高中奧林匹克物理競賽解題方法九：估算法

1、高中奧林匹克物理競賽解題方法九、估算法方法簡介有些物理問題本身的結果,并不一定需要有一個很準確的答案,但是,往往需要我們對事物有一個預測的估計值;有些物理問題的提出,由于本身條件的限制,或者實驗中尚未觀察到必要的結果,使我們解決問題缺乏必要的已知條件,無法用常規(guī)的方法來求出物理問題的準確答案,采用“估算”的方法就能忽略次要因素,抓住問題的主要本質(zhì),充分應用物理知識進行快速數(shù)量級的計算.近幾年來,競賽試題中頻頻出現(xiàn)的各類估算題,的確是判斷學生思維能力的好題型.賽題精析例1 已知地球半徑約為6.4×106m ,又知月球繞地球的運動可近似看做勻速圓周運動,則可估算出月球到地心的距離約為 m

2、.(結果只何留一位有效數(shù)字 解析 因為月球繞地球的運動可近似看做勻速圓周運動,所以可根據(jù)月球所受的萬有引力提供月球做勻速圓周運動所需要的向心力及月球公轉(zhuǎn)周期求解此問題,也可根據(jù)地球上的光經(jīng)月球反射2秒后返回地球的知識估算. 根據(jù)運動定律及萬有引力定律得:r Tm rGMm 222(=g m Rm GM '='2由、兩式代入數(shù)據(jù)可得r =4.1×108m (其中T 是月球繞地球旋轉(zhuǎn)周期,T=30天例2 估算在室溫下,真空度達1.33×10-1Pa 時,容器內(nèi)空氣分子的平均距離.(取一位有效數(shù)字即可解析 要想求容器內(nèi)空氣分子的平均距離,則可以根據(jù)克拉珀龍方程求出

3、每個空氣分子所占的體積,由此即可求解. 取1摩爾空氣作為研究對象,視每個空氣分子所占的空間是以分子間的平均距離a 為邊長的立方體,每個分子處在立方體的中心.則每個空氣分子占據(jù)的空間的體積為30a V =根據(jù)克拉珀龍方程,1摩爾空氣占據(jù)的總體積V=RT/p=N 0V 0=N 03a所以空氣分子間平均距離30/p N RT a =,近似地取室溫T=300K ,代入數(shù)據(jù)可算得:分子間平均距離為:m a 5101-= 例3 密閉容器的氣體壓強為Pa p 210-=,溫度為27,估算其中分子的間距(保留一位有效數(shù)學字.解析 以密閉容器內(nèi)的一定量氣體為研究對象,選取標準狀況為該氣體的一個已知狀態(tài),根據(jù)理想

4、氣體狀態(tài)方程可求解.取1摩爾氣體作為研究對象,在標準狀態(tài)下為330104.22m V -=,所包含的分子數(shù)為N A =6.023×1023個.在題設條件下,設其體積為V ,則根據(jù)氣態(tài)方程:有TpV T V p =000每個分子所占的空間體積為ANV V =',分子間的距離為.10773m V d -='=例4 已知一密閉容器內(nèi)的氣體分子平均距離為m d 9103-=,溫度為27,試估算容器內(nèi)氣體的壓強多大?(保留一位有效數(shù)學 解析 要想估算容器內(nèi)氣體的壓強,則可根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程求解,其中選一個標準狀態(tài)為已知狀態(tài).一個分子占擾的體積為32731027m d V -=

5、',1摩爾分子占據(jù)的體積為V n V '=0 由TpV T V p =000,解得Pa p VT T V p 5000102=J ,試估算系統(tǒng)再達平衡后冰、水和水蒸氣的質(zhì)量.已知水的密度和冰的密度分別為1×103kg/m 3和0.9×103kg/m 3,冰在三相點時的升華熱L 升=2.83×106J/kg ,水在三相點的汽化熱L 汽=2.49×106J/kg. 解析 由題給數(shù)據(jù)可利用以下近似關系求得冰的熔化熱 L 熔=L 升-L 氣=0.34×106J/kg 因為緩緩加給系統(tǒng)的熱Q< L 熔,所以冰不能全部熔化,系統(tǒng)在物態(tài)

6、變化過程中始終是三態(tài)共存且接近平衡,因此系統(tǒng)的溫度和壓強均不變. 現(xiàn)在估算在題給溫度、壓強條件下水蒸氣的密度氣,用理想氣體狀態(tài)方程可得 ,/t t RT p =氣為水蒸氣的摩爾質(zhì)量代入數(shù)值Pa mmHg p K mol J R mol kg t 61058.4,/31.8,/10183=-得K T t 273=估算可得33/105m kg -氣在同樣的條件下,水的密度33/101m kg 水,冰的密度./109.033m kg 冰由此可知,水蒸氣的體積遠遠大于水和冰的體積之和,又由于冰熔化為水時體積變化不大,在總體積保持不變的條件下,完全可以認為物態(tài)變化過程中水蒸氣的體積不變,也就是再達到平衡

7、時,水蒸氣的質(zhì)量仍為1g ,物態(tài)變化過程幾乎完全是冰熔為水的過程. 設后來冰、水、水蒸氣的質(zhì)量分別為x 、y 、z ,則有 z =1g x +y =2g 根據(jù)能量守恒定律,有(1-x L 熔=Q 由式可得g z gy g例6 假想有一水平方向的勻強磁場,磁感強度B 很大,有一半徑為R ,厚度為d (R d << 的金屬圓盤在此磁場中豎直下落,盤面始 終位于豎直平面內(nèi)并與磁場方向平行,如圖291所示,若要使圓 盤在磁場中下落的加速度比沒有磁場時減小千分之一(不計空氣阻力, 試估算所需磁感強度的數(shù)值,假定金屬盤的電阻為零,并設金屬的密度 33/109m kg =,介電常數(shù)./10922

8、12m N C =-解析 當盤在磁場中下落速度為v 時,盤中的感應電動勢E=Bvd ,在感應電動勢的作用下,圓盤兩個表面上將帶有等量異號的電荷(±Q 因為盤電阻為零,所以電荷(±Q 引起的兩表面間的電壓U 等于盤中感應電動勢的數(shù)值,即U=Bvd . 圓盤上的Q 與U 之間的關系跟一個同樣尺寸的帶電電容器上的Q 與U 的關系相同,此電容器的電容C=d R d S /2=,故圓盤表面所帶電量Q=CU=.2Bv R 在盤下落過程中,盤的速度v 隨時間增大,盤面上的電量Q 也隨時間增大,由此可求出盤中電流I =Q /t =t v B R /2,磁場對此電流的作用力F 的方向向上,大

9、小為F =BId =t v B R /2.若盤的質(zhì)量為m ,則盤受到的力為F 和重力mg ,盤的加速度t v a =/可由下式求出 tv m ma F mg =-由此得盤的加速度dB R m mg a 22+=按題意g g a 1000/1(-=,由此得100012=B所以磁感應強度631010-=B針對訓練1.估算地球大氣總質(zhì)量M 和部分了數(shù)N .kg/m 3,原子量為64.通過估算可知銅中每個銅原子所占的體積為( A .7×10-6m 3 B .1×10-29m 3 C .1×10-26m 3 D .8×10-24m 3 3.只要知道下列哪一組物理量,就可以估算出氣體中分子間的平均距離? ( A .阿伏伽德羅常數(shù)、該氣體