2sin1.【答案】C4.點M的直角坐標為0，那么點M的極坐標可以為A.，0B.0，C.，D.，【解析】，且，M的極

5、坐標為，.【答案】C質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 類型一確定極坐標系中點的坐標設點A2，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A關于極軸，直線l，極點的對稱點的極坐標限定>0，<.【精彩點撥】欲寫出點的極坐標，首先應確定和的值.【嘗試解答】如下圖，關于極軸的對稱點為B2，.關于直線l的對稱點為C2，.關于極點O的對稱點為D2，.四個點A，B，C，D都在以極點為圓心，2為半徑的圓上.1.點的極坐標不是惟一的，但假設限制>0,0<2，那么除極點外，點的極坐標是惟一確定的.2

6、.寫點的極坐標要注意順序：極徑在前，極角在后.再練一題1.在極坐標系中，B3，D3，試判斷點B，D的位置是否具有對稱性，并求出B，D關于極點的對稱點的極坐標限定>0，0,2.【解】由B3，D3，知|OB|OD|3，極角與的終邊關于極軸對稱.所以點B，D關于極軸對稱.設點B3，D3，關于極點的對稱點分別為E1，1，F(xiàn)2，2，且123.當0,2時，1，2，E3，F(xiàn)3，為所求.類型二將點的極坐標化為直角坐標寫出以下各點的直角坐標，并判斷所表示的點在第幾象限.12，；22，；32，.【精彩點撥】點的極坐標，點的直角坐標x，y斷定點所在象限.【嘗試解答】1由題意知x2cos2×1，y2s

7、in2×.點2，的直角坐標為1，是第三象限內(nèi)的點.2x2cos1，y2sin，點2，的直角坐標為1，是第三象限內(nèi)的點.3x2cos1，y2sin，點2，的直角坐標為1，是第四象限內(nèi)的點.1.點的極坐標與直角坐標的互化公式的三個前提條件：極點與直角坐標系的原點重合；極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合；兩種坐標系的長度單位一樣.2.將點的極坐標，化為點的直角坐標x，y時，運用到求角的正弦值和余弦值，純熟掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈敏運用三角恒等變換公式是關鍵.再練一題2.分別把以下點的極坐標化為直角坐標：12，；23，；3，.【解】1xcos 2cos，ysin 2sin1.點的極坐標2，

8、化為直角坐標為，1.2xcos 3cos0，ysin 3sin3.點的極坐標3，化為直角坐標為0,3.3xcos cos ，ysin sin 0，點的極坐標，化為直角坐標為，0.類型三將點的直角坐標化為極坐標分別把以下點的直角坐標化為極坐標限定0,0<2.12,2；2，.【精彩點撥】利用公式2x2y2，tan x0，但求角時，要注意點所在的象限.【嘗試解答】14，tan ，0,2，由于點2,2在第二象限.點的直角坐標2,2化為極坐標4，.22，tan ，0,2，由于點，在第四象限，所以.點的直角坐標，化為極坐標為2，.1.將直角坐標x，y化為極坐標，主要利用公式2x2y2，tan x0求

9、解.2.在0,2范圍內(nèi)，由tan x0求時，要根據(jù)直角坐標的符號特征判斷出點所在的象限.假如允許R，再根據(jù)終邊一樣的角的意義，表示為2kkZ即可.再練一題3.1“例3中，假如限定>0，R，分別求各點的極坐標；2假如點的直角坐標x，y滿足xy<0，那么在限定>0，R的情況下轉(zhuǎn)化為點的極坐標時，試探究的取值范圍.【解】1根據(jù)與角終邊一樣的角為2kkZ知，點的直角坐標化為極坐標>0，k分別如下：2,2的極坐標為4，2kkZ.，的極坐標為2，2kkZ.2由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0.所以x，y可能在第二象限或第四象限.把直角坐標x，y

10、化為極坐標，>0，R時，的取值范圍為2k，2k2k，22kkZ.類型四極坐標與直角坐標的綜合應用在極坐標系中，假如A2，B2，為等邊三角形ABC的兩個頂點，求頂點C的極坐標>0,0<2.【精彩點撥】解答此題可以先利用極坐標化為直角坐標，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點C的直角坐標，進而求出點C的極坐標.【嘗試解答】對于點A2，有2，x2cos，y2sin，那么A，.對于B2，有2，x2cos，y2sin.B，.設C點的坐標為x，y，由于ABC為等邊三角形，故|AB|BC|AC|4.有解之得或C點的坐標為，或，.2，tan 1，或.故點C的極坐標為2，或2，.1.本例綜合

11、考察了點的極坐標與直角坐標的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì).結(jié)合幾何圖形可知，點C的坐標有兩解，設出點的坐標尋求等量關系建立方程組求解是關鍵.2.假設設出C，利用余弦定理亦可求解，請讀者完成.再練一題4.本例中，假如點的極坐標仍為A2，B2，且ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點C的極坐標.【導學號：62790003】【解】對于點A2，直角坐標為，點B2，的直角坐標為，設點C的直角坐標為x，y，由題意得ACBC，且|AC|BC|，·0，即x，y·x，y0，x2y24.又|A|2|B|2，于是x2y2x2y2，yx代入，得x22，解得x±.或點C的直角坐標為，或，2，tan 1，或，點C的極坐標為2，或2，.真題鏈接賞析教材P10習題12T3把以下各點的直角坐標化為極坐標限定>0,0<2：A1,1，B0，2，